高中物理新教材同步必修第二册 第8章 专题强化 功的计算 机车的两种启动方式

专题强化 功的计算 机车的两种启动方式 [学习目标] 1.掌握功的公式的适用条件及求一般的变力做功的方法.2.进一步掌握瞬时功率和平均功率的 计算方法.3.会分析机车恒定功率启动和匀加速启动过程中加速度和速度的变化. 一、功的计算 1.恒力做功的计算 功的公式W＝Flcos α，只适用于恒力做功，即F 为恒力，l 是物体相对地面的位移，流程图 如下： 2.变力做功的计算 (1)将变力做功转化为恒力做功. 当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积. (2)当变力做功的功率P 一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt 求功. (3)用平均力求功：若力F 随位移x 线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将劲 度系数为k 的弹簧拉长x 时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2. (4)用F－x 图像求功 若已知F－x 图像，则图像与x 轴所围的面积表示功，如图1 所示，在位移x0内力F 做的功 W＝x0. 图1 在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R 的两个半圆构成.如图2 所示， 现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点拉至B 点，若拉力F 的方向时时刻刻与小球运 动方向一致，则此过程中拉力所做的功为( ) 图2 A.零 B.FR C.πFR D.2πFR 答案 C 解析 小球受到的拉力F 在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是变力.但是，如果把圆 周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成直线，拉力F 在每一小段上方向不变，每一 小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段做功累加起来.设每一小段的长度分别为l1， l2，l3…ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1，W2＝Fl2…Wn＝Fln，拉力在整个过程中所做的功 W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(l1＋l2＋…＋ln)＝F＝πFR. 放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6 s 内其速度与时间的图像 和水平拉力的功率与时间的图像如图3 甲、乙所示.下列说法正确的是( ) 图3 A.0～6 s 内物体的位移大小为20 m B.0～6 s 内拉力做功为100 J C.滑动摩擦力的大小为5 N D.0～6 s 内滑动摩擦力做功为－50 J 答案 D 解析 由题图甲可知，在0～6 s 内物体的位移大小为x＝×(4＋6)×6 m＝30 m，故A 错误； 由题图乙可知，P－t 图线与时间轴围成的面积表示拉力做功的大小，则0～6 s 内拉力做功 WF＝×2×30 J＋10×4 J＝70 J，故B 错误；在2～6 s 内，v＝6 m/s，P＝10 W，物体做匀速运 动，摩擦力Ff＝F＝＝ N，故C 错误；在0～6 s 内物体的位移大小为30 m，滑动摩擦力做负 功，即Wf＝－×30 J＝－50 J，D 正确. 二、机车的两种启动方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P－t 图 象与v－t 图像 运动 规律 OA 段：做加速度逐渐减小的变 加速直线运动； AB 段：做速度为vm的匀速直线 运动 OA 段：以加速度a 做匀 加速直线运动； AB 段：做加速度逐渐减 小的变加速直线运动； BC 段：做速度为vm的 匀速直线运动 过程 分析 OA 段：v↑⇒F＝↓⇒a＝↓； AB 段：F＝F 阻⇒a＝0⇒P 额＝F 阻·vm OA 段：a＝不变⇒F 不 变⇒v↑⇒P＝F·v↑，直 到P＝P 额＝F·v1； AB 段：v↑⇒F＝↓⇒a＝ ↓； BC 段：F＝F 阻⇒a＝ 0⇒v 达到最大值，vm＝ 在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车 重的0.1 倍(g 取10 m/s2)，则： (1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？ (2)当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？ (3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？ 答案 (1)见解析 (2) m/s (3)10 m/s 解析 (1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，v 变大，由P 额＝Fv 知，牵引力F 减小，根 据牛顿第二定律F－Ff＝ma 知，汽车的加速度逐渐减小. (2)F－Ff＝ma1 P 额＝Fv1 联立得：v1＝ m/s. (3)当汽车速度达到最大时，a2＝0，F′＝Ff，P＝P 额，故 vmax＝＝ m/s＝10 m/s. (2019·山西大学附中高一下学期期中)汽车发动机的额定功率为60 kW，汽车的质量 为4 吨，当它行驶在坡度为α(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图4 所示，所受摩擦力为车重 的0.1 倍(g 取10 m/s2)，求：(结果均保留三位有效数字) 图4 (1)汽车所能达到的最大速度vm； (2)若汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间； (3)当汽车从静止开始以0.6 m/s2的加速度匀加速行驶的速度达到最大值的过程中，汽车做功 为多少. 答案 (1)12.5 m/s (2)13.9 s (3)4.16×105 J 解析 (1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成， 即F 阻＝kmg＋mgsin α＝4 800 N 又因为F＝F 阻时，P＝F 阻·vm， 所以vm＝＝ m/s＝12.5 m/s (2)汽车从静止开始，以a＝0.6 m/s2的加速度匀加速行驶，有F′－kmg－mgsin α＝ma，所以 F′＝ma＋kmg＋mgsin α＝4×103×0.6 N＋4 800 N＝7.2×103 N；保持这一牵引力，汽车可达 到匀加速行驶的最大速度vm′，有 vm′＝＝ m/s≈8.33 m/s 由运动学规律可得 t＝＝ s≈13.9 s (3)汽车在匀加速阶段行驶时做功为 W＝F′·l＝F′·＝7.2×103×57.82 J≈4.16×105 J. 机车启动问题中几个物理量的求法 分析机车启动问题，要抓住两个核心方程：牛顿第二定律方程F－Ff＝ma 联系着力和加速 度，P＝Fv 联系着力和速度. (1)机车的最大速度vm的求法.机车最终匀速前进时速度最大，此时牵引力F 等于阻力Ff，故 vm＝＝. (2)匀加速启动持续时间的求法.牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm′＝，时间t＝. (3)瞬时加速度的求法.据F＝求出牵引力，则加速度a＝. (2018·鹤壁市高一下学期期末)汽车在平直公路上以速度v0匀速行驶，发动机功率为 P0.快进入闹市区时司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶.下 列四个图像中，哪个正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系图像( ) 答案 C 解析 汽车匀速行驶时牵引力等于阻力；功率减小一半时，汽车的速度由于惯性来不及变化， 根据功率和速度关系公式P＝Fv，牵引力减小一半，小于阻力，合力向后，汽车做减速运动， 由公式P＝Fv 可知，功率一定时，速度减小后，牵引力增大，合力减小，加速度减小，故 汽车做加速度不断减小的减速运动，当牵引力增大到等于阻力时，加速度减为零，汽车重新 做匀速直线运动，且v′＝v0，故选C. 1.(功的计算)一个物体在粗糙的水平面上运动，先使物体向右滑动距离l，再使物体向左滑动 距离l，正好回到起点，来回所受摩擦力大小都为Ff，则整个过程中摩擦力做功为( ) A.0 B.－2Ffl C.－Ffl D.无法确定 答案 B 解析 由题意可知，物体运动过程可分两段，两段内摩擦力均做负功，即W＝－Ffl，则全 程摩擦力所做的功W 总＝－2Ffl. 2.(以恒定功率启动)(2018·宜昌一中高一下学期期末)质量为m 的汽车在平直的公路上从静止 开始以恒定功率P 启动，最终以某一速度做匀速直线运动.此过程中，汽车所受阻力大小恒 为Ff，重力加速度为g，则( ) A.汽车的速度最大值为 B.汽车的速度最大值为 C.汽车的牵引力大小不变 D.汽车在做匀变速直线运动 答案 A 3.(机车启动中的图像问题)(多选)(2018·运城市河东一中期末)一辆轿车在平直公路上行驶， 启动阶段轿车牵引力保持不变，而后以额定功率继续行驶，经过时间t0，其速度由零增大到 最大值vm.若轿车所受的阻力Ff为恒力，关于轿车的速度v、牵引力F、功率P 随时间t 变化 的情况，下列选项正确的是( ) 答案 BCD 解析 轿车以恒定的牵引力F 启动，由a＝得，轿车先做匀加速运动，由P＝Fv 知，轿车的 输出功率均匀增加，当功率达到额定功率时，牵引力逐渐减小，加速度逐渐减小，轿车做加 速度逐渐减小的加速运动，当F＝Ff时，速度达到最大，之后轿车做匀速运动，B、C、D 正 确，A 错误. 4.(机车启动中的图像问题)一辆汽车在水平路面上由静止启动，在前5 s 内做匀加速直线运动， 5 s 末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t 图像如图5 所示.已知汽车的质量为m ＝2×103 kg，汽车受到的阻力为车重的，g 取10 m/s2，则( ) 图5 A.汽车在前5 s 内受到的阻力为200 N B.前5 s 内的牵引力为6×103 N C.汽车的额定功率为40 kW D.汽车的最大速度为20 m/s 答案 B 解析 由题意知汽车受到地面的阻力为车重的，则阻力Ff＝mg＝×2×103×10 N＝2 000 N，选 项A 错误；由题图知前5 s 内的加速度a＝＝2 m/s2，由牛顿第二定律知前5 s 内的牵引力F ＝Ff＋ma＝(2 000＋2×103×2) N＝6×103 N，选项B 正确；5 s 末达到额定功率P 额＝Fv5＝ 6×103×10 W＝6×104 W＝60 kW，最大速度vmax＝＝ m/s＝30 m/s，选项C、D 错误. 一、选择题 1.钢球在足够深的槽中由静止开始下降，若槽中的油对球的阻力正比于其速度，则球在下落 的过程中阻力对球做功的功率大小随时间的变化关系最接近下列图像中的( ) 答案 A 解析 开始阶段，球的速度小，阻力也小，由P＝Ffv 知，功率就小.由于Ff＝kv，则P＝ kv2，可见，阻力的功率随时间非线性增大.当重力与阻力相等时，球的速度不变，阻力的功 率达到最大，故选项A 正确. 2.(2018·岷县一中高一下学期期末)质量为5 t 的汽车，在水平路面上以加速度a＝2 m/s2启动， 所受阻力恒为1.0×103 N，汽车启动后第1 秒末发动机的瞬时功率是( ) A.2 kW B.22 kW C.1.1 kW D.20 kW 答案 B 解析 根据牛顿第二定律得：F－Ff＝ma，则F＝Ff＋ma＝1 000 N＋5 000×2 N＝11 000 N， 汽车第1 s 末的速度：v＝at＝2×1 m/s＝2 m/s，所以汽车启动后第1 s 末发动机的瞬时功率 为：P＝Fv＝11 000×2 W＝22 000 W＝22 kW，故B 正确. 3.(多选)如图1 所示，质量为m 的滑块(可视为质点)，从半径为R 的半球面的上端A 点处以 初速度v0滑下，B 为最低点，O 为球心，A、O、C 三点等高，从A 到C 滑动过程中滑块所 受到的摩擦力大小恒为Ff.则滑块( ) 图1 A.从A 到B 过程，重力做功为零 B.从A 到B 过程，弹力做功为零 C.从A 到B 过程，摩擦力做功为－πRFf D.从A 到C 过程，摩擦力做功为－πRFf 答案 BD 解析 滑块从A 到B 过程，重力做功不为零，选项A 错误；弹力始终与位移方向垂直，弹 力做功为零，选项B 正确；从A 到B 过程，摩擦力方向始终与速度方向相反，摩擦力做功 为W1＝－FfsAB＝－Ff(×2πR)＝－πRFf，选项C 错误；同理，滑块从A 到C 过程，摩擦力做功 W2＝－Ff(×2πR)＝－πRFf，选项D 正确. 4.如图2 所示，某个力F＝10 N 作用在半径为R＝1 m 的转盘的边缘上，力F 的大小保持不 变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力F 做的总功为( ) 图2 A.0 B.20π J C.10 J D.10π J 答案 B 解析 由题意知力F 的大小不变，但方向时刻都在变化，属于变力做功问题，转盘转动一 周过程中，力和作用点的位移方向始终相同，所以力方向上的位移即周长，W＝Fx＝F·2πR ＝20π J，选项B 正确. 5.(2018·长治二中期末)如图3 甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点O 处的小物块，在水平 拉力F 的作用下沿x 轴方向运动，拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系如图乙所示.已知 纵横坐标轴单位长度代表的数值相同，纵横坐标单位均为国际单位，曲线部分为半圆，则小 物块运动到x0处时拉力所做的功为( ) 图3 A.Fmx0 B.(Fm＋F0)x0 C.(Fm－F0)x0＋F0x0 D.x0 2＋F0x0 答案 C 解析 F－x 图像的“面积”等于拉力做功的大小，则得到拉力做的功W＝F0x0＋π()2＝F0x0 ＋x0 2，由题图乙看出，Fm－F0＝，故W＝(Fm－F0)x0＋F0x0，选项C 正确. 6.(2018·许昌市高一下学期期末)在平直的公路上，静止的汽车启动后先匀加速开始运动，达 到额定功率后保持额定功率不变继续运动.设汽车所受阻力恒定，则关于汽车运动全过程中 的加速度大小随时间变化图像可能是下图中的( ) 答案 A 解析 先保持匀加速运动，当汽车的功率达到额定功率时，此时P 额＝Fv，随着速度的增大， 牵引力在减小，根据F－Ff＝ma 知，加速度减小，故A 正确. 7.(2018·哈尔滨六校高一下学期期末联考)如图4 所示为某新型电动汽车在阻力一定的水平路 面上进行性能测试时的v－t 图像.Oa 为过原点的倾斜直线， bc 段是与ab 段相切的水平直线， ab 段汽车以额定功率P 行驶，下列说法正确的是( ) 图4 A.0～t1时间内汽车的功率减小 B.t1～t2时间内汽车的牵引力不变 C.t2～t3时间内牵引力不做功 D.汽车行驶时受到的阻力大小为 答案 D 解析 0～t1时间内，电动汽车做匀加速直线运动，牵引力不变，速度逐渐增大，根据P＝ Fv 知，汽车的功率逐渐增大，故A 错误；在v－t 图像中，斜率代表加速度，故在ab 段加 速度减小，牵引力减小，故B 错误；t2～t3时间内，电动汽车做匀速直线运动，牵引力等于 阻力，牵引力做正功，故C 错误；匀速行驶时，牵引力等于阻力，根据P＝Fv＝Ffv2得Ff ＝，故D 正确. 8.质量为m 的汽车，其发动机额定功率为P.当它在倾角为θ 的斜坡上向上行驶时，受到的阻 力为车重力的k 倍，则车在此斜坡上的最大速度为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 当汽车做匀速运动时速度最大，此时汽车的牵引力F＝mgsin θ＋kmg，由P＝Fvm可 得vm＝，故选项D 正确. 9.某重型气垫船，质量为5.0×105 kg，最高时速为108 km/h，装有额定输出功率为9 000 kW 的燃气轮机.假设该重型气垫船在海面航行过程所受的阻力Ff与速度v 满足Ff＝kv，下列说 法正确的是( ) A.该重型气垫船的最大牵引力为3.0×105 N B.由题中给出的数据可算出k＝1.0×104 N·s/m C.当以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船所受的阻力大小为3.0×105 N D.当以最高时速一半的速度匀速航行时，气垫船发动机的输出功率为4 500 kW 答案 B 解析 最大速度vm＝108 km/h＝30 m/s，此时的牵引力F＝＝ W＝3×105 N，在达到最大 速度前F>3.0×105 N，所以A 错误；由kvm＝Ff＝F 得：k＝＝ N·s/m＝1.0×104 N·s/m，B 正确；Ff′＝k·＝Ff＝1.5×105 N，此时发动机输出功率P′＝Ff′＝1.5×105×15 W＝2 250 kW， C、D 错误. 10.(多选)(2019·沙市中学高一下学期期中)质量为m 的坦克在平直的公路上从静止开始加速， 前进距离s 速度便可达到最大值vm.设在加速过程中发动机的功率恒定为P，坦克所受阻力 恒为Ff，当速度为v(v<vm)时，所受牵引力为F.以下说法正确的是( ) A.坦克的最大速度vm＝ B.坦克速度为v 时加速度为a＝ C.坦克从静止开始达到最大速度vm所用时间t＝ D.坦克从静止开始达到最大速度vm的过程中，牵引力做功为Fs 答案 AB 11.一汽车在平直公路上行驶.从某时刻开始计时，发动机的功率P 随时间t 的变化如图5 所 示.假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变.下列描述该汽车的速度v 随时间t 变化的图线中， 可能正确的是( ) 图5 答案 A 解析 在v－t 图像中，图线的斜率代表汽车运动时的加速度，由牛顿第二定律可得，在0～ t1时间内，－Ff＝ma，当速度v 不变时，加速度a 为零，在v－t 图像中为一条水平线；当速 度v 变大时，加速度a 变小，在v－t 图像中为一条斜率逐渐减小的曲线，选项B、D 错误. 同理，在t1～t2时间内，－Ff＝ma，图像变化情况与0～t1时间内情况相似，由于汽车在运动 过程中速度不会发生突变，故选项C 错误，A 正确. 12.(多选)(2018·郑州外国语学校期末)提高汽车运动速率的有效途径是增大发动机的功率和减 小阻力因数(设阻力与汽车运动速率的平方成正比，即Ff＝kv2，k 是阻力因数).当发动机的额 定功率为P0时，汽车运动的最大速率为vm，如果要使汽车运动的速率增大到2vm，则下列 办法可行的是( ) A.阻力因数不变，使发动机额定功率增大到4P0 B.发动机额定功率不变，使阻力因数减小到 C.阻力因数不变，使发动机额定功率增大到8P0 D.发动机额定功率不变，使阻力因数减小到 答案 CD 解析 设牵引力为F，当速度最大时，有F＝Ff，由题设知Ff＝kv2，当发动机的额定功率为 P0时，汽车运动的最大速率为vm，根据P＝Fv 得P0＝Ffvm＝kvm 3，即k＝，当阻力因数不变， 使发动机额定功率增大到4P0时，则有4P0＝kv3，则v＝＝vm，故A 错误；当发动机额定功 率不变，使阻力因数减小到时，则有P0＝v3，则v＝＝vm，故B 错误；当阻力因数不变，使 发动机额定功率增大到8P0时，则有8P0＝kv3，则v＝＝2vm，故C 正确；当发动机额定功率 不变，使阻力因数减小到时，则有P0＝v3，则v＝＝2vm，故D 正确. 二、非选择题 13.如图6 所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光滑的定滑轮O. 现以大小不变的拉力F 拉绳，使滑块从A 点由静止开始上升，运动到C 点时速度最大.已知 滑块质量为m，滑轮O 到竖直杆的距离为d，∠OAO′＝37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g. 求： 图6 (1)拉绳的拉力大小； (2)滑块由A 到C 过程中拉力F 做的功.(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 答案 (1)mg (2)mgd 解析 (1)对滑块进行受力分析，到C 点时的速度最大，则其合力为零