河南省中原名校2021-2022学年高二上学期12月联考理科数学试题

河南省中原名校2021-2022 学年高二上学期12 月联考 理科数学试卷 全卷满分150 分，考试用时120 分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。） 1. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ） . 和 . . 和 . 2．已知点 在椭圆 上，则 （ ） .点 不在椭圆上 . 点 不在椭圆上 .点 在椭圆上 .无法判断点 、 、 是否在椭圆上 3.平行六面体 中， ， 则 （ ） .1 . . . 4．已知向量 则 与 的夹角为 （ ） ． 0° ．45° ．90° ．180° 5.已知六棱锥P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论 正确的个数是 （ ） ①PA⊥AD ②平面ABC⊥平面PBC ③直线BC∥平面PAE ④直线PD 与平面ABC 所成角为 ．1 个 .2 个 .3 个 .4 个 6.如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2 米，水面宽4 米.水下降 1 米后，水面宽为 ( ) . 米 . 米 . 米 . 米 7．给出下列命题： ①直线的方向向量为 ，直线 的方向向量为 则 ②直线的方向向量为 ，平面 的法向量为 ， 则 . ③平面 的法向量分别为 ，则 . ④平面 经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量 是平面 的 法向量，则u＋t＝1. 其中真命题的序号是 ( ) .②③ .①④ .③④ .①② 8．若双曲线 的左焦点在抛物线 的准线上，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 9．如图，正方体 的棱长为1，O 是底面 的中心，则点O 到平面 的距离为( ) . . . . 10．若双曲线 ( )的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个, 则双曲线离心率的取值范围是 ( ) . . . . 11.对于抛物线C： ，我们称满足 的点 在抛物线的内部.若 点 在抛物线内部，则直线 与曲线C （ ） . 恰有一个公共点 . 恰有2 个公共点 . 可能有一个公共点，也可能有两个公共点 . 没有公共点 12.已知 、 是椭圆 ( )的两个焦点, 是椭圆上任意一点,从任 一焦点引 的外角平分线的垂线,垂足为 , 则点 的轨迹 ( ) . 圆 . 椭圆 . 双曲线 . 抛物线 二、填空题.（本题共5 小题，每小题6 分，共30 分） 13．在等差数列 中，已知公差 ，且 ，则 __________. 14．在 中，若 ，则角A 等于________； 15．设等比数列 共有 项，它的前 项的和为100，后 项之和为200，则该 等比数列中间 项的和等于__________. 16．在 中，若 ，则角B 等于__________. 三、解答题（本大题共6 小题，共计70 分，解答应写出文字说明证明过程或 推演步骤.） 17. (本题满分10 分)一个几何体的三视图如图所示（单位 长度为： ） （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积. 18．(本题满分12 分)已知△ABC 的三个顶点分别为A(2，4)，B(1，1)，C(7， 3). （1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程. 19．(本题满分12 分)如图,在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E、F、P、Q 分别是BC、C1D1、 AD1、BD 的中点． (1)求证：PQ∥平面DCC1D1； (2)求证：AC⊥EF. 20．(本题满分12 分)已知直线方程为 ，其中 . （1）求直线恒过定点的坐标。当 变化时，求点 到直线的距离的最大 值及此时的直线方程； （2）若直线分别与轴､ 轴的负半轴交于 两点，求 面积的最小值 及此时的直线方程. 21.(本题满分12 分)已知四棱锥 如图所示, ， ， ，平面 平面 ，点 为线段 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求点到平面 的距离. 22.(本题满分12 分)如图1，在 中， ， ， 别为棱 ， 的中点，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2，连结 ， （1）求证：平面 平面 ； （2）若 为 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）线段 上是否存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ？若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 理科数学答案 一、选择题答题卡：（5 12=60 分） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B A D B C B C D A 二、填空题.（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 145 14. 15. 16. 或 三．解答题：(本大题共6 小题，满分70 分。解答应写出文字说明，证明过 程或演算步骤) 17（10 分）解：（1）由图知该几何体是一个上面是正四棱锥，下面是一个 正方体的组合体.且正四棱锥的底面边长为4，四棱锥的高为2，所 以体积 cm3........................................................................5 分 （2）由三视图知，四棱锥的侧面三角形的高 . 该几何体表面积为 cm2....................10 分18．（12 分）解：（1） B(1，1)，C(7，3)， BC 的 中点为M(4，2). 又 A(2，4)在BC 边上的中线上， 所求直线方程为 = ，即BC 边 上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.........................................6 分 （2） B(1，1)，C(7，3)， 直线BC 的斜率为 = . 而BC 边上的高所 在直线与直BC 垂直， BC 边上的高所在直线的斜率为-3.又 A(2，4)在BC 边上的高上， 所求直线方程为y-4=-3(x-2)，即BC 边上的高所在直线的方 程为3x+y-10=0....................................12 分 19.（12 分）解：(1)如图所示，连接CD1.∵P、Q 分别为 AD1、AC 的中点．∴PQ∥CD1.而CD1 平面DCC1D1， PQ//平面DCC1D1，∴PQ∥平面 DCC1D1......................................6 分 (2)如图，取CD 中点H，连接EH，FH. ∵F、H 分别是C1D1、CD 的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D.而 D1D⊥面ABCD，∴FH⊥面ABCD，而AC 面ABCD，∴AC⊥FH.又E、H 分 别为BC、CD 的中点，∴EH∥DB.而AC⊥BD，∴AC⊥EH. 因为EH、FH 是平面FEH 内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH， 而EF 平面EFH，所以AC⊥EF............................................12 分 20．（12 分）解：（1）直线方程为 ， 可化为 对任意 都成立， 所以 ，解得 ，所以直线恒过定点 ..........................4 分 设定点为 当 变化时， 直线时， 点 到直线的距离最大，可知点 与定点 的连线的距离就是所求 最大值， 即 ，此时直线过点 且与 垂直， ∴ ，解得 故直线的方程为 ................8 分 （2）由于直线经过定点 ．直线的斜率存在且 ， 可设直线方程为 可得与轴、 轴的负半轴交于 ， 两点∴ ， ，解得 ． ∴ 当且仅当 时取等号，面积的最小值为4 , 此时直线的方程为： ，即： ．.............................12 分 21.（12 分）（1）证明：取 中点 ，连接 ， ， ，即 又 ， ，四边形 为平行四边形， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 又 平面 , 平面 , 平面 ，同理 平面 , 又 平面 , , 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ．.......................................6 分 （2）解： 平面 ，且 ， 平面 ， 过点 作平面 的高，交平面于点 ， ， ， ， ， 面 面 且 面 ， 面 ， ， ， ， ，记点到平面 的距离为， ， 作 ，则有 且 ， ， ， ， 点到平面 的距离为 ．...........................12 分 22.（12 分）（1）证明： ， 分别为 ， 中点， // ． ， ． ． ， ． 又 = ， 平面 ． 又 平面 ， 平面 平面 ．..............3 分 （2）解： ， ， ， ， ， 两两互相垂 直．以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，依题意有 ， ， ， ， ， ．则 ， ， ， ， ， ．设平面 的一个法向量 ，则有 ，即 ，令 得 ， ． 所以 ．设直线 与平面 所成角为，则 ． 故直线 与平面 所成角的正弦值为 ．......................7 分 （3）解：假设线段 上存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ． 设 ， ，则 ，即 ． ， ， .易得平面 的一个法向量为 ． 设平面 的一个法向量 ，则有 ，即 ， 令 ，则 ．若二面角 的余弦值为 ， 则有 ，即 ， 解得， ， ．又因为 ，所以 ． 故线段 上存在一点 ，使二面角 的余弦值为 ，且 ...............12 分