高中物理新教材同步选择性必修第二册 第1章专题强化 带电粒子在匀强磁场中的运动

[学习目标] 1.知道带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律.2.会分析带电粒子在有界 匀强磁场中的运动.3.会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题． 一、带电粒子在有界匀强磁场中的运动 1．直线边界 从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图1 所示． 图1 2．平行边界 图2 3．圆形边界 在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图3 所示． 图3 如图4 所示，直线MN 上方存在着垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场， 质量为m、电荷量为－q(q>0)的粒子1 在纸面内以速度v1＝v0从O 点射入磁场，其方向与 MN 的夹角α＝30°；质量为m、电荷量为＋q 的粒子2 在纸面内以速度v2＝v0也从O 点射入 磁场，其方向与MN 的夹角β＝60°.已知粒子1、2 同时到达磁场边界的A、B 两点(图中未画 出)，不计粒子的重力及粒子间的相互作用． 图4 (1)求两粒子在磁场边界上的穿出点A、B 之间的距离d. (2)求两粒子进入磁场的时间间隔Δt. 答案 (1) (2) 解析 (1)两粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示， 由牛顿第二定律有qvB＝m 得r1＝，r2＝ 故d＝＋＝2r1cos β＋2r2cos α＝. (2)粒子1 做圆周运动的圆心角θ1＝ 粒子2 做圆周运动的圆心角θ2＝ 粒子在匀强磁场中做圆周运动的周期T＝＝ 粒子1 在匀强磁场中运动的时间t1＝T 粒子2 在匀强磁场中运动的时间t2＝T 所以Δt＝t1－t2＝. (2019·武汉高二上六校联考)在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在 磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图5 所示．一个不计重力的带电 粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿－x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y 轴 的交点C 处沿＋y 方向飞出． 图5 (1)请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷； (2)若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B′，该粒子仍从A 处以相 同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求磁感应强度 B′的大小；此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？ 答案 (1)负电荷 (2)B 解析 (1)由粒子的运动轨迹(如图)，利用左手定则可知，该粒子带负电荷．粒子由A 点射入， 由C 点飞出，其速度方向改变了90°，则粒子轨迹半径R＝r，又qvB＝m， 则粒子的比荷＝. (2)设粒子从D 点飞出磁场，运动轨迹如图，速度方向改变了60°角，故AD 弧所对圆心角为 60°，由几何知识可知，粒子做圆周运动的半径R′＝＝ r，又R′＝，所以B′＝B，此次粒子在 磁场中运动所用时间t＝T＝×＝. 二、带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题 借助运动半径R 和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和 边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值． 注意：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． (2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间 越长． (3)当速率v 变化时，圆心角越大，运动时间越长． (多选)如图6 所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的 两条边界线，现有质量为m、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不 能从边界NN′射出，粒子入射速率v 的最大值可能是( ) 图6 A. B. C. D. 答案 BD 解析 设带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，粒子在磁场中做圆周运动时由洛伦兹力提 供向心力， 由牛顿第二定律可得qvB＝m，解得r＝. 带电粒子速率越大，轨道半径越大，当轨迹恰好与边界NN′相切时，粒子恰好不能从边界 NN′射出，对应的速率最大． 若粒子带负电，临界轨迹如图甲所示， 由几何知识得R＋Rcos 45°＝d， 解得R＝(2－)d， 对应的速率v＝. 若粒子带正电，临界轨迹如图乙所示， 由几何知识得：R－Rcos 45°＝d， 解得R＝(2＋)d. 对应的速率v＝. 如图7 所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O，方向垂直磁场方向向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、 大小为v0(未知量)的带正电粒子，已知粒子质量为m，电荷量为q，ad 边长为L，ab 边足够 长，粒子重力不计，求： 图7 (1)若粒子恰好不能从磁场下边界射出，求粒子的入射速度大小v01； (2)若粒子恰好不能从磁场上边界射出，求粒子的入射速度大小v02； (3)若带电粒子的速度v0大小可取任意值，求粒子在磁场中运动的最长时间． 答案 (1) (2) (3) 解析 (1)和(2)两种临界情况的运动轨迹如图所示， 若粒子速度为v0，则 qv0B＝m，解得：v0＝ 设圆心在O1处时对应圆弧与cd 边相切，相应速度为v01 由几何关系得：R1－R1sin θ＝，解得R1＝L 则有：v01＝＝ 设圆心在O2处时对应圆弧与ab 边相切，相应速度为v02 由几何关系得：R2＋R2sin θ＝，解得R2＝ 则有：v02＝＝； (3)由t＝T 和T＝可知，粒子在磁场中经过的弧所对的圆心角α 越大，在磁场中运动的时间 也越长．在磁场中运动的半径r<R2时，运动时间最长． 则圆弧所对圆心角为α＝2π－2θ＝，所以粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝×＝. 1.(带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动)如图8 所示，在x 轴上方存在着垂直于纸面向里、 磁感应强度为B 的匀强磁场．一个不计重力的带电粒子从坐标原点O 处以速度v 进入磁场， 粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x 轴正方向成120°角，若粒子穿过y 轴正半轴后 在磁场中到x 轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是( ) 图8 A. 正电荷 B. 正电荷 C. 负电荷 D. 负电荷 答案 C 解析 从“粒子穿过y 轴正半轴后……”可知粒子向右侧偏转，由左手定则可判定粒子带负 电，作出粒子运动轨迹示意图如图所示．根据几何关系有r＋rsin 30°＝a，再结合半径表达 式r＝，可得＝，C 正确． 2.(带电粒子在有界磁场中的运动)如图9 所示，以O 为圆心的圆形区域内，存在方向垂直纸 面向外的匀强磁场，磁场边界上的A 点有一粒子发射源，沿半径AO 方向发射出速率不同的 同种粒子(重力不计)，垂直进入磁场，下列说法正确的是( ) 图9 A．速率越大的粒子在磁场中运动的时间越长 B．速率越小的粒子在磁场中运动的时间越长 C．速率越大的粒子在磁场中运动的角速度越大 D．速率越小的粒子在磁场中运动的角速度越大 答案 B 解析 粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有Bqv＝m，解得粒子做圆周运 动的半径R＝，设磁场圆形区域半径为r，如图所示，粒子在磁场中运动的偏转角为2θ，由 几何关系得，tan θ＝，所以v 越大，则R 越大，则tan θ 越小，故θ 也越小，而周期T＝，即 不同速率的粒子在磁场中做圆周运动的周期相同，则粒子在磁场中运动的偏转角越大，运动 时间越长，所以速率越大的粒子在磁场中运动的偏转角越小，运动的时间越短，故A 错误， B 正确；粒子在磁场中运动的角速度ω＝＝，所以不同速率的粒子在磁场中运动的角速度相 等，故C、D 错误． 3.(带电粒子在有界磁场中的运动)(2019·全国卷Ⅱ)如图10，边长为l 的正方形abcd 内存在匀 强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd 所在平面)向外．ab 边中点有一电子发 射源O，可向磁场内沿垂直于ab 边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d 两点射 出的电子的速度大小分别为( ) 图10 A.kBl，kBl B.kBl，kBl C.kBl，kBl D.kBl，kBl 答案 B 解析 电子从a 点射出时，其运动轨迹如图线①，轨迹半径为ra＝，由洛伦兹力提供向心力， 有evaB＝m，又＝k，解得va＝；电子从d 点射出时，运动轨迹如图线②，由几何关系有rd 2 ＝l2＋(rd－)2，解得：rd＝，由洛伦兹力提供向心力，有evdB＝m，又＝k，解得vd＝，选项 B 正确． 4.(带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题)如图11 所示，直角坐标系中y 轴右侧存在一垂直 纸面向里、宽为a 的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ 平行于y 轴，一粒子(重力 不计)从原点O 以与x 轴正方向成θ 角的速率v 垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好 垂直PQ 射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出．求： 图11 (1)粒子的比荷； (2)粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间． 答案 (1) (2) 解析 (1)粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有rsin θ＝a， 斜向下射入时有rsin θ＋a＝r， 联立解得θ＝30°，且r＝2a， 由洛伦兹力提供向心力得 Bqv＝m， 得粒子的比荷为＝. (2)粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°， 周期为T＝＝， 则粒子在磁场中运动时间为t＝＝. 1.如图1 所示，在x>0，y>0 的空间中有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平 面向里，大小为B.现有一质量为m、电荷量为q 的带电粒子(不计重力)，在x 轴上到原点的 距离为x0的P 点，以平行于y 轴的初速度射入此磁场，在磁场力作用下沿垂直于y 轴的方向 射出此磁场，由这些条件可知( ) 图1 A．带电粒子一定带正电 B．不能确定粒子速度的大小 C．不能确定粒子射出此磁场的位置 D．不能确定粒子在此磁场中运动所经历的时间 答案 A 解析 粒子垂直于y 轴方向射出此磁场，故粒子向左偏转，由左手定则可知，粒子带正电， 且半径R＝x0，故粒子子射出磁场时的位置在y 轴上距原点x0处，由半径R＝可得速度v， 运动时间t＝＝，选项A 正确． 2．(多选)(2020·信宜市高二月考)如图2 所示，两个初速度大小相同的同种离子a 和b，从O 点沿垂直磁场方向进入匀强磁场，最后打到屏P 上．不计重力．下列说法正确的有( ) 图2 A．a、b 均带正电 B．a 在磁场中运动的时间比b 的短 C．a 在磁场中运动的路程比b 的短 D．a 在P 上的落点与O 点的距离比b 的近 答案 AD 解析 离子要打在屏P 上，都要沿顺时针方向偏转，根据左手定则可知，离子都带正电， 选项A 正确；由于是同种离子，因此质量、电荷量相同，因初速度大小也相同，由qvB＝m 可知，它们做圆周运动的半径相同，作出运动轨迹，如图所示，比较得a 在磁场中运动的路 程比b 的长，选项C 错误；由t＝可知，a 在磁场中运动的时间比b 的长，选项B 错误；从 图上可以看出，选项D 正确． 3.(2019·驻马店市高二上期末)如图3 所示，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质子和 α 粒子(氦原子核)先后以相同的动能对准圆心O 射入磁场，若粒子只受磁场力的作用，已知 质子在磁场中偏转的角度为90°，则α 粒子在磁场中偏转的角度是( ) 图3 A．30° B．45° C．90° D．120° 答案 C 解析 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，得r＝，质子和α 粒子的质量之比为1∶4，所 带电荷量之比为1∶2，质子和α 粒子具有相同的动能，故两者的速度之比为2∶1；根据r＝ 可得，质子和α 粒子在磁场中做圆周运动的半径相等，所以转过的角度相同，即也偏转 90°，故C 正确，A、B、D 错误． 4.半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从 A 点以速率v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B 点射出．∠AOB＝120°，如图4 所示，则该 带电粒子在磁场中运动的时间为( ) 图4 A. B. C. D. 答案 D 解析 由∠AOB＝120°可知， 所对圆心角θ＝60°，由带电粒子做匀速圆周运动可知，t ＝ ，由几何关系知R＝rtan 60°＝r，则 ＝R·θ＝r×＝πr，故t＝ ＝，D 正确． 5.(多选)如图5 所示，虚线框MNQP 内为一矩形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里， a、b、c 是三个质量和电荷量(绝对值)都相等的带电粒子，它们从PO 边上的中点沿垂直于 磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹，若不计粒子所受重力，则( ) 图5 A．粒子a 带负电，粒子b、c 带正电 B．射入磁场时，粒子b 的动能最大 C．粒子b 的运动轨迹是抛物线 D．射入磁场后c 的运动时间最长 答案 BD 解析 三个粒子都做圆周运动，选项C 错误；由左手定则可知粒子a 带正电，粒子b、c 带 负电，选项A 错误；由题图可知三个粒子的轨道半径关系为rb>ra>rc，由半径r＝可得 vb>va>vc，粒子b 的动能最大，选项B 正确；由周期T＝可知，三个粒子周期相同，由题图 可知粒子轨迹所对圆心角关系θc>θa>θb，射入磁场后的运动时间t＝·T，因c 的圆心角最大， 故c 运动的时间最长，选项D 正确． 6.(2019·北京卷)如图6 所示，正方形区域内存在垂直纸面的匀强磁场．一带电粒子垂直磁场 边界从a 点射入，从b 点射出．下列说法正确的是( ) 图6 A．粒子带正电 B．粒子在b 点速率大于在a 点速率 C．若仅减小磁感应强度，则粒子可能从b 点右侧射出 D．若仅减小入射速率，则粒子在磁场中运动时间变短 答案 C 解析 由左手定则可知，粒子带负电，A 项错误；由于洛伦兹力不做功，故粒子速率不变， B 项错误；粒子在磁场中的运动轨迹半径r＝，若仅减小磁感应强度B 的大小，则r 变大， 粒子可能从b 点右侧射出，C 项正确；若仅减小入射速率，则r 变小，粒子在磁场中的偏转 角θ 变大，由t＝T，T＝，知粒子在磁场中的运动时间变长，D 项错误． 7.(多选)(2020·湘潭市一中期中)如图7 虚线MN 上、下两侧是磁感应强度大小均为B、方向 相反的匀强磁场，一个质量为m、带电荷量为－q 的带电粒子(不计重力)以速度v 从P 点沿 与界面成θ＝30°角的方向射入MN 上方垂直纸面向里的匀强磁场中，则带电粒子到达界面 MN 所用的时间可能为( ) 图7 A. B. C. D. 答案 CD 解析 粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，应用圆中弦切角等于圆弧对应的圆心角的一半， 可知∠PAQ＝60°，根据对称性可知射入下边磁场时速度与边界成θ＝30°角，则同样有∠RDQ ＝60°，根据对称可知再次射入上边磁场时的速度和最初速度一样，则以后重复前面的运动． 设带电粒子从P 到Q 所用时间为t，则t＝，所以到达界面MN 所用的时间为T＝nt＝，其中 n＝1,2,3，…，选项A、B 不可能，C、D 可能． 8．(2020·全国卷Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a 和3a 的同轴圆柱面， 磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图8 所示．一速率为v 的电子从圆心沿半径方向进 入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线 圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( ) 图8 A. B. C. D. 答案 C 解析 磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径 为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据牛顿第二定律和圆周运动知识得evB＝m，联立 解得B＝，故选C. 9．(多选)(2019·青岛一中月考)如图9，正方形ABCD 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场， 甲、乙两带电粒子以相同的速度从A 点沿与AB 成30°角的方向垂直射入磁场．甲粒子从B 点离开磁场，乙粒子垂直CD 边射出磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( ) 图9 A．甲粒子带正电，乙粒子带负电 B．甲粒子的运动半径是乙粒子运动半径的倍 C．甲粒子的比荷是乙粒子比荷的倍 D．两粒子在磁场中的运动时间相等 答案 AC 解析 两粒子的运动轨迹如图，根据左手定则可知，甲粒子带正电，乙粒子带负电，选项A 正确；设正方形的边长为a，由几何关系知甲粒子的运动半径为r1＝a，乙粒子的运动半径 为r2＝＝a，甲粒子的运动半径是乙粒子运动半径的，选项B 错误；根据qvB＝m，解得＝， 则甲粒子的比荷是乙粒子比荷的倍，选项C 正确；甲、乙两粒子在磁场中转过的角度均为 60°，根据t＝·＝＝·＝，则两粒子在磁场中的运动时间不相等，选项D 错误． 10.(多选)如图10 所示，带有正电荷的A 粒子和B 粒子同时以同样大小的速度从宽度为d 的 有界匀强磁场的边界上的O 点分别以30°和60°(与边界的夹角)射入磁场，又恰好不从另一边 界飞出，则下列说法中正确的是( ) 图10 A．A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径的比值是 B．A、B 两粒子在磁场中做圆周运动的半径的比值是 C．A、B 两粒子的的比值是 D．A、B 两粒子的的比值是 答案 BD 解析 由几何关系有RAcos 30°＋RA＝d，RBcos 60°＋RB＝d，解得＝＝，选项A 错误，B 正确； 因为R＝，故＝∝R，故＝，选项C 错误，D 正确． 11.(2016·全国卷Ⅲ)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图11 所示，平 面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量 为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速 度与OM 成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一 点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( ) 图11 A. B. C. D. 答案 D 解析 带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r＝.轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨 迹如图所示，由于＝2rsin 30°＝r，故△AO′D 为等边三角形，∠O′DA＝60°，而∠MON＝30°， 则∠OCD＝90°，故CO′D 为一直线，＝＝2＝4r＝，故D 正确． 12.电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的．如图12 所示，电子束经过电 压为4.55×103 V 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，磁场方向垂直于圆面，磁场区的 中心为O.当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点．当加某一磁感应强度 为×10－4 T 的磁场时，电子束偏转60°射到屏幕边缘P 点，已知电子的电荷量e＝1.6×10－19 C， 质量m＝9.1×10－31 kg.电子的重力不计，求： 图12 (1)电子束打到屏幕上的速度大小； (2)圆形匀强磁场区的半径r. 答案 (1)4×107 m/s (2)0.05 m 解析 (1)由eU＝mv2得v＝＝4×1