高中物理新教材同步必修第二册 第5章 专题强化 小船渡河与关联速度问题

专题强化 小船渡河与关联速度问题 [学习目标] 1.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题.2.建立两种模型的一 般分析思路和解法. 一、小船渡河问题 1.运动分析 小船渡河时，同时参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个 是船随水漂流的运动. 2.两类常见问题 (1)渡河时间问题 ①渡河时间t 取决于河岸的宽度d 及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t＝. ②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图1 所示，此时t＝. 图1 (2)最短位移问题 ①若v 水<v 船，最短的位移为河宽d，船头与上游河岸夹角满足v 船cos θ＝v 水，如图2 甲所 示. 图2 ②若v 水>v 船，如图乙所示，从出发点A 开始作矢量v 水，再以v 水末端为圆心，以v 船的大 小为半径画圆弧，自出发点A 向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向.这时船头与 河岸夹角θ 满足cos θ＝，最短位移x 短＝. (多选)(2019·宜宾市高一质检)如图3 所示为长江一段平行江道，一轮船的船头始终垂 直指向江岸方向，轮船在静水中运动的速度保持不变，水匀速流动(假设整个江道水流速度 相同)，下列说法正确的是( ) 图3 A.水流速度越大，轮船行驶位移越大 B.水流速度增大，轮船行驶位移不变 C.水流速度越大，过江时间越短 D.水流速度增大，过江时间不变 答案 AD 解析 因为船垂直于江岸方向的速度不变，而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上 没有分速度，设江道宽为d，船垂直于江岸的速度为v，t＝，所以不论水速多大，船过江时 间不变，故C 错误，D 正确.若水速越大，相同时间内沿水速方向的位移就越大，船在水中 运动的总位移也就越大，故B 错误，A 正确. 已知某船在静水中的速度为v1＝5 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理 想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行， (1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移的大小是多少； (2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？ (3)若水流速度为v2′＝6 m/s，船在静水中的速度为v1＝5 m/s 不变，船能否垂直河岸渡河？ 答案 (1)20 s 20 m (2)25 s (3)不能 解析 (1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水 流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，最短时 间为t＝＝ s＝20 s. 如图甲所示，当船到达对岸时，船沿平行于河岸方向也发生了位移，由几何知识可得，船的 位移为l＝，由题意可得x＝v2t＝3×20 m＝60 m，代入得l＝20 m. (2)当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝5 m/s， 大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指 向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝0.6，则sin θ＝＝0.8， 船的实际速度v＝v1sin θ＝5×0.8 m/s＝4 m/s，所用的时间为t＝＝ s＝25 s. (3)当水流速度v2′＝6 m/s 时，则水流速度大于船在静水中的速度v1＝5 m/s，不论v1方向如 何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河. 1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v 船在水流方向的分速度和水流速度等大、反 向，这种情况只适用于v 船>v 水时. 2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v 船与水流方向垂直. 3.要区别船速v 船及船的合运动速度v 合，前者是发动机(或划行)产生的分速度，后者是合速 度. 针对训练1 (2018·泸州市高一检测)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图4 所示.已知 船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是( ) 图4 A.船渡河时间为 B.船渡河时间为 C.船渡河过程被冲到下游的距离为·d D.船渡河过程被冲到下游的距离为·d 答案 C 解析 小船正对河岸运动，渡河时间最短，t＝，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝·d，故A、B、 D 错误，C 正确. 二、关联速度问题 关联速度分解问题是指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)： (1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向. (2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等. (3)常见的速度分解模型(如图5) 图5 (多选)如图6 所示，人在岸上用跨过定滑轮的绳子拉船，已知船的质量为m，水的阻 力恒为Ff，当轻绳与水面的夹角为θ 时，船的速度为v，人的拉力大小为F，则此时( ) 图6 A.人拉绳行走的速度大小为vcos θ B.人拉绳行走的速度大小为 C.船的加速度大小为 D.船的加速度大小为 答案 AC 解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使滑轮与船间的绳偏转， 因此将船的速度按如图所示(沿绳方向与垂直于绳方向)方式进行分解，人拉绳行走的速度大 小v 人＝v∥＝vcos θ，选项A 正确，B 错误；绳对船的拉力大小等于人拉绳的力的大小，即 绳的拉力大小为F，与水平方向成θ 角，因此Fcos θ－Ff＝ma，解得a＝，选项C 正确，D 错误. 针对训练2 (2019·鹤壁市期末)如图7 所示，物体A 套在竖直杆上，经细绳通过定滑轮拉动 物体B 在水平面上运动，开始时A、B 间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A 的运动， 使其恰好以速度v 沿杆匀速下滑(B 始终未与滑轮相碰)，则( ) 图7 A.绳与杆的夹角为α 时，B 的速率为vsin α B.绳与杆的夹角为α 时，B 的速率为vcos α C.物体B 也做匀速直线运动 D.物体B 做匀加速直线运动 答案 B 解析 如图所示，将A 物体的速度按图示两个方向分解，绳子速率v 绳＝v∥＝vcos α；而绳 子速率等于物体B 的速率，则物体B 的速率vB＝v 绳＝vcos α，故A 错误，B 正确；因物体A 向下运动的过程中α 减小，则cos α 增大，vB增大，B 物体加速运动，但不是匀加速运动， 故C、D 错误. 1.(小船渡河模型)(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v 的箭头所示，虚线 为小船从河岸M 驶向对岸N 的实际航线.则其中可能正确的是( ) 答案 AB 解析 小船渡河的运动可看成水流的运动和小船运动的合运动.虚线为小船从河岸M 驶向对 岸N 的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析 可知，实际航线可能正确的是A、B. 2.(小船渡河模型)(多选)河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图8 甲所示，船在静水中的 速度与时间的关系如图乙所示.若要使船以最短时间渡河，下列说法正确的是( ) 图8 A.船渡河的最短时间为100 s B.船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C.船在河中航行的轨迹是一条直线 D.船在河水中的最大速度为7 m/s 答案 AB 解析 由运动的独立性可知，垂直河岸方向速度越大，渡河时间越短，即船头始终与河岸垂 直，航行时所用时间最短，tmin＝＝100 s，选项A、B 正确；由题图甲可知，水流速度在变 化，船的合速度大小及方向均会随位置发生变化，因此轨迹不是直线，选项C 错误；船在 静水中的速度与水流速度方向垂直，水流速度最大值为4 m/s，则船在河水中的最大速度为5 m/s，选项D 错误. 3.(关联速度模型)(多选)如图9 所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳 使小车在水平面上运动，当运动到绳与水平方向成45°角时( ) 图9 A.小车运动的速度为v0 B.小车运动的速度为v0 C.小车在水平面上做加速运动 D.小车在水平面上做减速运动 答案 BC 解析 将小车速度沿绳方向与垂直绳方向进行分解，如图所示 人拉绳的速度与小车沿绳方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系vcos 45°＝v0，则 v＝＝v0，B 正确，A 错误；随着小车向左运动，绳与水平方向的夹角越来越大，设夹角为 α，由v＝知，v 越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C 正确，D 错误. 4.(关联速度模型)(2019·泉港一中高一下学期期末)如图10 所示，有人在河面上方20 m 的岸 上用跨过定滑轮的长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v＝3 m/s 拉绳，使小船靠岸，那么( ) 图10 A.5 s 时绳与水面的夹角为60° B.5 s 时小船前进了15 m C.5 s 时小船的速率为5 m/s D.5 s 时小船到岸边距离为10 m 答案 C 解析 5 s 内人前进的距离s＝vt＝3×5 m＝15 m，滑轮至船的距离l′＝－15 m＝25 m，设5 s 时拉船的绳与水平方向夹角为θ，则sin θ＝＝，由此可知，θ＝53°，cos θ＝，故v 船＝5 m/s，小船到岸边的距离s′＝20tan 37° m＝15 m，则5 s 时小船前进的距离为s1＝－s′＝(20－ 15) m，故A、B、D 错误，C 正确. 一、选择题 题型一 小船渡河模型 1.小船船头指向对岸，以相对于静水的恒定速率向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、 发生的位移与水速的关系是( ) A.水速小时，位移小，时间也短 B.水速大时，位移大，时间也长 C.水速大时，位移大，但时间不变 D.位移、时间大小与水速大小无关 答案 C 解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知， 小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船 以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位 移也就大，反之则合位移小. 2.(多选)在河道宽度为d 的河中，水流速度为v2，船在静水中速度为v1(且v1＞v2)，方向可 以选择，现让该船开始渡河，则该船( ) A.可能的最短渡河时间为 B.可能的最短渡河位移为d C.只有当船头垂直河岸渡河时，渡河时间才和水流速度无关 D.不管船头与河岸夹角是多少，渡河时间和水流速度均无关 答案 BD 解析 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，为，故A 错误；当合速度与河岸垂直时，渡 河位移最小为d，故B 正确；将船的实际运动沿垂直水流方向和水流方向分解，由于各个分 运动互不影响，因而渡河时间等于沿船头方向的分运动时间，为t＝(x1为沿船头指向的分位 移)，显然与水流速度无关，故C 错误，D 正确. 3.(2019·山西平遥中学高一下期中)在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的， 洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A 离 岸边最近处O 的距离为d，若战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O 点 的距离为( ) A. B.0 C. D. 答案 C 解析 摩托艇登陆的最短时间t＝，登陆点到O 点的距离s＝v1t＝，故选C. 4.一只小船在静水中的速度为v1＝5 m/s，它要渡过一条宽为d＝50 m 的河，河水流速为v2 ＝4 m/s，则( ) A.这只船过河位移不可能为50 m B.这只船过河时间不可能为10 s C.若河水流速改变，船过河的最短时间一定不变 D.若河水流速改变，船过河的最短位移一定不变 答案 C 解析 当船头垂直指向河岸航行时，渡河时间最短，tmin＝＝ s＝10 s，B 错误；由于船在静 水中的速度大于河水流速，船的实际航向可以垂直河岸，即过河最短位移为s＝d＝50 m，A 错误；根据运动的独立性，渡河最短时间为10 s，与水速无关，C 正确；若河水流速大于船 在静水中的速度，则船过河最短位移大小大于河宽，D 错误. 5.(2019·厦门市高一下学期期末)某人划小船横渡一条两岸平行的河流，船在静水中的速度大 小不变，船头方向始终垂直于河岸，水流速度与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图1 所示， 则( ) 图1 A.各处水流速度大小都一样 B.离两岸越近水流速度越小 C.离两岸越近水流速度越大 D.无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最长 答案 B 解析 从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有指向下游的加速度，后具有指向上游 的加速度，故加速度是变化的，水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A、 C 错误，B 正确；根据运动的独立性，船身方向垂直于河岸，这种渡河方式耗时最短，故D 错误. 6.(多选)(2019·山东省实验中学高一下期中)如图2，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各 点的水流速度大小为v 水，各点到较近河岸的距离为x，v 水与x 的关系为v 水＝x(m/s)，让小 船船头垂直河岸由南向北渡河，小船在静水中的速度大小恒为v 船＝4 m/s，下列说法正确 的是( ) 图2 A.小船渡河的轨迹为直线 B.小船在河水中的最大速度是5 m/s C.小船渡河的时间是200 s D.小船在距南岸200 m 处的速度小于距北岸200 m 处的速度 答案 BC 解析 小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，在沿河岸方向上做变速运动，合加速度的方 向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动，选项A 错误；当小船行驶到河中央时水 流速度最大，v 水＝×400 m/s＝3 m/s，那么小船在河水中的最大速度vmax＝ m/s＝5 m/s， 选项B 正确；小船船头垂直河岸由南向北渡河，那么小船渡河的时间是t＝＝ s＝200 s，选 项C 正确；在距南岸200 m 处的河水速度大小与距北岸200 m 处的河水速度大小相等，根据 矢量的合成法则，则两种情况下小船的合速度大小相等，选项D 错误. 7.如图3 所示为一条河流，河水流速为v，一只船从A 点先后两次渡河到对岸，船在静水中 行驶的速度为v 静，第一次船头向着AB 方向行驶，渡河时间为t1，船的位移为s1；第二次船 头向着AC 方向行驶，渡河时间为t2，船的位移为s2，若AB、AC 与河岸垂线方向的夹角相 等，则( ) 图3 A.t1＞t2，s1＜s2 B.t1＜t2，s1＞s2 C.t1＝t2，s1＜s2 D.t1＝t2，s1＞s2 答案 D 解析 因为AB、AC 与河岸的垂线方向的夹角相等，则在垂直于河岸方向上的分速度相等， 渡河时间t＝，所以两次渡河时间相等.设AB、AC 与河岸夹角为θ，船头向着AB 方向时，沿 河岸方向的分速度v1＝v 静cos θ＋v，船头向着AC 方向行驶时，沿河岸方向的分速度v2＝|v －v 静cos θ|＜v1，水平方向上的位移x1＞x2，根据平行四边形定则，s1＞s2，故D 正确，A、 B、C 错误. 8.如图4 所示，一条小船位于200 m 宽的河中央A 点处，离A 点距离为100 m 的下游处有一 危险的急流区，当时水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静止 水中的速度至少为( ) 图4 A. m/s B. m/s C.2 m/s D.4 m/s 答案 C 解析 小船刚好避开危险区域时，小船合运动方向与水流方向的夹角设为θ，则tan θ＝＝， 则θ＝30°，当船头垂直合运动方向渡河时，小船在静水中的速度最小，在静水中的最小速 度vmin＝v 水sin 30°＝2 m/s，C 正确. 题型二 关联速度模型 9.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳 使物体A 到达如图5 所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度大小是( ) 图5 A.v0sin θ B. C.v0cos θ D. 答案 D 解析 由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子 的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A 的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的， 这一轨迹所对应的运动就是物体A 的合运动，它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v ＝，所以D 正确. 10.如图6 所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，小船水平向左运 动，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船的速度vx为( ) 图6 A.小船做变加速运动，vx＝ B.小船做变加速运动，vx＝v0cos α C.小船做匀速直线运动，vx＝ D.小船做匀速直线运动，vx＝v0cos α 答案 A 11.(2019·康杰中学期中)如图7 所示，汽车用跨过定滑轮的轻绳提升物块.汽车匀速向右运动， 在物块到达滑轮之前，下列说法正确的是( ) 图7 A.物块将竖直向上做匀速运动 B.物块将处于超重状态 C.物块将处于失重状态 D.物块将竖直向上先加速后减速 答案 B 解析 设汽车向右运动的速度为v，绳子与水平方向的夹角为α，物块上升的速度为v′，则 vcos α＝v′，汽车匀速向右运动，α 减小，v′增大，物块加速上升，A、D 错误；物块的加速 度向上，处于超重状态，B 正确，C 错误. 12.(2019·眉山高中下学期期末质检)如图8 所示，人用轻绳通过定滑轮拉穿在光滑竖直杆上 的物块A，人以速度v0向左匀速拉绳，某一时刻，绳与竖直杆的夹角为θ，与水平面的夹角 为α，此时物块A 的速度v1为( ) 图8 A.v1＝v0sin αcos θ B.v1＝ C.v1＝v0cos αcos θ D.v1＝ 答案 D 解析 人和A 沿绳方向的分速度相等 可得v0cos α＝v1cos θ 所以v1＝. 13.如图9 所示， 一根长直轻杆AB 在墙角沿竖直墙和水平地面滑动.当AB 杆和墙的夹角为θ 时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v1，B 端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系 是( ) 图9 A.v1＝v2 B.v1＝v2cos θ C.v1＝v2tan θ D.v1＝v2sin θ 答案 C 解析 将A 端的速度沿杆方向和垂直于杆的方向分解，沿杆方向的分速度为v1∥＝v1cos θ， 将B 端的速度沿杆方向和垂直于杆方向分解，沿杆方向的分速度v2∥＝v2sin θ.由于v1∥＝v2∥. 所以v1＝v2tan θ，故C 正确，A、B、D 错误. 二、非选择题 14.如图10 所示，河宽d＝120 m，设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2.小船从A 点出发，若船头指向河对岸上游的B 点，经过10 min，小船恰好到达河正对岸的C 点；若 船头指向河正对岸的C 点，经过8 min，小船到达C 点下游的D 点.求： 图10 (1)小船在静水中的速度v1的大小； (2)河水的流速v2的大小； (3)在第二次渡河中小船被冲向下游的距离sCD. 答案 (1)0.25 m/s (2)0.15 m/s (3)72 m 解析 (1)小船从A 点出发，若