高中物理新教材同步必修第二册 第8章 1　功与功率

1 功与功率 [学习目标] 1.掌握功的公式W＝Flcos α 及公式的适用范围，会用功的公式进行计算.2.理解正、负功的概 念，会根据公式计算多个力所做的总功.3.理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝及功率 与速度的关系式P＝Fv 进行有关分析和计算. 一、功 1.功的公式：W＝Fl cos α ，其中F、l、α 分别为力的大小、位移的大小、力与位移的夹角. 2.功是标(填“矢”或“标”)量.在国际单位制中，功的单位是焦耳，符号是J. 二、正功和负功 1.力对物体做正功或负功的条件 由W＝Flcos α 可知 (1)当α＝时，W＝0，力F 对物体不做功. (2)当0≤α＜时，W＞0，力F 对物体做正功. (3)当＜α≤π 时，W＜0，力F 对物体做负功. 2.总功的计算 当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功等于： (1)各个分力分别对物体所做功的代数和 . (2)几个力的合力对物体所做的功. 三、功率 1.意义：功率是表示物体做功快慢的物理量. 2.定义：功W 与完成这些功所用时间 t 之比. 3.定义式：P＝.单位：瓦特，简称瓦，符号W. 4.功率与速度的关系式：P＝Fv(F 与v 方向相同). 应用：由功率速度关系知，汽车、火车等交通工具和各种起重机械，当发动机的功率P 一 定时，牵引力F 与速度v 成反(填“正”或“反”)比，要增大牵引力，就要减小速度. 5.功率是标(填“标”或“矢”)量. 1.判断下列说法的正误. (1)公式W＝Flcos α 中的l 是物体运动的路程.( × ) (2)物体只要受力且运动，该力就一定做功.( × ) (3)功有正负之分，所以功是矢量.( × ) (4)由公式P＝知，做功越多，功率越大.( × ) (5)力对物体做功越快，力的功率一定越大.( √ ) (6)汽车爬坡时常常需要换高速挡.( × ) 2.如图1 所示，质量为1 kg 的物体，静止在光滑水平面上.现在给物体一个与水平方向成60° 角斜向上、大小为10 N 的拉力F，物体在拉力F 的作用下沿水平面运动了2 s，则在这2 s 内，拉力F 所做的功是 J，功率是 W. 图1 答案 50 25 解析 Fcos 60°＝ma l＝at2 W＝Flcos 60° 联立解得W＝50 J， ＝＝25 W. 一、对功的理解 导学探究 1.观察图2，分析图中的哪个人对物体做了功？ 图2 答案 小川拉重物上升的过程，小川对重物做了功，其他三人都没有对物体做功. 2.如图3 所示，物体在与水平方向夹角为α 的力F 的作用下沿水平面前进了l，则力F 对物 体做的功为多少？ 图3 答案 如图所示，把力F 沿水平方向和竖直方向进行分解，物体在竖直方向上没有发生位 移，竖直方向的分力没有对物体做功，水平方向的分力为Fcos α，所做的功为Flcos α，所 以力F 对物体所做的功为Flcos α. 知识深化 对公式W＝Flcos α 的理解 1.某一恒力F 对物体做的功，只与l、α 有关，与物体的运动状态及物体是否还受其他作用力 等因素无关. 2.功是标量，没有方向，但是有正负. 3.公式W＝Flcos α 适用于计算恒力做功，若是变力，此公式不再适用. 如图4 所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ 角的恒定拉力F 作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，重力加速 度为g，则雪橇受到的( ) 图4 A.支持力做功为mgl B.重力做功为mgl C.拉力做功为Flcos θ D.滑动摩擦力做功为－μmgl 答案 C 解析 支持力和重力与位移方向垂直，不做功，A、B 错误；拉力和滑动摩擦力做功分别为 W1＝Flcos θ，W2＝－μ(mg－Fsin θ)l，C 正确，D 错误. 二、正、负功的理解 功的计算 导学探究 某物体在力F 作用下水平向右运动的位移为l，拉力的方向分别如图5 甲、乙所示，分别求 两种情况下拉力对物体做的功. 图5 答案 Fl －Fl 知识深化 1.正、负功的理解和判断 条件 从动力学角度看 从能量角度看 正功 当0≤α＜时，cos α ＞0，W＞0 力是物体运动的动力 力对物体做正功，向物体 提供能量，即受力物体获 得了能量 不做功 当α＝时，cos α＝ 0，W＝0 力对物体既不起动力作 用，也不起阻力作用 负功 当＜α≤π 时，cos α ＜0，W＜0 力是物体运动的阻力 物体克服外力做功，向外 输出能量(以消耗自身能 量为代价)，即负功表示 物体失去了能量 说明 也可根据力和速度方向夹角判断功的正负 (多选)质量为m 的物体，静止在倾角为θ 的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动 了距离l，如图6 所示.物体始终相对斜面静止，则下列说法正确的是( ) 图6 A.重力对物体做正功 B.合力对物体做功为零 C.摩擦力对物体做负功 D.支持力对物体做正功 答案 BCD 解析 物体的受力和位移如图所示，支持力FN与位移l 的夹角α<90°，故支持力做正功，D 选项正确；重力方向与位移方向垂直，故重力不做功，A 选项错误；摩擦力Ff与位移l 的夹 角大于90°，故摩擦力做负功，C 选项正确；物体做匀速运动，所受合力为零，合力做功为 零，B 选项正确. 2.总功的计算 当物体在多个力的共同作用下发生一段位移时，合力对物体所做的功等于各分力对物体做功 的代数和.故计算合力的功有以下两种方法： (1)先由W＝Flcos α 计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3…然后求所有力做功的代数和， 即W 合＝W1＋W2＋W3＋…. (2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F 合，然后由W 合＝F 合lcos α 计算总功，此时 α 为F 合的方向与l 的方向间的夹角. 注意：当在一个过程中，几个力作用的位移不相同时，只能用方法(1). (2019·嘉兴七校高一下学期期中)如图7 所示，一个质量为m＝2 kg 的物体，受到与 水平方向成37°角斜向上方的力F＝10 N 作用，在水平地面上从静止开始向右移动的距离为 l＝2 m，已知物体和地面间的动摩擦因数为0.3，g 取10 m/s2，求外力对物体所做的总功. (cos 37°＝0.8，sin 37°＝0.6) 图7 答案 7.6 J 解析 物体受到的摩擦力为：Ff＝μFN ＝μ(mg－Fsin 37°)＝0.3×(2×10－10×0.6)N＝4.2 N 解法一：先求各力的功，再求总功. 拉力F 对物体所做的功为： W1＝Flcos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J 摩擦力Ff对物体所做的功为： W2＝Fflcos 180°＝－4.2×2 J＝－8.4 J 由于重力、支持力对物体不做功，故外力对物体所做的总功W 等于W1和W2的代数和，即 W＝W1＋W2＝7.6 J. 解法二：先求合力，再求总功. 物体受到的合力为： F 合＝Fcos 37°－Ff＝10×0.8 N－4.2 N＝3.8 N， 所以W＝F 合l＝3.8×2 J＝7.6 J. 针对训练 如图8 所示，平行于斜面向上的拉力F 使质量为m 的物体匀加速地沿着长为L、 倾角为α 的固定斜面的一端向上滑到另一端，物体与斜面间的动摩擦因数为μ.重力加速度为 g，求作用在物体上的各力的合力对物体所做的总功.(物体可视为质点) 图8 答案 FL－mgLsin α－μmgLcos α 解析 以物体为研究对象，其受力分析如图所示： 解法一：拉力F 对物体所做的功为：WF＝FL. 重力mg 对物体所做的功为： WG＝mgLcos(90°＋α)＝－mgLsin α. 摩擦力对物体所做的功为： Wf＝FfLcos 180°＝－FfL＝－μmgLcos α. 支持力FN对物体所做的功为： WN＝FNLcos 90°＝0. 故各力的总功为：W＝WF＋WG＋Wf＋WN ＝FL－mgLsin α－μmgLcos α 解法二：物体受到的合力为： F 合＝F－mgsin α－Ff＝F－mgsin α－μmgcos α 所以合力做的功为： W＝F 合L＝FL－mgLsin α－μmgLcos α. 三、功率 导学探究 1.建筑工地上有两台起重机将重物吊起，下表是它们的工作情况记录： 起重机 编号 被吊物体重力 匀速上升 速度 上升的 高度 所用 时间 做功 A 2.0×103 N 4 m/s 16 m 4 s B 4.0×103 N 3 m/s 6 m 2 s (1)两台起重机哪台做功多？ (2)哪台做功快？怎样比较它们做功的快慢呢？ 答案 (1)两台起重机分别做功3.2×104 J、2.4×104 J，所以A 做功多. (2)B 做功快，可以用功与所用时间的比值表示做功的快慢. 2.在光滑水平面上，一个物体在水平恒力F 作用下从静止开始加速运动，经过一段时间t， 末速度为v.求： (1)在t 时间内力F 的功率； (2)在t 时刻力F 的功率. 答案 (1)物体在t 时间内的位移l＝ W＝Fl＝Fvt 在t 时间内力F 的功率为平均功率 ＝＝Fv (2)t 时刻的功率为瞬时功率 P＝Fv. 知识深化 1.功率表示的是物体做功的快慢，而不是做功的多少，功率大，做功不一定多，反之亦然. 2.区分平均功率和瞬时功率 (1)平均功率：与一段时间相对应 ①＝； ②＝F，其中为平均速度. (2)瞬时功率：与某一瞬时相对应 ①当F 与v 方向相同时，P＝Fv，其中v 为瞬时速度； ②当F 与v 夹角为α 时，P＝Fvcos α，其中v 为瞬时速度. 3.P＝Fv 中三个量的制约关系 定值 各量间的关系 应用 P 一定 F 与v 成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度 v 一定 F 与P 成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出 功率，获得较大牵引力 F 一定 v 与P 成正比 汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以 提高速度 某人用同一水平力F 先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平 面上前进l 距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l 距离.若先后两次拉力做 的功分别为W1和W2，拉力做功的平均功率分别为P1和P2，则( ) A.W1＝W2，P1＝P2 B.W1＝W2，P1＞P2 C.W1＞W2，P1＞P2 D.W1＞W2，P1＝P2 答案 B 解析 两次拉物体用的力都是F，物体的位移都是l，由W＝Flcos α 可知W1＝W2；物体在粗 糙水平面上前进时，加速度a 较小，由l＝at2可知用时较长，再由P＝可知P1>P2，选项B 正 确. 如图9 所示，质量为m＝2 kg 的木块在倾角θ＝37°的足够长的斜面上由静止开始下 滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2， 求： 图9 (1)前2 s 内重力做的功； (2)前2 s 内重力的平均功率； (3)2 s 末重力的瞬时功率. 答案 (1)48 J (2)24 W (3)48 W 解析 (1)木块下滑过程中，由牛顿第二定律得： mgsin θ－μmgcos θ＝ma 前2 s 内木块的位移x＝at2 联立解得：x＝4 m，a＝2 m/s2 所以重力在前2 s 内做的功为 W＝mgsin θ·x＝2×10×0.6×4 J＝48 J； (2)重力在前2 s 内的平均功率为 ＝＝ W＝24 W； (3)木块在2 s 末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s 2 s 末重力的瞬时功率为P＝mgsin θ·v＝2×10×0.6×4 W＝48 W. “某秒末”或“到某位置时”的功率是指瞬时功率，只能用P＝Fvcos α 求解；“某段时间 内”或“某个过程中”的功率，则是指平均功率，此时可用＝求解，也可以用＝Fcos α 求解. (2018·孝感八校教学联盟高一下学期期末联考)列车提速的一个关键技术问题是提高 机车发动机的功率.已知匀速运动时，列车所受阻力与速度的平方成正比，即Ff＝kv2.设提速 前匀速运动速度为180 km/h，提速后匀速运动速度为240 km/h，则提速前与提速后机车 发动机的功率之比为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 匀速运动时，F＝Ff＝kv2 P＝Fv，则P＝kv3 故提速前与提速后机车发动机的功率之比为 P1∶P2＝v1 3∶v2 3＝27∶64. 1.(正、负功的判断)(2018·山东夏季学业水平考试)某同学为配合值日生打扫地面，将凳子向 上搬起后再缓慢放回原处，此过程中该同学对凳子做功的情况是( ) A.一直做正功 B.先做正功，再做负功 C.一直做负功 D.先做负功，再做正功 答案 B 解析 该同学将凳子向上搬起过程中，人对凳子有向上的作用力，凳子向上运动，故人对凳 子做正功；放下过程中，人对凳子的力仍然向上，但凳子运动方向向下，故人对凳子做负功， 故B 正确，A、C、D 错误. 2.(功的计算)(2018·岷县一中高一下学期期末)用水平恒力F 作用于质量为m 的物体上，使之 在光滑的水平面上沿力的方向移动距离l，恒力F 做功为W1；再用该恒力作用在质量为2m 的物体上，使之在粗糙的水平面上沿力的方向移动同样的距离l，恒力F 做功为W2，则两次 恒力做功的关系是( ) A.W1>W2 B.W1<W2 C.W1＝W2 D.无法判断 答案 C 解析 物体沿力的方向运动，恒力做功就是指力F 做的功，根据W＝Flcos α，两次做功过 程中F、l、α 均相同，所以两次F 做功相同，即W1＝W2. 3.(总功的计算)如图10 所示，质量m＝50 kg 的滑雪运动员从高度h＝30 m 的坡顶由静止下 滑，斜坡的倾角θ＝37°，滑雪板与雪面之间的动摩擦因数μ＝0.1.则运动员滑至坡底的过程 中：(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，装备质量不计) 图10 (1)滑雪运动员所受的重力对他做了多少功？ (2)各力对运动员做的总功是多少？ 答案 (1)1.5×104 J (2)1.3×104 J 解析 (1)重力做的功为： WG＝mgsin 37°·＝1.5×104 J (2)各分力对运动员做的总功与合力对运动员做功相同，运动员所受合力为： F 合＝mgsin 37°－μmgcos 37°＝260 N 合力方向沿斜坡向下，沿合力方向的位移l＝＝50 m 合力做的功W 合＝F 合·l＝260×50 J＝1.3×104 J. 4.(对功率的理解)关于功率，下列说法正确的是( ) A.由P＝可知，只要知道W 和t 的值就可以计算出任意时刻的功率 B.由P＝Fv 可知，汽车的功率一定与它的速度成正比 C.由P＝Fv 可知，牵引力一定与速度成反比 D.当汽车的功率一定时，牵引力一定与速度成反比 答案 D 解析 公式P＝求的是一段时间内的平均功率，不能求瞬时功率，故A 错误；根据P＝Fv 可知，当汽车牵引力一定时，汽车的功率与速度成正比，故B 错误；由P＝Fv 可知，当汽 车功率一定时，牵引力与速度成反比，故C 错误，D 正确. 5.(瞬时功率分析)(2018·商丘市高一下学期期末九校联考)飞行员进行素质训练时，抓住秋千 杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程，如图11 所示，飞行员受重力的瞬时功率变 化情况是( ) 图11 A.一直增大 B.一直减小 C.先增大后减小 D.先减小后增大 答案 C 解析 由瞬时功率计算式P＝Fvcos α 可知，初状态P1＝0，最低点P2＝0，中间状态P＞0. 所以瞬时功率变化情况是先增大后减小，故C 正确. 6.(平均功率和瞬时功率的计算)在F＝6 N 的水平力作用下，质量m＝3 kg 的物体在光滑水平 面上由静止开始运动，运动时间t＝3 s.求： (1)力F 在前3 s 内对物体做的功； (2)力F 在前3 s 内对物体做功的平均功率； (3)在3 s 末力F 对物体做功的瞬时功率. 答案 (1)54 J (2)18 W (3)36 W 解析 (1)在水平力的作用下，物体在光滑水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，根据 牛顿第二定律可知，加速度a＝＝2 m/s2，则物体在3 s 末的速度v＝at＝6 m/s 物体在3 s 内的位移x＝at2＝9 m 力F 在前3 s 内对物体做的功W＝Fx＝54 J. (2)力F 在前3 s 内的平均功率＝＝18 W. (3)3 s 末力F 的瞬时功率P＝Fv＝6×6 W＝36 W. 考点一 功的概念 正、负功的判断 1.下列选项所示的四幅图是小华提包回家的情景，其中小华提包的力不做功的是( ) 答案 B 2.(多选)关于功的正、负，下列说法正确的是( ) A.功有正、负，所以功是矢量 B.正功表示功的方向与物体运动方向相同，负功表示功的方向与物体运动方向相反 C.正功表示力和位移夹角小于90°，负功表示力和位移夹角大于90° D.正功表示做功的力为动力，负功表示做功的力为阻力 答案 CD 3.(2018·孝感八校教学联盟高一下学期期末联考)如图1 所示，小朋友在弹性较好的蹦床上跳 跃翻腾，尽情玩耍，在小朋友接触床面向下运动的过程中，床面对小朋友的弹力做功情况是 ( ) 图1 A.先做负功，再做正功 B.先做正功，再做负功 C.一直做正功 D.一直做负功 答案 D 4.(2018·吉林省实验中学高一下学期期末)一人乘电梯从1 楼到20 楼，在此过程中经历了先 加速，再匀速，最后减速的运动过程，则电梯对人的支持力做功的情况是( ) A.加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B.加速时做正功，匀速和减速时做负功 C.加速和匀速时做正功，减速时做负功 D.始终做正功 答案 D 解析 在加速、匀速、减速的过程中，支持力与人的位移方向始终相同，所以支持力始终对 人做正功，故D 正确. 5.(2018·安徽师大附中高一下学期期末模拟)关于力对物体做的功，以下说法中正确的是( ) A.滑动摩擦力对物体做的功与路径有关 B.合外力不做功，物体必定做匀速直线运动 C.在相同的时间内作用力与反作用力做的功一定是绝对值相等，一正一负 D.一对作用力与反作用力不可能其中一个做功，而另一个不做功 答案 A 解析 滑动摩擦力做功与物体运动的路径有关，故A 正确；做匀速圆周运动的物体，合外 力不做功，但物体做曲线运动，故B 错误；作用力和反作用力的作用点的位移可能同向， 也可能反向，大小可以相等，也可以不等，故作用力和反作用力做功不一定相等，故相互作 用力做功之和不一定为零，故一对作用力和反作用力，可能作用力做功，而反作用力不做功， 故C、D 错误. 考点二 恒力做功的分析和计算 6.某人用20 N 的水平恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0