高中物理新教材同步必修第二册 第6章 专题强化 圆周运动的综合分析

专题强化 圆周运动的综合分析 [学习目标] 1.会分析竖直面内的圆周运动，掌握轻绳、轻杆作用下圆周运动的分析方法.2.掌握圆周运动 临界问题的分析方法. 一、竖直面内的圆周运动 1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型 如图1 所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者 运动规律相同，现以甲图为例. 图1 (1)最低点动力学方程： FT1－mg＝m 所以FT1＝mg＋m (2)最高点动力学方程： FT2＋mg＝m 所以FT2＝m－mg (3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2＋ mg＝可知，当FT2＝0 时，v2最小，最小速度为v2＝. 讨论：当v2＝时，拉力或压力为零. 当v2>时，小球受向下的拉力或压力. 当v2<时，小球不能到达最高点. 如图2 所示，长度为L＝0.4 m 的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的 质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g 取10 m/s2，求： 图2 (1)小球刚好通过最高点时的速度大小； (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s 时，绳的拉力大小； (3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球运动过程中速度的最大值. 答案 (1)2 m/s (2)15 N (3)4 m/s 解析 (1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝m，解得v1＝ ＝2 m/s. (2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s 时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg ＝m，解得FT＝15 N. (3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝，将FT′ ＝45 N 代入解得v3＝4 m/s，即小球的速度不能超过4 m/s. 2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型 如图3 所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用 下做圆周运动. 图3 (1)最高点的最小速度 由于杆和管在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝ 0，此时小球受到的支持力FN＝mg. (2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况 ①v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以F＝m－mg，F 随v 增 大而增大； ②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m； ③0<v<，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mg－F＝m，所以F＝mg－m，F 随v 的增大 而减小. 如图4，长为0.5 m 的轻杆OA 绕O 点在竖直面内做圆周运动，A 端连着一个质量m ＝2 kg 的小球(半径不计).求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和 方向(g 取10 m/s2，取π2＝10)： 图4 (1)杆做匀速圆周运动的转速为2 r/s； (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s. 答案 (1)140 N 方向竖直向上 (2)10 N 方向竖直向下 解析 假设小球在最高点受到轻杆的作用力竖直向下，则小球受力如图所示： (1)杆的转速为2 r/s 时，ω＝2π·n＝4π rad/s， 由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2， 故小球所受杆的作用力 F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10) N＝140 N， 即杆对小球有140 N 的拉力，由牛顿第三定律可知，小球对杆的拉力大小为140 N，方向竖 直向上. (2)杆的转速为0.5 r/s 时，ω′＝2π·n′＝π rad/s， 同理可得小球所受杆的作用力 F′＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10) N＝－10 N. 力F′为负值表示它的方向与受力分析中假设的方向相反，即杆对小球有10 N 的支持力，由 牛顿第三定律可知，小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下. 二、圆周运动的临界问题 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持 力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态，分析圆 周运动临界问题的方法是让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态. 通常碰到较多的是涉及如下三种力的作用： (1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0. (2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0. (3)因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值. 如图5 所示，用一根长为l＝1 m 的细线，一端系一质量为m＝1 kg 的小球(可视为质 点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕 锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω 时，细线的张力为FT.(g 取10 m/s2，sin 37°＝0.6， cos 37°＝0.8，结果可用根式表示) 图5 (1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？ (2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 答案 (1) rad/s (2)2 rad/s 解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示.小 球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向 心力公式得 mgtan θ＝mω0 2lsin θ 解得ω0＝＝ rad/s (2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，小球已离开锥面，由牛顿第二定律及向心力公式得 mgtan α＝mω′2lsin α 解得ω′＝＝2 rad/s (2019·郑州市高一下学期期末)如图6 甲所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，物 块到转轴的距离为r，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑 动摩擦力，已知重力加速度为g. 图6 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，求ω1的值； (2)如图乙，将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω2＝时，求细绳的拉力FT2的大小； (3)将物块和转轴用细绳相连，当转盘的角速度ω3＝时，求细绳的拉力FT3的大小. 答案 (1) (2)0 (3)μmg 解析 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，物块与转盘刚好能相对静止，则此时物块所 需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg＝mrω1 2 解得：ω1＝ (2)由于ω2<ω1，物块受到的最大静摩擦力大于所需向心力，此时绳对物块没有拉力，故FT2 ＝0. (3)由于ω3>ω1，物块受到的最大静摩擦力不足以提供所需的向心力，此时绳对物块有拉力， 则μmg＋FT3＝mω3 2r，可得此时绳子对物块拉力的大小为FT3＝μmg. 1.(轻绳模型)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m 的细绳的一端，系一个与水的总质量 为m＝0.5 kg 的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如 图7 所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g 取10 m/s2)( ) 图7 A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N 答案 B 解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不 流出，故选B. 2.(过山车模型)(多选)如图8 所示，质量为m 的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运 动.圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过 最高点时下列表述正确的是( ) 图8 A.小球对圆环的压力大小等于mg B.重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力 C.小球的线速度大小等于 D.小球的向心加速度大小等于g 答案 BCD 解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为 零，选项A 错误；此时小球只受重力作用，即重力mg 充当小球做圆周运动所需的向心力， 则有mg＝m＝ma，即v＝，a＝g，选项B、C、D 正确. 3.(轻杆模型)如图9 所示，质量为m 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O 做 圆周运动.当小球运动到最高点时，瞬时速度大小为v＝，L 是球心到O 点的距离，则球对杆 的作用力是( ) 图9 A.mg 的拉力 B.mg 的压力 C.零 D.mg 的压力 答案 B 解析 当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mg＝m，解得：v′＝，而<， 故杆对球的作用力是支持力，即mg－FN＝m，解得FN＝mg，由牛顿第三定律可知，球对杆 的作用力是压力，B 正确，A、C、D 错误. 4.(圆周运动的临界问题)(2019·双峰一中高一下学期期末)如图10 所示，A、B、C 三个物体放 在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k 倍，三物体的质量分 别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R.当圆盘旋转时，若A、B、C 三物体均 相对圆盘静止，则下列说法正确的是( ) 图10 A.A 的向心加速度最大 B.B 和C 所受摩擦力大小相等 C.当圆盘转速缓慢增大时，C 比A 先滑动 D.当圆盘转速缓慢增大时，B 比A 先滑动 答案 C 一、选择题 1.如图1 所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，若轨道半 径为R，人体重为mg，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力，则过山 车在最高点时的速度大小为( ) 图1 A.0 B. C. D. 答案 C 解析 由题意知F＋mg＝2mg＝m，故速度大小v＝，C 正确. 2.某飞行员的质量为m，驾驶飞机在竖直面内以速度v 做匀速圆周运动，圆的半径为R，飞 行员对座椅的压力在最低点比最高点大(设飞行员始终垂直于座椅的表面)( ) A.mg B.2mg C.mg＋ D.2 答案 B 解析 在最高点有：F1＋mg＝m，解得：F1＝m－mg；在最低点有：F2－mg＝m，解得：F2 ＝mg＋m.所以由牛顿第三定律可知，F2′－F1′＝F2－F1＝2mg，B 正确. 3.(多选)(2019·双峰一中高一下学期期末)如图2 所示，长为l 的轻杆，一端固定一个小球，另 一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v， 下列说法正确的是( ) 图2 A.v 的最小值为 B.v 由零逐渐增大，向心力也增大 C.当v 由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大 D.当v 由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 答案 BCD 解析 由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此v 的最小值是零， 故A 错误.v 由零逐渐增大，由Fn＝可知，Fn也增大，故B 正确.当v＝时，Fn＝＝mg，此时 杆恰好对小球无作用力，向心力只由其自身重力提供；当v＞时，杆对球的力为拉力，由 mg＋F＝可得F＝m－mg，则当v 由逐渐增大时，拉力F 逐渐增大；当v＜时，杆对球的力 为支持力，此时，mg－F′＝可得F′＝mg－，当v 由逐渐减小时，支持力F′逐渐增大，杆对 球的拉力、支持力都为弹力，故C、D 正确. 4.(多选)如图3 所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半 径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下 列说法中正确的是( ) 图3 A.若v0＝，则小球对管内壁无压力 B.若v0>，则小球对管内上壁有压力 C.若0 <v0<，则小球对管内下壁有压力 D.不论v0多大，小球对管内下壁都有压力 答案 ABC 解析 在最高点，只有重力提供向心力时，由mg＝m，解得v0＝，此时小球对管内壁无压 力，选项A 正确；若v0＞，则有mg＋FN＝m，表明小球对管内上壁有压力，选项B 正确； 若0＜v0＜，则有mg－FN＝m，表明小球对管内下壁有压力，选项C 正确；综上分析，选项 D 错误. 5.(多选)如图4 所示，小球m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的 是( ) 图4 A.小球通过最高点时的最小速度是 B.小球通过最高点时的最小速度为零 C.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 答案 BD 6.(多选)(2019·襄阳四中期中考试)质量为m 的小球(不计大小)由轻绳a 和b 分别系于一竖直 轻质细杆的A 点和B 点，如图5 所示，当轻杆绕轴OO′以角速度ω 匀速转动时，小球在水平 面内做匀速圆周运动，a 绳与水平方向成θ 角，b 绳沿水平方向且长为l，则下列说法正确的 是( ) 图5 A.a 绳的张力不可能为零 B.a 绳的张力随角速度的增大而增大 C.若角速度ω>，b 绳将出现弹力 D.若b 绳突然被剪断，则a 绳的弹力一定发生变化 答案 AC 解析 对小球受力分析可得a 绳的弹力在竖直方向的分力平衡了小球的重力，解得FTa＝， 为定值，A 正确，B 错误.当FTacos θ＝mω2l，即ω＝时，b 绳的弹力为零，若角速度大于该 值，则b 绳将出现弹力，C 正确.由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断，a 绳的弹力可 能不变，D 错误. 7.(多选)如图6 所示，两个质量均为m 的小木块a 和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a 与转 轴OO′的距离为l，b 与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍， 重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω 表示圆盘转动的角速 度，下列说法正确的是( ) 图6 A.b 一定比a 先开始滑动 B.a、b 所受的摩擦力始终相等 C.ω＝是b 开始滑动的临界角速度 D.当ω＝时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC 解析 小木块a、b 做匀速圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即Ff＝mω2R.当角速度增大 时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块a：Ffa＝mωa 2 l，当 Ffa＝kmg 时，kmg＝mωa 2l，可得ωa＝；对木块b：Ffb＝mωb 2·2l，当Ffb＝kmg 时，kmg＝ mωb 2·2l，可得ωb＝，所以b 先达到最大静摩擦力，即b 先开始滑动，选项A 正确；两木块 滑动前转动的角速度相同，则Ffa＝mω2l，Ffb＝mω2·2l，Ffa<Ffb，选项B 错误；当ω＝时b 刚 要开始滑动，选项C 正确；ω＝<ωa时，a 没有滑动，则Ffa＝mω2l＝kmg，选项D 错误. 8.(2019·六安一中期中考试)如图7 所示，在水平圆盘上，沿半径方向放置用平直细线相连的 质量相等的两物体A 和B，它们与圆盘间的动摩擦因数相同，设最大静摩擦力等于滑动摩擦 力，当圆盘转速增大到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则两个物体将要发生的运动情况是 ( ) 图7 A.两物体仍随圆盘一起转动，不会发生滑动 B.只有A 仍随圆盘一起转动，不会发生滑动 C.两物体均沿半径方向滑动，A 靠近圆心、B 远离圆心 D.两物体均沿半径方向滑动，A、B 都远离圆心 答案 B 解析 当两物体刚要滑动时，A、B 所受静摩擦力都是最大静摩擦力Ffm.对A 有Ffm－FT＝ mω2rA，对B 有Ffm＋FT＝mω2rB，烧断细线的瞬间，FT消失，A 的向心力由圆盘的静摩擦力 提供，且Ff＝mω2rA<Ffm，A 仍随圆盘一起转动，而Ffm不足以提供B 所需的向心力，故B 将 沿某一曲线做离心运动，故选项B 正确. 9.(2019·北京十一学校期末)一转动轴垂直于一光滑水平面，交点O 的上方h 处固定一细绳的 一端，细绳的另一端固定一质量为m 的小球B(体积可忽略)，细绳长AB＝l>h，小球可随转 动轴转动，并在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图8 所示，要使小球不离开水平面，转动 轴的转速的最大值是(重力加速度为g)( ) 图8 A. B.π C. D.2π 答案 A 解析 如图所示，设细绳与转动轴夹角为θ，以小球为研究对象，小球受三个力的作用；重 力mg、水平面支持力FN、细绳拉力F，在竖直方向合力为零，则有Fcos θ＋FN＝mg，在水 平方向上由牛顿第二定律有Fsin θ＝m(2πn)2R＝m(2πn)2htan θ，则n＝，当小球即将离开水平 面时FN＝0，F 有最大值，转速n 有最大值，则有nmax＝，故A 正确，B、C、D 错误. 10.(多选)如图9 甲所示，轻杆一端固定在O 点，另一端固定一小球(大小不计)，现让小球在 竖直平面内做半径为R 的圆周运动.小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球 在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示.则( ) 图9 A.小球的质量为 B.当地的重力加速度大小为 C.v2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上 D.v2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 答案 ACD 解析 当小球受到的弹力方向向下时，有F＋mg＝，解得F＝v2－mg；当弹力方向向上时， 有mg－F＝m，解得F＝mg－m.对比F－v2图像可知，a＝mg，当v2＝b 时，F＝0，可得b＝ gR，则g＝，m＝，A 正确，B 错误；v2＝c 时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹 力方向向上，C 正确；v2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等，D 正确. 二、非选择题 11.如图10 所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m 的小球A、B 从水平地面上以不同速率进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为3mg，B 通过 最高点C 时，对管壁下部的压力为0.75mg.g 为重力加速度，忽略空气阻力，求A、B 两球落 地点间的距离. 图10 答案 3R 解析 两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力提供向心力，离开轨 道后两球均做平抛运动，A、B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差. 对A 球由牛顿第二定律得 3mg＋mg＝m 解得A 球通过最高点C 时的速度大小为vA＝2 对B 球由牛顿第二定律得 mg－0.75mg＝m 解得B 球通过最高点C 时的速度大小为vB＝ A、B 球做平抛运动的时间相同，由2R＝gt2可得t＝＝2 两球做平抛运动的水平分位移分别为 xA＝vAt＝4R xB＝vBt＝R A、B 两球落地点间的距离Δx＝xA－xB＝3R. 12.如图11 所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m 的物体A 放在转盘上， 物体A 到圆孔的距离为r，物体A 通过轻绳与物体B 相连，物体B 的质量也为m.若物体A 与 转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，则转盘转动的角速度ω 在什么范围内，才能使物体A 随转 盘转动而不滑动？(已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g) 图11 答案 ≤ω≤ 解析 当A 将要沿转盘背离圆心滑动时，A 所受的摩擦力为最大静摩擦