河南名校联盟2021-2022学年高二下学期期中考试理科数学试题（原卷版）

河南名校联盟 2021—2022 学年高二（下）期中考试 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知复数 满足 （i 为虚数单位），复数的 共轭复数为 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知a， ， ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ，且 ， ， ，则 三个数（ ） A. 都小于 B. 至少有一个不小于 C. 都大于 D. 至少有一个不大于 5. 已知函数 ，其中e 为自然对数的底数， .若曲线 在 处的切线与直 线 平行，则实数a 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 用数学归纳法证明“ ” 的 过程中，从 到 时，不等式的左边增加了的项数为（ ） A. B. C. D. 7. 在2022 年2 月北京冬奥会短道速滑男子500 米项目决赛前，某家庭中的爸爸、妈妈和孩子对进入决赛的 甲、乙、丙、丁、戊五位选手谁能夺冠进行猜测，依据运动员的实力和比赛规则，这五位选手都有机会获 得冠军.爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.比赛结束，冠军在这五 人中产生，且爸爸、妈妈、和孩子三人之中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（ ） A. 甲 B. 丙 C. 丁 D. 戊 8. 观察等式： ， ， ， .若第n 个等式为 ，则满足不等式 恒成立的最大正整数 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 若 是函数 （其中e 为自然对数的底数）的一个极值点，则 在区间 上的最大值为（ ） A. B. C. e D. 10. 在数列 中， ， ，且 . 表示不超过x 的最大整数，若 ，数列 的前n 项和为 ，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 2022 D. 2023 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261 年所著的《详解 九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654 年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形 数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. B. 在第2022 行中第1011 个数最大 C. 第6 行的第7 个数、第7 行的第7 个数及第8 行的第7 个数之和等于9 行的第8 个数 D. 第34 行中第15 个数与第16 个数之比为2：3 12. 已知实数a，b 满足 ，且 ，e 为自然对数的底数，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 全国新高考方案为“ ”模式，其中“3”为语文、数学、外语三门必考科目，“1”为首选科目，学生 须在物理、历史中选择一科，“2”为再选科目，学生可在化学、生物、政治、地理中选择两科.现甲、乙两 名同学要从四门再选科目中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选地理学科，则甲、乙总的不同的选法 有______种.（用数字作答） 14. 若 的展开式中 的系数为21，则a＝______． 15. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，P 为渐近线上一点，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为______. 16. 若函数 不存在零点，则实数a 的取值范围是______. 三、解答题：第17 题10 分，其余每题12 分，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. 在 中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边，且 . （1）求角A 的大小； （2）若 ， ，求△ABC 的面积. 18. 已知复数 ，其中i 是虚数单位， .设p：复数z 在复平面内对应的点位于第 四象限； . （1）当p 为真命题时，求实数m 的取值范围； （2）若命题“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，求实数m 的取值范围. 19. 有7 本相同的笔记本作为奖品颁发给甲、乙、丙三名同学. （1）若先将这7 本笔记本分成3 份，每份至少1 本，有多少种不同的分法？ （2）若甲、乙、丙三名同学每人至少获得1 本，并且丙同学最多获得3 本，有多少种不同的 分法？ （3）若这7 本笔记本分别被老师写上了不同的颁奖词，并且要求甲同学恰好得到2 本，乙同学至少得到1 本，丙同学至少得到1 本且不超过3 本，有多少种不同的分法？ 20. 如图，已知四棱锥 的底面ABCD 是矩形， 底面ABCD， ，M 为BC 的 中点，且 . （1）求四棱锥 的体积； （2）求二面角 的正弦值. 21. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 ， 在直线 的 同侧，且点 ， 到直线l 的距离分别为 ， . （1）若椭圆C 的方程为 ，直线l 的方程为 ，求 的值，并判断直线l 与椭圆 C 的公共点的个数； （2）若直线l 与椭圆C 有两个公共点，试求 所需要满足的 条件； （3）结合（1）和（2），试写出一个能判断直线l 与椭圆C 有公共点的充要条件（不需要证明）. 22. 已知函数 ，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数 的最小值； （2）求证： .