87 数学班主任精准攻克2022年中考全等三角形的常见辅助线

数学班主任精准攻克2022 年中考全等三角形的常见辅助 线 《知识框架》 1)全等中常见辅助线总结 2）角平分线中常见辅助线总结 全等三角形的证明及其常见辅助线（一） 核心知识聚焦 1 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，或在角的两 边截取相等的线段，构造全等三角形；遇到角平分线加垂线，则延长线段与角 的另一边相交，构造等腰三角形 2 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题； 3 遇到角平分线或等腰三角形，利用“翻折”，“旋转”思维模式来构造全等 三角形 角平分线模型知识精讲 1 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离 相等的性质来解决问题，例： 已知：P 是 平分线上的一点，过点P 作 于点M，过点P 作 于点，则 2 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作 另一边的垂线段，例： 已知：D 是 的平分线， ，过点D 作 于点E ，则 3 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全 等），例： 已知：点D 是 平分线上的一点，在、B 上分别取点E、F，且 ， 连接DE、DF，则 4 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例： 已知：点D 是 平分线上的一点，过点D 作 ，则 是等腰三 角形，即 证明： 是 的平分线， ， 又 ， 是等腰三角形 5 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线 于一点，也可构造等腰三角形，例： 已知：平分 ，点D 是上一点，过点D 作 交B 的反向延长线于点 E，则 6 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一 个等腰三角形，例： 已知：E 平分∠B，点D 在上，DE⊥E，则可延长DE 交B 于点F，则DE＝EF，D ＝F，∠DF＝∠FD 7 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一 对相等的角构造相似三角形，例： （1）已知：平分 ，点E、F 分别在、B 上，过点E 作 于点M，过 点F 作 于点，则 ，如图所示： （2）已知：平分 ，点E、F 在上，作 于点M，作 于点， 则 ，如图所示： （3 ）已知：平分 ，点E 、F 在上，作 ，则 ，如图所示： 8 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线 段，例： 已知：∠B 是圆的圆周角，∠DE 是圆的圆心角，F 平分∠B，G 平分∠DE，连接 BF、F、DG、EG，则BF＝F，DG＝EG 9 【内内模型】如图， 两个内角平分线交于点D，则 证明： 平分 ， 平分 ， ， 在 中， ① 在 中， ② ， 由 得 ， 即 10 【内外模型】如图， 的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D， 则 4 3 2 1 D A C B M 证明： 平分 ， 平分 ， ， 在 中， ，即 ① 在 中， ② 由 得 ，即 11 【外外模型】如图， 两个外角的角平分线交于点D ，则 4 2 3 1 D A E F C B 证明： 平分 ， 平分 ， ， 在 中 ， ， 即 ① ② 由①＝②，得 ， 在 中， ， ， ， 即 ， 由④可得 ，代入③式可得 ， 整理可得 题模一：角平分线类 例111 已知 ，平分∠M，点B、D 分别在、M 上． （1）如图1，若 ，请你探索线段D、B、之间的数量关系，并 证明之； （2）如图2，若 ，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立， 给出证明；若不成立，请说明理由． 【答】见解析 【解析】（1）关系是： ． 证明：∵平分∠M， ∴ 又 ， ∴ 则 （直角三角形一锐角为30°，则它所对直角边为斜边一半） ∴ ； （2）仍成立． 证明：过点分别作M、的垂线，垂足分别为E、F ∵平分∠M ∴ （角平分线上点到角两边距离相等） ∵ ， ∴ 又 ，∴△ED≌△FB（S） ∵ ，∴ 由（1）知 ， ∴ ． 例112 如图，已知 ， ，BD 为∠B 的平分线，E⊥BE，求证： ． 【答】见解析 【解析】延长E，交B 的延长线于点F． ∵BD 为∠B 的平分线，E⊥BE， ∴△BEF≌△BE，∴ ， ． ∵ ，E⊥BE，∴ ， 又∵ ，∴△BD≌△F，∴ ．∴ ． 例113 如图， ， 平分 ， 平分 ，点 在 上． ①探讨线段 、 和 之间的等量关系． ②探讨线段 与 之间的位置关系． E D C B A F E D C B A 【答】见解析 【解析】① ；② ．证明如下： 在线段 上取点 ，使 ，连结 ． 在 和 中 ∴ ∴ ， ∵ 而 ∴ 在 和 中 ∴ ∴ ， ∴ ， 技巧提升： 作平行线法 作平行，构造全等．利用的思维模式是全等变换中的“平移”． 【例题1】 1 △B 中，∠B＝60°，∠＝40°，P 平分∠B 交B 于P，BQ 平分∠B 交于Q，求证：B＋ BP＝BQ＋Q．（有多种辅助线作法） 【答】见解析 E D C B A F E A B C D 【解析】 【分析】方法一，延长B 到D，使BD＝BP，连接PD，根据已知条件求得各个角 的值，发现∠4＝∠， ，进而得QB＝Q， ，再根据△PD≌△P，得D ＝，等量代换之后得证； 方法二，过点P 作PD//BQ 交Q 于点D，结合已知条件可得BQ＋Q＝Q＋Q＝，证 明△BP≌△DP，可得B＋BP＝D＋PD＝D＋D＝，等量代换之后得证； 【详解】方法一、证明：延长B 到D，使BD＝BP，连接PD， 则∠D＝∠5 ∵P，BQ 分别是∠B，∠B 的平分线，∠B＝60°，∠B＝40°， ∠ ∴ 1＝∠2＝30°，∠B＝180°－60°－40°＝80°，∠3＝∠4＝40°＝∠， ∴QB＝Q， 又∠D＋∠5＝∠3＋∠4＝80°， ∴ ＝40°, 在△PD 与△P 中， ， △ ∴PD △ ≌P（S）， ∴D＝． 即B＋BD＝Q＋Q， ∴B＋BP＝BQ＋Q． 方法二、如图，过点P 作PD∥BQ 交Q 于点D， BQ 平分∠B ∠ ∴ BQ＝ ∠B＝ ×80°＝40°， ∠ ∴ BQ＝∠B， ∴BQ＝Q， ∴BQ＋Q＝Q＋Q＝①， ∵PD BQ ∥ ∠ ∴ PD＝∠BQ＝40°， ∠ ∴ PD＝∠B＝40°， ∴PD＝D，∠DP＝∠PD＋∠B＝40°＋40°＝80°， ∠ ∵ B＝80°， ∠ ∴ B＝∠DP， ∵P 平分∠B， ∠ ∴ BP＝∠P， ∵在△BP 与△DP 中， ， △ ∴BP △ ≌DP（S）， ∴B＝D，BP＝PD， ∴B＋BP＝D＋PD＝D＋D＝②， 由①②可得，BQ＋Q＝B＋BP． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质与判定，等角对等边，熟 练以上知识点是解题的关键． 全等三角形的证明及其常见辅助线（二） 核心知识聚焦 1 截长补短法：截长补短法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等； 2 截长补短法适用于当已知或求证中涉及线段的和、差、倍、分时，通过截 长补短将问题转化为两条线段相等； 3 通过截长补短法构造全等三角形，体会转化思想在几何证明的运用 截长补短模型证明问题 【专题说明】 截长补短法在初中几何学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题, 而且这种方法一直贯穿着整个几何学的始终那么什么是截长补短法呢?所谓截长补 短其实包含两层意思,即截长和补短截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的 两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段当条件或结论 中出现+b=时，用截长补短． 【知识总结】 1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在 证所构造的线段和求证中那一条线段相等； 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线 段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或 是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明， 这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用 如图1，若证明线段B,D,EF 之间存在EF=B+D,可以考虑截长补短法 截长法：如图2，在EF 上截取EG=B,在证明GF=D 即可； 补短法：如图3，延长B 至点，使B=D,再证明=EF 即可 【类型】一、截长 “截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四 种方法。 方法一： 如图2 所示，在BF 上截取BM=DF， 易证△BM DF ≌△ （SS）， 则M=F=FG，∠BM= DF ∠ ， 可得△MF 为等腰直角三角形， 又可证∠FE=45°，∠FG=90°， FG= MF ∠ ∠ ，FG M ∥ ， 可得四边形GFM 为平行四边形，则G=MF， 于是BF=BM+MF=DF+G 图2 方法二： 如图2 所示，在BF 上截取FM=G， 可证四边形GFM 为平行四边形， 可得M=FG=F； 可得∠BF= BD=45° ∠ ，得∠MF=90°； 又得∠BM= DF=135° ∠ ， 于是△BM≌△DF（S），BM=DF， 于是BF=FM+BM=G+DF 上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt BD △ 和△MF。 [来源:Z§xx§km] 方法三： [来源:Z,xx,km] 如图3 所示，在BF 上截取FK=FD，得等腰Rt DFK △ ， 可证得∠DF= KFG=135° ∠ ， 所以△DF KFG ≌△ （SS）， 所以KG=D=B， FKG= FD= BF ∠ ∠ ∠ ，KG B ∥， 得四边形BGK 为平行四边形，BK=G， 于是BF=BK+KF=G+DF 图3 方法四：[来源:Z#xx#km] 如图3 所示，在BF 上截取BK=G， 可得四边形BGK 为平行四边形， B=GK=D，B KG ∥ ， GKF= BF= DF ∠ ∠ ∠ ，[] 根据四边形BFD 为圆的内接四边形， 可证得∠BF=45° ，∠DF= KFG ∠ ， 于是△DF KGF ≌△ （S），DF=KF， 于是BF=BK+KF=G+DF 上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt BD △ 和△KDF。 【类型】二、补短 “补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并 寻求解题突破，根据辅助线作法的不同也涉及四种不同的方法。 方法五： 如图4 所示，延长G 至，使=DF， 易证△DF B ≌△（SS）， 可得F=FG=B，∠DF= B=135° ∠ ， 又知∠FG=45°，可证B FG ∥ ， 于是四边形BFG 为平行四边形，得BF=G， 所以BF=G=+G=DF+G 图4[] 方法六： 如图4 所示，延长G 至，使G=BF， 得四边形BFG 为平行四边形， 所以B=GF=F， 又∠DF+ DF= B+ B=45° ∠ ∠ ∠ ， 得∠DF= B ∠， 又D=B，可证△DF B ≌△（SS）， DF=，以下从略 方法七： 如图5 所示，延长G 至P，使P=BF，连接PF， 则四边形PFB 为平行四边形，PF=B=D， 又∠BF=45°，∠PFE= DE ∠ ， 因为∠PFG= FG ∠ －∠P= 45°－∠P， DF= FE ∠ ∠ －∠DF=45°－∠DF， 又可证∠P= BF= DF ∠ ∠ ，于是∠PFG= DF ∠ ， 所以△PFG DF ≌△ （SS），PG=DF， 于是BF=P=G+PG=G+DF 图5 方法八： 如图5 所示，延长G 至P，使GP=DF，连接PF， 可证∠DF= PGF=135° ∠ ，F=F， 所以△DF PGF ≌△ （SS）， 所以D=PF=B， P= DF= BF= PE ∠ ∠ ∠ ∠ ，B FP ∥ ， 所以四边形BPF 为平行四边形， 所以BF=P=G+PG=G+DF 方法九： 如图6 所示，延长DE 至Q， 使DQ=BF，连接Q，GQ， 可证△BF DQ ≌△ （SS）， F=Q，∠BF= DQ ∠ ， 于是可得∠FQ= BD=90° ∠ ， 所以△FQ 为等腰直角三角形， 可得四边形FQG 为正方形，FQ=G， 所以BF=DQ=DF+FQ=DF+G 图6 方法十： 如图6 所示，延长FE 至Q，使FQ=G，通过证明四边形FQG 为正方形， △BF DQ ≌△ ，同样可以证明结论成立。感兴趣的读者可以自行证明，详细思路从略。 方法十一： 如图7 所示，延长FD 至，使D=G， 可证得∠BDF= BD+ DF ∠ ∠ ， EF= FG+ EG ∠ ∠ ∠ ， 于是∠BDF= EF ∠ ， 则∠BD= BF ∠ ， 所以△BD BF ∽△ （SS）， 得∠= BF=45° ∠ ， 所以△BF 为等腰直角三角形， 于是BF=F=DF+D=DF+G 图7 方法十二： 如图7 所示，延长FD 至，使F=BF， 可得△BF 为等腰直角三角形， 于是∠BD= FB ∠ ，又∠= BF=45° ∠ ， 所以△BD BF ∽△ ， 所以BF=F=DF+D=DF+G 经过上述分析，可知采取不同的切入点，解题思路会有差异。 方法1 截长补短法（往往需证2 次全等） 截长补短法使用范围：线段和差的证明 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一 短线段。 例：如图，求证BE+D=D 方法：①在D 上取一点F，使得F=BE，证DF=D； ②在D 上取一点F，使DF=D，证F=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+D=D 方法：①延长D 至点M 处，使M=BE，证DM=D； ②延长D 至点M 处，使DM=D，证M=BE （3）旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等。 注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线） 例：如图，已知B=，∠BM=∠=90°，求证BM+=M 方法：旋转△BM 至△F 处，证E=M 题模：截长补短类 例131 如图所示， 是边长为的正三角形， 是顶角为 的等腰三角形， 以 为顶点作一个 的 ，点 、 分别在 、 上，求 的周长． 【答】见解析 【解析】如图所示，延长 到 使 ． 在 与 中，因为 ， ， ， 所以 ，故 ． 因为 ， ，所以 ． 又因为 ，所以 ． 在 与 中， ， ， ， 所以 ，则 ，所以 的周长为． 典例1．（1）问题背景：如图1，在四边形BD 中，B＝D，∠BD＝120°，∠B＝∠D ＝90°．E，F 分别是B，D 上的点，且∠EF＝60°，请探究图中线段BE，EF，FD 之 间的数量关系是什么？ 小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G，使DG＝BE，连结G．先证明 △BE △ ≌DG，得E＝G；再由条件可得∠EF＝∠GF，证明△EF △ ≌GF，进而可得线 段BE，EF，FD 之间的数量关系是 ． （2）拓展应用：如图2，在四边形BD 中，B＝D，∠B+∠D＝180°．E，F 分别是 B，D 上的点，且∠EF＝ ∠BD．问（1）中的线段BE，EF，FD 之间的数量关系 是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答】（1）EF＝BE+DF；（2）结论EF＝BE+DF 仍然成立；证明见解析． 【分析】（1）延长FD 到点G．使DG=BE．连结G，即可证明△BE △ ≌DG，可得 E=G，再证明△EF △ ≌GF，可得EF=FG，即可解题； （2）延长FD 到点G．使DG=BE．连结G，即可证明△BE △ ≌DG，可得E=G，再 证明△EF △ ≌GF，可得EF=FG，即可解题． 【解析】（1）EF＝BE+DF，理由如下：在△BE 和△DG 中， ， △ ∴BE △ ≌DG（SS），∴E＝G，∠BE＝∠DG， ∠ ∵ EF＝ ∠BD，∴∠GF＝∠DG+∠DF＝∠BE+∠DF＝∠BD ∠ ﹣ EF＝∠EF， ∠ ∴ EF＝∠GF，在△EF 和△GF 中， ， △ ∴EF △ ≌GF（SS），∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答为：EF＝BE+DF． （2）结论EF＝BE+DF 仍然成立； 理由：延长FD 到点G．使DG＝BE．连结G，如图2， ∠ ∵ B+∠D＝180°，∠D+∠DG＝180°，∴∠B＝∠DG， 在△BE 和△DG 中， ，∴△BE △ ≌DG（SS），∴E＝G，∠BE＝∠DG， ∠ ∵ EF＝ ∠BD，∴∠GF＝∠DG+∠DF＝∠BE+∠DF＝∠BD ∠ ﹣ EF＝∠EF， ∠ ∴ EF＝∠GF，在△EF 和△GF 中， ， △ ∴EF △ ≌GF（SS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性 质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 典例突破：（1）如图1，在四边形BD 中，B＝D，∠BD＝100°，∠B＝∠D＝90°． E，F 分别是B，D 上的点．且∠EF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD 之间的数量 关系． 小明同学探究的方法是：延长FD 到点G，使DG＝BE，连接G，先证明 △BE △ ≌DG，再证明△EF △ ≌GF，可得出结论，他的结论是 （直接写结论，不 需证明）； （2）如图2，若在四边形BD 中，B＝D，∠B+∠D＝180°，E，F 分别是B，D 上的 点，且2∠EF＝∠BD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说 明理由； （3）如图3，四边形BD 是边长为7 的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF 的周 长． 【答】（1）EF＝BE+DF；（2）成立，理由详见解析；（3）14． 【分析】（1）延长FD 到点G．使DG＝BE．连结G，由“SS”可证△BE △ ≌DG，可 得E＝G，∠BE＝∠DG，再由“SS”可证△EF △ ≌GF，可得EF＝FG，即可解题； （2）延长EB 到G，使BG＝DF，连接G，即可证明△BG △ ≌DF，可得F＝G，再证 明△EF △ ≌EG，可得EF＝EG，即可解题； （3）延长E 到，使＝F，连接B，由“SS”可证△B △ ≌BF，可得B＝BF，∠B＝ ∠BF，由“SS”可证△EB △ ≌EBF，可得EF＝E，可得EF＝E＝E+F，即可求解． 【详解】证明：（1）延长FD 到点G．使DG＝BE．连结G， 在△BE 和△DG 中， ，∴△BE △ ≌DG（SS），∴E＝G，∠BE＝ ∠DG， ∠ ∵ BD＝100°，∠EF＝5