解析：河南省新乡市2021-2022学年高二下学期期中考试理科数学试题（解析）

新乡市高二下学期期中考试 数学（理科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 复数 的共轭复数为（ ） A. 7＋i B. －7－i C. 7－i D. －7＋i 【1 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先计算复数 ，然后由共轭复数定义即可得到答案. 【详解】∵ ， ∴ ． 故选：D 2. （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】应用微积分基本定理求定积分即可. 【详解】 ． 故选：C 3. 矩形的长和宽分别为a，b，其对角线长为 ．将此结论类比到空间中，得到正确的对应结论为 （ ） A. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体积为abc B. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体对角线长为 C. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其表面积为 D. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，其体对角线长为 【3 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的对角线类比到长方体的体对角线即可得到结论． 【详解】矩形的对角线类比到长方体中对应的几何量为体对角线长．故正确的对应结论为长方体的长、宽、 高分别为a，b，c．其体对角线长为 ． 故选：B 4. 已知函数 与 的部分图象如图所示，现推理得到下面四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中错误的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据原函数的单调性与导数的正负形和图象的性质求解即可. 【详解】由图可知， 与 在区间 上单调递增．所以 ， ． 在区间 上， 的图象比 的图象更陡峭， 所以 ， ．即②正确，其他错误. 故选：C 5. 某高校食堂备有5 类不同的菜品，3 类不同的饮料，若要对这些菜品和饮料设计一个排序，要求饮料不 能相邻，则不同的排法种数为（ ） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先将5 类菜品进行全排列，再把3 类饮料插入到形成的 6 个空中进行排列即可. 【详解】先将5 类菜品进行全排列，有 种排法，再从这5 类菜品形成的6 个空位中选3 个进行排列，有 种排法，故不同的排法种数为 . 故选：D. 6. 若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ） A. 不可能为 纯虚数 B. 在复平面内对应的点可能位于第二象限 C. 在复平面内对应的点一定位于第三象限 D. 在复平面内对应的点可能位于第四象限 【6 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用第二象限 的辐角范围确定 的辐角范围，即可判断各选项的正误. 【详解】由 为第二象限，其对应辐角范围为 ， 所以 对应辐角为 ， 故 在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y 轴的负半轴. 所以A、B、C 错误，D 正确. 故选：D 7. 展开式中的常数项为（ ） A. －70 B. －56 C. 56 D. 70 【7 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先写出 的通项公式，由通项公式可知当 时，得到展开式的常数项. 【详解】 的通项公式为 ， 当 时，得到 展开式的常数项为 ， 故选：D 8. 已知 ，则 （ ） A. 224 B. C. D. 448 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式的项的特点，应将其变形成项所对应的二项式形式，再借助通项求解系数. 【详解】令 ，得 ， 则 可化为： ， 二项展开式通项为： 所以 故选：D. 9. 观察下列各式： ， ， ，…．根据规律可得 的个位数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【9 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】观察题目中各式可得 的个位数的周期T＝4，由周期即可推得 的个位数. 【详解】经观察易知8， ， ， ， ， ， ， 的个位数分别为8，4，2，6，8，4，2，6． 故 （n 为正整数）的个位数的周期T＝4．因为 ，所以 的个位数与 的个位数 相等，所以 的个位数是2． 故选：A 10. 第24 届冬奥会于2022 年2 月4 日在中国北京市和张家口市联合举行．甲、乙等5 名志愿者计划到高山 滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4 个比赛区从事志愿者活动，则下列说法错误的有（ ） A. 若短道速滑赛区必须安排2 人，其余各安排1 人，则有60 种不同的方案 B. 若每个比赛区至少安排1 人，则有240 种不同的方案 C. 安排这5 人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42 种不同的站法 D. 已知这5 人的身高各不相同，若安排5 人拍照，前排2 人，后排3 人，且后排3 人中身高最高的站中间， 则有40 种不同的站法 【10 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，首先对 人分组： ，，，，然后对除短道速滑赛区外的其他赛区排列即可； 对于B，首先对 人分组： ，，，，然后对 个赛区进行全排列即可； 对于C，运用“捆绑法”将甲、乙看成一个整体，再做全排列即可； 对于D，第一步选 个人排前排，第二步剩下的 个人排后排，其中最高的在中间，只需对另外 进行排 列即可. 【详解】若短道速滑赛区必须安排2 人，其余各安排1 人，则先从5 人中任选2 人安排在短道速滑赛区， 剩余3 人在其余三个比赛区全排列即可，故不同的方案有 种，A 正确； 若每个比赛区至少安排1 人，则先将5 人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的 方案有 种，B 正确； 若甲，乙相邻，可把2 人看成一个整体，与下的3 人全排列，有 种排法，甲、乙两人相邻有 种排法， 所以共有 种不同的站法，C 错误； 前排有 种站法，后排3 人中最高的站中间有 种站法，所以共有 种不同的站法，D 正确． 故选：C. 11. 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ， ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【11 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】构造 并利用导数研究在 上的单调性，再将不等式化为 ，结合 单调性求解集. 【详解】设 ， ，则 ，则 在 上单调递减， 由 ，得： ，而 ， 所以 ，则 ． 故不等式 的解集为 ． 故选：A 12. 在△ABC 中，AC=AB=4， ，D，E 分别在AC，AB 边上，且 ．将△ABC 沿DE 折起 到 位置，使得平面PDE⊥平面BCDE，则当四棱锥 的体积取得最大值时，点A 到直线 DE 的距离为（ ） A. B. C. D. 2 【12 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】取BC 的中点H，连AH，交DE 于G，设AG=x，根据给定条件用x 表示出DE，GH，求出体积的 函数关系，借助导数求最值作答. 【详解】在△ABC 中，取BC 的中点H，连接AH，交DE 于G，因为AC=AB=4， ，则AH⊥BC， AG⊥DE， 而 ，设AG=x，则GH=3-x， ，因 ，则 ，如 图， 因平面PDE⊥平面BCDE，PG⊥DE，平面 平面 ， 平面 ， 因此，PG⊥平面BCDE，梯形 面积 ， 则四棱锥P-BCDE 的体积 ， ， 当 时， ，当 时， ， 在 上递增，在 上递减， 于是当 时， 取得最大值， 所以点A 到直线DE 的距离为 . 故选：C 【点睛】关键点睛：利用锥体体积公式求锥体的体积，推理、证明并计算底面上的高是解题的关键. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1 张，一共可以组成的币值有______种． 【13 题答案】 【答案】7 【解析】 【分析】三种币值分别任选一张、两张或全选，结合组合数求组成的币值种数. 【详解】三种币值分别任选一张、两张或全选，则组成的币值有 种． 故答案为：7 14. 一个二元码是由0 和1 组成的数字串 ．（ ），其中 （k＝1，2，…，n）称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0 变为1 或由1 变为 0）．已知某个二元码 的码元满足如下校验方程组： 其中 的运算法则： ， ， ， ．若这个二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了 100101，则利用上述校验方程组可判定，这个二元码为______． 【14 题答案】 【答案】101101 【解析】 【分析】利用题目给的校验方程组直接检验即可. 【详解】假设这个二元码为100101 ．经计算 成立， 也成立．但 不成立．因此， ， ， 有一个错误，由 与 ，知 ， ， ， ， 没有错误，则 错误．故这个二元码为101101． 故答案为：101101 15. 若 存在，则称 为二元函数 在点 处对x 的偏导数，记为 ．已知二元函数 ，则 ______， 的最小值为______． 【15 题答案】 【答案】 ①. 5 . ②－3 【解析】 【分析】根据所给定义求出 ，即可求出 的值，再表示出 ，由二次函数的性质可求出 的最小值. 【详解】 ， 所以 ， ，所以当 时， 的最小值为－ 3. 故答案为：5；－3. 16. 如图，一花坛分成1，2，3，4，5 五个区域，现有4 种不同的花供选种，要求在每个1 区域里面种1 种 花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______． 【16 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用分类计数原理以及排列数进行计算求解. 【详解】解：由题意得： 若只有2，4 区域种的花相同，则有 种种法； 若只有3，5 区域种的花相同，则有 种种法； 若2、4 区域种的花相同，3，5 种的花也相同，则有 种种法，由分类加法计数原理知共有 种不 同的种法. 故答案为： 三、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知 ． （1）求z 的虚部； （2）求 ． 【17 题答案】 【答案】（1）-4 （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数商的运算得到复数z，即可得到虚部. （2）计算出 ，利用模的公式计算即可. 【小问1 详解】 因为 ，所以 ， 所以z 的虚部为－4． 【小问2 详解】 因为 ，所以 ． 所以 ， 故 ． 19. 已知函数 ． （1）若曲线 切线的斜率为－9，求切点的坐标； （2）求 在区间 上的最大值与最小值． 【19 题答案】 【答案】（1）切点的坐标为 或 （2）最大值为10，最小值为－71 【解析】 【分析】（1）利用曲线的几何意义求解即可； （2）对函数求导，解导数不等式得到函数单调性，由单调性即可得到最值. 【小问1 详解】 ，曲线 切线的斜率为－9， 由 ，得 或 ． 当 时， ，当 时， ， 故切点的坐标为 或 ． 【小问2 详解】 令 ，得 ， 令 ，得 ,函数单调递减， 令 ，得 或 ，函数单调递增， 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减． 因为 ， ， ， 所以 在区间 上的最大值为10，最小值为－71． 21. （1）若 ，求 ； （2）证明 ，并求 的值． 【21 题答案】 【答案】（1） ；（2）证明见解析， ． 【解析】 【分析】（1）先利用排列数公式求出 ，再利用组合数的性质和组合数公式进行求解； （2）先利用组合数公式证明 ，再利用所证公式进行化简，进而利用二项式系数和公式求值. 【详解】（1）解：因为 ， 所以 ， 又 ， ，则 ，解得 ， 所以 ； （2）证明：因为 ， 所以 . 22. 已知函数 ． （1）若直线 与曲线 在 上有公共点，求a 的取值范围． （2）当 时，试问曲线 是否存在过坐标原点的切线？若存在，求该切线的方程；若不存在， 请说明理由． 【22 题答案】 【答案】（1） （2）存在，y＝0 或 【解析】 【分析】(1)根据题意将问题转化为 有不小于1 的 实根，利用导数讨论 的单调性， 进而得出结果； (2)根据题意设切点为 ，利用导数的几何意义列出关于 的方程组，解方程组即可. 【小问1 详解】 依题意可得 ，即 有不小于1 的实根． 设 ，则 ， 则 为增函数，所以 ． 又当 时， ，故a 的取值范围是 ． 【小问2 详解】 设切点为 ，则 消去k，整理得 ． 解得m＝0 或m＝－2，则k＝0 或 ． 所以曲线 存在过坐标原点的切线， 且切线方程为y＝0 或 ． 24. 在数列 中， ，且 ． （1）求 ， ， ， ，并猜想 的通项公式； （2）用数学归纳法证明你的猜想． 【24 题答案】 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推关系式可得各项值，根据各项的值可猜想通项公式； （2）直接用数学归纳法证明即可. 【小问1 详解】 由题意可得 ，同理可得 ， ， ， 因为 ， ， ， ， ． 所以猜想 ． 【小问2 详解】 证明：①当n＝1 时， ．猜想成立． ②假设当n＝k（ ）时成立，即 ． 则 ． 这表明，当 时，猜想也成立． 根据①，②，可以断定，猜想成立．即 ． 26. 已知函数 ． （1）若函数 ，讨论 的单调性． （2）若函数 ，证明： ． 【26 题答案】 【答案】（1） 在 和 上单调递增； 在 上单调递减 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得 ，分类讨论 和 ，即可求出 的单调性. （2）要证明 ，即 ，而令 ，求导讨论单 调性知 ，所以 ，即证明 即可. 【小问1 详解】 若 ，则 ， ． 当 时， ， 在定义域R 上单调递增． 当 时，令 ．解得 ， ． 若 或 ， ，则 在 和 上单调递 增； 若 ， ，则 在 上单调递减． 【小问2 详解】 证明：若 ，则 ． 令 ，则 ， ． 当 时， ，当 时， ，所以 ． 则 ． 令 ，则 ． 当 时， ，当 时， ，所以 ． 则 ，又1≠2，所以 中的等号不成立．故 ．