河南省豫南重点高中2021-2022学年高二上学期精英对抗赛理科数学试题

理科数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上； 2.答选择题时选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效； 3.答主观题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，满分60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ， ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 2．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为 . 若 ， ，A= π 4 ，则角 （ ） A． B． C． 或 D． 或 3．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列 中， ， ， 依次成等比数列， 则 的值是（ ） A． B． C． D．58 4．已知△ABC 中，角 所对的边分别为 ，若△ABC 的面积为 ， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5．在△ABC 中， ， ， 边上的中线 的长度为 ，则△ABC 的面积为（ ） A． B． C． D． 6．一弹球从100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10 次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)（ ） A．300 米 B．299 米 C．199 米 D．166 米 7．在△ABC 中， ，则△ABC 是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 8．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的 重要依据.通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无 字证明.如图所示的图形，在AB 上取一点 ，使得 ， ，过点 作 交圆周于D，连接OD.作 交OD 于 .则下列不等式可以表示 的是 A． B． C． D． 9．设等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，若对任意的n∈N*，都有 ＝ ， 则 ＋ 的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知 ， ，且 ，则a+2b的最小值为（ ） A． B． C．4 D．6 11．已知数列 的前n 项和为 ，且 ，若 ，则数列 的最 大值为（ ） A．第5 项 B．第6 项 C．第7 项 D．第8 项 12.数列 满足 ， ， . 设 ，记 表示不超过 的最大整数．设 ，若不等式 ，对 恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13．现从8 名学生干部中选出3 名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个 夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．（用数字作答） 14．已知 ， 的取值如下表所示： 2 3 4 5 2.2 5.5 6.5 若 与 线性相关，且回归直线方程为 ，则表格中实数 的值为__________ __. 15．50 张彩票中只有2 张中奖票，今从中任取n 张，为了使这n 张彩票里至少有一张中奖 的概率大于0.5，n 至少为________． 16．裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那 契以兔子繁殖为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方 法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+an+1，现从该数列的前40 项中随机抽取一项， 则能被3 整除的概率是_______ 三、解答题（本题共6 小题，共计70 分，其中第17 小题10 分，其余每小题12 分。解 答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知直线的方程为 . （1）求过点 且与直线平行的直线 的程； （2）求直线 与 的交点，并求这个点到直线 的距离. 18. 在 中，内角 的对边分别是 ，已知 ， . （1）若 ，求角 的大小； （2）若 ，求边及 的 面积. 19. 已知等差数列 中， ， ，且 ， ， 成等比数列. （1）求 的通项公式； （2）已知 ， 前n 项和为 ，若 ，求n 的最大值. 20. 如图所示，在直三棱柱 中， ， ， ， ． （1）证明： 平面 ； （2）若 是棱 的中点，在棱 上是否存在一点 ，使 ∥平面 ？ 证明你的结论． 21. 已知坐标平面上两个定点 ， ，动点 满足： ． （1）求点的 轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记(1)中的轨迹为 ，过点 的直线被 所截得的线段的长为 ， 求直线的方程． 22．已知椭圆 的离心率为 ，点 与椭圆的左、右顶点 构成等腰直角三角形． （1）求椭圆 的方程； （2）若直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点，直线 的 斜率之积等于 ，试探求 的面积是否为定值，并说明理由． 理科参考答案 1．A 【分析】 利用基本不等式可推出A 正确；利用不等式的性质可推出B 不正确；作差后，可知当 时，C 不正确；当 时，D 不正确. 【详解】 对于A，因为 ，所以 ， ，所以 ，故A 正确； 对于B，若 ，则 ，又 ，所以 ，故B 不正确； 对于C，因为 ， ， 所以当 时， ，此时 ，故C 不正确； 对于D，当 时， 不成立，故D 不正确. 故选：A 2．D 【分析】 由正弦定理即可求解． 【详解】 在 中，由正弦定理可得 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 或 ， 故选：D. 3．A 【分析】 由已知得 和 ，可求出 ，利用等差数列的通项公式得到 . 【详解】 设公差不为零的等差数列 的公差为d，则有 ， 因为 ， ， 依次成等比数列， ， 所以有 ，即 ，整理得 ， 因为 ，所以 ， ， 因此 ， 故选：A. 4．D 【分析】 利用三角形的面积公式整理得出 ，利用二倍角的正弦和余弦公式化简得 出 ，结合角 的取值范围可求得结果. 【详解】 在 中，因为 ，则 ， ，则 ，则 ， 所以， ，可得 ， ，故 . 故选：D. 5．B 【分析】 根据题设条件结合余弦定理可求得 ，从而可得 ，结合三角形面积公式，即可 求解. 【详解】 ∵ ， ， 边上的中线 的长度为 ∴根据余弦定理可得 ，即 ，解得 ∴ ∴ 的面积为 故选：B 6．A 【分析】 根据题意，得到小球经过的里程 ，结合等比数列的求和公式， 即可求解. 【详解】 由题意，可得小球10 次着地共经过的路程为： 米 故选：A. 7．C 【分析】 根据 ，利用正弦定理转化为： ，整理为 再转化为角判断. 【详解】 因为 ， 所以由正弦定理得： ， 所以 ， 即 ， 所以 或 ， 所以 或 ， 所以 是等腰或直角三角形. 故选：C 【点睛】 本题主要考查正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．A 【分析】 根据圆的性质、射影定理求出CD 和DE 的长度，利用CD>DE 即可得到答案. 【详解】 连接DB，因为AB 是圆O 的直径，所以 ，所以在 中，中线 ，由射影定理可得 ，所以 . 在 中，由射影定理可得 ，即 ， 由 得 ， 故选A. 【点睛】 本题考查圆的性质、射影定理的应用，考查推理能力，属于中档题. 9．C 【分析】 根据等差数列的性质及等差数列前n 项和的性质，逐步化简，即可得到本题答案． 【详解】 由题意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8， ∴ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 故选：C． 10．C 【分析】 由基本不等式得出关于 的不等式，解之可得． 【详解】 因为 ， 所以 ，当且仅当 时取等号． ，解得 或 （舍去）， 所以 ，即 的最小值.4．此时 ． 故选：C． 11．D 【分析】 由 先求出 ，从而得出 ，由 讨论出其单调性，从 而得出答案. 【详解】 当 时， ； 由 ，当 时， ， 两式相减，可得 ， 解得 ，当 时，也符合该式，故 ． 所以 由 ，解得 ；又 ，所以 ，所以 ，当 时， ，故 ，因此最大项为 ， 故选：D． 12．C 【详解】 由题意得：， ，又 ， 数列 是以 为首项，为公比的等比数列， ， 又 ， ，…， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ， 对 恒成立， ，则实数的最大值为 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、 累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得 的形式. 13．336 【分析】 根据排列定义及公式即可求解． 【详解】 从8 名学生干部中选出3 名同学排列的种数为 ，故共有336 种不同的选 派方案． 故答案为：336 14．3.8 【分析】 利用线性回归分析方程经过样本中心点，直接带入即可求解. 【详解】 因为 ， ，所以 ， 解得 . 故答案为：3.8. 15．15 【分析】 根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n. 【详解】 用X 表示中奖票数， P(X≥1)＝ ， 所以 ，解得n≥15. 故答案为：15. 16． 【分析】 列举出数列{an}的前40 项及其中能被3 整除的数，代入公式，即可求得概率． 【详解】 解：在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列{an}满足：a1＝a2＝1，an+2＝ an+an+1， ∴数列{an}的前40 项为： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584， 4181，6765， 10946，17711，28657，46368，75025，121393，196418，317811，514229，832040， 1346269， 2178309，3524578，5702887，9227465，14930352，24157817，39088169，63245986， 10334155， 其中能被3 整除的有10 个，分别为：3，21，144，987，6765，46368，317811， 1346269，2178309，14930352． ∴从该数列的前40 项中随机抽取一项，则能被3 整除的概率是P＝ ． 故答案为： 三、解答题： 17. 解：(1)设与直线 平行的直线方程为 ,把 代 入，得 ，解得 , ∴所求直线 方程为 . …………………5 分 (2)解方程组 得 …………………7 分 ∴直线 与 的交点为 , …………………8 分 点 到直线 的距离 . ………10 分 18.解：（1）由正弦定理 ，得 解得 . …………………2 分 又∵ ， 则 ， …………………4 分 . …………………6 分 （备注：若B 没有去掉 ，扣2 分） （2）由余弦定理 ，得 整理得 又∵ ，∴ . …………………10 分 由 = = . …………………12 分 （备注：正确写出余弦定理给2 分；先用正弦定理求出 ，得出直角三形） 19. 解：（1） ， ， 成等比数列， ， 又 ， ， ， ，又 ，解得： ， …………………3 分 ； …………………5 分 （2）由（1）可得： ，……………7 分 ，……10 分 ，整理可得： ，解得： ， ， 的最大值为. …………………12 分 20. 证明：（1）∵ ，∴ ． ∵三棱柱 为直三棱柱，∴ ． ∵ ，∴ 平面 ． ∵ 平面 ，∴ ， ∵BC∥B1C1，∥则 ． 在 中， ， ，∴ ． ∵ ，∴四边形 为正方形． ∴ ． ∵ ，∴ 平面 ． …………………6 分 （2）当点 为棱 的中点时， 平面 ． 证明如下：如图，取的 中点 ，连 、 、 ， ∵ 、 、 分别为 、 、 的中点， ∴EF∥AB1 ∵ 平面 ， 平面 ， ∴EF∥平面 ，同理可证FD∥平面 ． ∵ ，∴平面 ∥平面 ． ∵ 平面 ，∴DE∥平面 ． …………………12 分 21．解：(1)由 得 ， 化简得： ，点M 的轨迹以 为圆心，以 为半径的圆。 …………………5 分 （没有说明轨迹扣1 分） （2）当直线的斜率不存在时，直线 符合题意； 当直线的斜率存在时，设的方程为： ，即 ， 由圆心到直线的距离等于 ，解得 ， 直线方程为 所求的直线的方程为： 或 .…………………12 分 （没有直线 扣2 分） 22．解：（1）椭圆 离心率为 ，即 ， ∵点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形， ∴ ，综上有： ， ，故椭圆方程为 . ……………4 分 （2）由直线与椭圆交于 两点，联立方程： ，整理得 ，……………5 分 设 ，则 ，……………7 分 ， ， ……………9 分 ，……10 分 原点 到的距离 ， ……………11 分 为定值. ……………12 分