河南省南阳市2021-2022学年高二下学期期末质量评估理科数学试题

2021-2022 学年河南省南阳市高二（下）期末数学试卷 （理科） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本大题共12 小题，共60 分） 1. 若复数z满足z(1+2i)=4+3i，则z − =¿( ) A. 2+i B. 2−i C. 1+2i D. 1−2i 2. 观察下列各式：a+b=1，a 2+b 2=3，a 3+b 3=4，a 4+b 4=7，a 5+b 5=11，…， 则a 10+b 10=¿( ) A. 28 B. 76 C. 123 D. 199 3. 直线y=2 x+b是曲线y=xlnx的一条切线，则b=¿( ) A. 2e B. e C. −e D. −2e 4. 接种疫苗是预防控制新冠疫情的有效方法，我国自2021年1月9日起实施全民免费 接种新冠疫苗并持续加快推进接种工作．某地为方便居民接种，共设置了A、B、 C三个新冠疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲、乙两人去接 种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 5. P为椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则直线P A1 与P A2的斜率之积为定值−b 2 a 2，将这个结论类比到双曲线，得出的结论为：P为 双曲线x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)上异于左右顶点A1，A2的任意一点，则( ) A. 直线P A1与P A2的斜率之和为定值a 2 b 2 B. 直线P A1与P A2的斜率之积为定值a 2 b 2 C. 直线P A1与P A2的斜率之和为定值b 2 a 2 D. 直线P A1与P A2的斜率之积为定值b 2 a 2 6. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的 “赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示 的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方 形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相 邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案 有( ) A. 180 B. 192 C. 480 D. 420 7. 已知P( X=n)= n 10 (n=1,2,3,4)，则D( X )=¿( ) A. 1 B. 11 10 C. 8 5 D. 2 8. 在二项式(❑ √x+ 1 2⋅ 4 √x ) n的展开式中，所有项的二项式系数和为256，若把展开式 中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为( ) A. 1 4 B. 1 4 C. 5 12 D. 15 28 9. 针对时下的“航天热”，某校团委对“是否喜欢航天与学生性别的关系”进行了 一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢航天的人数占男生人数 的4 5 ，女生中喜欢航天的人数占女生人数的3 5，若有97.5%以上的把握认为是否 喜欢航天与学生性别有关，则被调查的学生中男生的人数不可能为( ) 参考公式：X 2= n(ad −bc) 2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，其中n=a+b+c+d． P( X 2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 75 B. 60 C. 55 D. 50 10. 已知函数f ( x)=lnx+x 2−ax有两个极值点m，n，且m∈[1,2]，则实数a的最小 值为( ) A. 2❑ √2 B. 3 C. 3 ❑ √2 D. 9 2 11. 高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一 颗钉子，上一层的每个钉子水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入 口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白球向下降落的过 程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下， 于是又碰到下一层钉子如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止现从入口 放进一个白球，则其落在第③个格子的概率为( ) A. 1 64 B. 15 64 C. 21 128 D. 35 128 12. 已知函数f ( x)=lnx+ a+1 ex −a有两个零点x1，x2，若x1+x2 2 < 1 e ，则实数a的取值 范围是( ) A. (0,+∞) B. (−1,0) C. (−∞,0) D. (−1,0)∪(0,+∞) 二、填空题（本大题共4 小题，共20 分） 13. ∫ 0 2 ¿2 x−1∨dx=¿______． 14. 对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知 最后结果的误差εn～N (0, 1 n )，为使误差εn在(−0.5,0.5)的概率不小于0.9545， 至少要测量______ 次. (若X ～N ( μ,σ 2)，则P(∨X −μ∨¿2σ )=0.9545))． 15. 甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可 能地将球传给另外两个人中的任何一人．则经过9次传球后球在甲手中的概率为__ ____． 16. 已知关于x的方程x 2−a⋅e x−a 2=0至多有2个不同的解，则实数a的最大值为______． 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分） 17. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an−3n+5． (Ⅰ)求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式； (Ⅱ)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 18. 在二项式( x− 1 2 3 √x ) n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．(1) 求项数n；(2) 求展开式中的常数项与二项式系数最大的项． 19. 已知函数f ( x)= k x −lnx−k，k ∈R． (1)讨论函数f ( x)在区间(1,e)内的单调性； (2)若函数f ( x)在区间(1,e)内无零点，求k的取值范围． 20. 在中国文娱消费中，视听付费市场规模不断增长，从2010年到2018年在线音乐市 场规模变化情况如表所示： 年份 201020112012201320142015201620172018 市场规模(亿元) 0.5 0.9 1.6 2.8 4.7 10.5 18.8 29.9 43.7 将2010年作为第1年，设第i年的市场规模为yi(i=1,2,3,⋯,9)亿元． (1) y=ai+b与y=ci 3+d哪一个更适宜作为市场规模y关于i的回归方程？(给出 判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)中的判断及表中的数据，求市场规模y关于i的回归方程．(系数精确到 0.0001) 参考数据：令ωi=i 3，ω − =225，∑ i=1 9 i yi=868.9，∑ i=1 9 ωi yi=56700， ❑ √∑ i=1 9 ωi 2−9ω − 2=720， ❑ √∑ i=1 9 ( yi−y − ) 2=43.3， ❑ √∑ i=1 9 (i−5) 2=7.8， 31185 5184 ≈6.016． 附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归直线v=α ❑ ̂ +β ❑ ̂ u的斜 率和截距的最小二乘估计分别为β ❑ ̂ = ∑ i=1 n ui vi−nu − v − ∑ i=1 n ui 2−nu − 2 = ∑ i=1 n (ui−u − )(vi−v − ) ∑ i=1 n (ui−u − ) 2 ， α ❑ ̂ =v − −β ❑ ̂ u −． 21. 为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动．现有甲，乙两名 同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目．规则如下： ①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则 由乙回答一个问题． ②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分． ③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分． 已知甲答对每道题目的概率为4 5 ，乙答对每道题目的概率为3 5，且两人每道题目 是否回答正确相互独立． (1)求乙同学最终得10分的概率； (2)记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望． 22. 已知函数f ( x)=e x( x−a) 2．( Ⅰ)若f ( x)在x=−1处的切线与x轴平行，求a的值； (Ⅱ)f ( x)有两个极值点x1，x2，比较f ( x1+x2 2 )与f ( x1)+f ( x2) 2 的大小；( Ⅲ)若f ( x)在[−1,1]上的最大值为4 e，求a的值． 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：z= 4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i) (1+2i)(1−2i)=2−i． z − =2+i 故选：A． 等号两边同时除以1+2i，再进行化简，整理． 本题考查复数，属于基础题． 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查归纳推理的思想方法，是基础题． 观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，所求值为数列中的第十项．根据数 列的递推规律求解． 【解答】 解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等 于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项． 继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123， 即a 10+b 10=123，． 故选：C． 3.【答案】C 【解析】解：设f ( x)=xlnx，则f ′( x)=lnx+1，令f ′( x)=2，得x=e， 又∵f (e)=e，∴曲线y=f ( x)在(e ,e)处的切线为y=2( x−e)+e=2 x−e， 即b=−e． 故选：C． 求出原函数的导函数，令导函数值为2求得x值，可得切点的横坐标，再求出切点处的 函数值，得到函数在切点处的切线方程，结合已知的直线方程可得b值． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义的应用，是 基础题． 4.【答案】C 【解析】解：某地为方便居民接种，共设置了A、B、C三个新冠疫苗接种点，每位接 种者可去任一个接种点接种， 甲、乙两人去接种新冠疫苗， 基本事件总数n=3×3=9， 其中两人不在同一接种点接种疫苗包含的基本事件个数m=3×2=6， ∴两人不在同一接种点接种疫苗的概率为P=m n =6 9=2 3． 故选：C． 甲、乙两人去接种新冠疫苗，基本事件总数n=3×3=9，其中两人不在同一接种点接 种疫苗包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出两人不在同一接种点接种疫苗的 概率． 本题考查了古典概率计算公式、排列组合等基础知识，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题． 5.【答案】D 【解析】解：设P( x0, y0)为双曲线x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)上异于左右顶点A1，A2 的任意一点， 则A1(−a,0)，A2(a,0)， ∴k P A1⋅k P A2= y0 x0+a ⋅ y0 x0−a= y0 2 x0 2−a 2， 又P( x0, y0)在双曲线x 2 a 2 −y 2 b 2 =1上， ∴y0 2=b 2 a 2 ( x0 2−a 2)， ∴k P A1⋅k P A2= y0 2 x0 2−a 2=b 2 a 2， ∴直线P A1与P A2的斜率之积为定值b 2 a 2． 故选：D． 由已知椭圆的性质类比可得直线P A1与P A2的斜率之积为定值b 2 a 2 .然后加以证明即可． 本题考查椭圆与双曲线的简单性质，训练了类比推理思想方法，是中档题． 6.【答案】D 【解析】解：根据题意，如图，假设5个区域依次为 ①②③④⑤， 分2步进行分析： 首先：对于区域①②③，三个区域两两相邻，有 A5 3=60种情况， 再者：对于区域④⑤，若④与②的颜色相同，则⑤有3种情况， 若④与②的颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，此时区域④⑤的情况有 2×2=4种， 则区域④⑤有3+4=7种情况， 则一共有60×7=420种涂色方案； 故选：D． 根据题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，据此分2步讨论区域①②③与区域 ④⑤的涂色方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 7.【答案】A 【解析】解：∵P( X=n)= n 10 (n=1,2,3,4)， ∴E( X )=1× 1 10 +2× 2 10 +3× 3 10 +4× 4 10=3， ∴D( X )=(1−3) 2× 1 10 +(2−3) 2× 2 10 +(3−3) 2× 3 10 +(4−3) 2× 4 10=1． 故选：A． 先求出E( X )，再求解D( X )即可． 本题考查离散型随机变量的期望与方差，考查运算求解能力，属于基础题． 8.【答案】C 【解析】解：由二项式系数和公式可得2 n=256，则n=8，∴ 二项式为(❑ √x+ 1 2⋅ 4 √x ) 8，其通项公式为 T r+1=C8 r ⋅(❑ √x) 8−r⋅( 1 2⋅ 4 √x ) r=C8 r ⋅( 1 2 ) r⋅x 16−3r 4 ，∴ 展开式共有9项，当r=0，4，8时，展开式为有理项， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其他的6个无理项先任意 排，再把这3个有理项插入其中的7个空中，方法共有A6 6⋅A7 3种， ∴有理项不相邻的概率为P= 37 A6 6 A A9 9 = 5 12 ， 故选：C． 由题意利用二项式系数的性质，求出n，利用二项展开式的通项公式，求出有理项，再 利用互不相邻的排列问题求法，求出有理项都互不相邻的概率． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，互不 相邻的排列问题，概率问题，属于中档题． 9.【答案】D 【解析】解：设被调查的学生中男生的人数为x，则由题可得列联表如下： 男生 女生 总计 喜欢航天 4 5 x 3 5 x 7 5 x 不喜欢航天 1 5 x 2 5 x 3 5 x 总计 x x 2 x X 2= 2 x( 4 5 x⋅2 5 x−3 5 x⋅1 5 x) 2 x⋅x⋅7 5 x⋅3 5 x =2 x 21 ． 因为有97.5%以上的把握认为是否喜欢航天与学生性别有关，所以2 x 21 >5.024，即 x>52.752． 故选：D． 设被调查的学生中男生的人数为x，得出列联表，计算出X 2，由X 2>5.024可求出． 本题主要考查独立性检验，属于基础题． 10.【答案】C 【解析】解：由函数的解析式可得f ′( x)= 1 x +2 x−a=2 x 2−ax+1 x ， 由题意可知函数y=2 x 2−ax+1在区间(0,+∞)上有两个实数根，且(1,2)上有且只有 一个实数根， 由于二次函数y=2 x 2−2❑ √2 x+1的判别式Δ=0，故a=2❑ √2不合题意； 二次函数y=2 x 2−3 x+1，当x=1时，y=0，当x>1时，y>0，故a=3不合题意； 二次函数y=2 x 2−9 2 x+1，当x=2时，y=0，当1<x<2时，y<0，故a=9 2不合题 意； 绘制二次函数y=2 x 2−3 ❑ √2 x+1的图像，观察可得a=3 ❑ √2满足题意． 故选：C． 首先求得导函数的解析式，然后将问题转化为函数y=2 x 2−ax+1在区间(0,+∞)上有 两个实数根，且(1,2)上有且只有一个实数根，最后逐一考查所给的选项是否满足题意 即可． 本题主要考查利用导数研究函数的极值，已知函数的极值求参数的方法等知识，属于 中等题． 11.【答案】C 【解析】解：小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中向左边跳动5次，向右边跳 动2次，向左向右的概率均为1 2，则向右的次数服从二项分布B(7 , 1 2 )，所求概率为 P=C7 2×( 1 2 ) 2( 1 2 ) 2= 21 128． 故选：C． 小球从起点到第③个格子一共跳了7次，其中向左边跳动5次，向右边跳动2次，向左 向右的概率均为1 2，则向右的次数服从二项分布B(7, 1 2 )，由二项分布的概率公式计算 可得． 本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型． 12.【答案】C 【解析】解：令g( x)=xf ( x)=xlnx+ 1 e (a+1)−ax，∵g( x)=xlnx+ 1 e (a+1)−ax ， ∴求导可得，g′( x)=lnx+(1−a)， 令g′( x)=0，解得x=e a−1， 当x>e a−1时，lnx>a−1，g′( x)>0， 当0<x<e a−1时，lnx<a−1，g′( x)<0， 故g( x)在(0,e a−1 )上单调递减，在(e a−1,+∞)上单调递增， 故x=e a−1是函数g( x)的极小值点， ∵g( 1 e )=1 e ln 1 e −a e + 1 e (a+1)=0， ∴1 e 是g( x)的一个零点，不妨设x1=1 e ， 若x1+x2 2 < 1 e ， 则x2< 1 e ， 故e a−1< 1 e ，解得a<0． 故选：C． 令g( x)=xf ( x)=xlnx+ 1 e (a+1)−ax，利用导数研究函数的单调性，g( 1 e )=0，即 可求解． 本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于中档题． 13.【答案】5 2 【解析】解：画出函数y=¿2 x−1∨¿在[0,2]上的图像，如图所示， 由定积分的几何意义可知，∫ 0 2 ¿2 x−1∨dx=1 2 × 1 2 ×1+ 1 2 × 3 2 ×3=5 2， 故答案为：5 2． 画出函数y=¿2 x−1∨¿在[0,2]上的图像，利用定积分的几何意义求解即可． 本题主要考查了定积分的计算，属于基础题． 14.【答案】16 【解析】解：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在(−0.5,0.5)的概率不小于 0.9545， 则( μ−2σ , μ+2σ )⊆(−0.5,0.5)且μ=0，则2σ=0.5，所以σ= 1 4 ， 又σ=❑ √ 1 n ，所以❑ √ 1 n= 1 4 ，即1 16 =1 n， 所以n=16． 故答案为：16． 利用正态分布的对称性，得到(