专题6.1 平方根与立方根【九大题型】（原卷版）

专题61 平方根与立方根【九大题型】 【人版】 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】.............................................................................................................1 【题型2 平方根性质的运用】.................................................................................................................................2 【题型3 开平方、开立方的运算】.........................................................................................................................3 【题型4 利用开平方、开立方解方程】................................................................................................................. 3 【题型5 算术平方根的概念及非负性】................................................................................................................. 4 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】.............................................................................................................5 【题型7 平方根与立方根综合】.............................................................................................................................6 【题型8 算术平方根、立方根的应用】................................................................................................................. 6 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】.........................................................................................................7 【知识点1 平方根的概念及表示】 ①定义：如果x 2=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，也称为二次方根 ②表示方法：正数a的正的平方根记作❑ √a，负的平方根记作−❑ √a，正数a的两个平方根记 作± ❑ √a，读作正、 负根号a，其中a叫做被开方数 【知识点2 立方根的概念及性质】 （1）一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。即如果 x3=，那么x 叫做的立方根，记作 。即 。 （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是0 【题型1 平方根、立方根的概念及表示】 【例1】（2022 春•海淀区校级期中）下列各数中，一定没有平方根的是（ ） ．﹣ B．﹣2+1 ．﹣2 D．﹣2 1 ﹣ 【变式1-1】（2022 春•鞍山期末）下列说法正确的是（ ） ．﹣1 是1 的平方根 B．﹣1 是-1 的平方根 ．﹣1 是1 的立方根 D．﹣1 没有立方根 【变式1-2】（2022 春•应城市期末）下列各式中，正确的是（ ） ．−❑ √−9=3 B．3 √−27=−3 ． 3 √ 1 8=± 1 2 D．3 √8=−2 【变式1-3】（2022 春•高安市期中）下列叙述中，错误的是（ ） 1 ．0 只有一个平方根 B．若x2＝3，则x＝±❑ √3 ．❑ √64的立方根是2 D．512 的立方根是±8 【知识点3 平方根的性质】 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【题型2 平方根性质的运用】 【例2】（2022 春•临洮县期中）一个正数x 的两个平方根分别是2 1 ﹣与﹣+2，求的值和 这个正数x 的值． 【变式2-1】（2022•工业区期中）一个正数M 的两个平方根分别是2+3 和2b 1 ﹣，求 （+b）2022． 【变式2-2】（2022 春•孟村县期中）已知正实数x 的两个平方根是m 和m+b． （1）当b＝8 时，m 的值是 ； （2）若m2x+（m+b）2x＝4，则x＝ ． 【变式2-3】（2022 春•建安区期中）若是（﹣4）2的平方根，b 的一个平方根是2，则代数 式+b 的值为（ ） ．8 B．0 ．8 或0 D．4 或﹣4 【知识点4 开平方】 求一个数的平方根的运算叫做开平方． 【知识点5 开立方】 求一个数的立方根的运算，叫做开立方 【题型3 开平方、开立方的运算】 【例3】（2022 春•雨花区校级月考）根据图中呈现的运算关系，可知＝ ，b＝ ． 1 【变式3-1】（2022 春•绥棱县期末）已知x、y 为实数，且满足❑ √1+x+❑ √1−y=¿0，那么 x2022﹣y2022＝ ． 【变式3-2】（2022 春•五常市期末）1 10 6的平方根是 ，﹣27 的立方根是 ． 【变式3-3】（2022 春•龙岩期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的x 为64 时，输 出的y 是（ ） ．2❑ √2 B．2 ．❑ √2 D．±❑ √2 【题型4 利用开平方、开立方解方程】 【例4】（2022•靖江市期末）求出下列x 的值： （1）4x2 9 ﹣＝0； （2）8（x+1）3＝125． 【变式4-1】（2022 春•阆中市期中）（1）已知4（x 3 ﹣）2＝64，求x 的值． （2）已知（x+1）3+27＝0，求x 的值． 【变式4-2】（2022 春•安陆市期中）求x 的值：（1）2x2＝50； （2）（x+1）3+3¿−3 8． 【变式4-3】（2017 秋•金牛区校级月考）解方程：若（x 1 ﹣）2 1 ﹣＝8，则x＝ ；若x3 −8 27 =¿0，则x＝ ． 【知识点6 算术平方根的概念】 正数a有两个平方根± ❑ √a，我们把正数a的正的平方根❑ √a，叫做a的算术平方根． 1 【知识点7 算术平方根的性质】 ①正数的算术平方根是一个正数；0 的算术平方根是0； ②负数没有算术平方根当a≥0时，❑ √a 2=a； ③算术平方根具有双重非负性：a≥0；❑ √a≥0 【题型5 算术平方根的概念及非负性】 【例5】（2022 春•饶平县校级期末）❑ √( x 2+4) 2的算术平方根是（ ） ．（x2+4）4 B．（x2+4）2 ．x2+4 D．❑ √x 2+4 【变式5-1】（2022 春•巴彦县期末）若x 5 ﹣有算术平方根，则x 满足的条件是 ． 【变式5-2】（2022 春•宁县期末）若❑ √7−x为整数，x 为正整数，则x 的值为 ． 【变式5-3】（2022 春•椒江区期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相 等的负整数，若两两乘积的算术方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如： ﹣9 ，﹣4 ，﹣1 这三个数， ❑ √(−9)×(−4)=6， ❑ √(−9)×(−1)=3， ❑ √(−4)×(−1)=2，其结果6，3，2 都是整数，所以﹣1，﹣4，﹣9 这三个数称为“完 美组合数”． （1）﹣18，﹣8，﹣2 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由． （2）若三个数﹣3，m，﹣12 是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为 12，求m 的值． 【题型6 开方运算中的小数点移动规律】 【例6】（2022 春•遵义期末）如下表，被开方数和它的算术平方根❑ √a的小数点位置移动 符合一定的规律，根据规律可得m，的值分别为 00625 0625 625 625 625 6250 62500 625000 ❑ √a 025 0791 m 25 791 250 791 （注：表中部分数值为近似值）（ ） ．m＝0025，≈791 B．m＝25，≈791 ．m≈791，＝25 D．m＝25，≈0791 【变式6-1】（2022•乐清市校级期中）（1）填表： 1 0000001 0001 1 1000 1000000 3 √a 1 （2）由上你发现了什么规律？用语言叙述这个规律． 被开方数的小数点每向右移动三位，相应的立方根的小数点就向 移动 位； （3）根据你发现的规律填空： ①已知3 √3=¿1442，则3 √3000=¿ ； ②已知3 √0.000456=¿007696，则3 √456=¿ ． 【变式6-2】（2022 春•岳麓区校级期中）已知❑ √25.36≈503587，❑ √253.6≈1592482，则 ❑ √253600≈ （结果保留3 位小数）． 【变式6-3】（2022•无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题： … 0001 ﹣ 0 0001 1 1000 … 3 √a … 01 ﹣ 0 1 … （1）被开方数的小数点位置移动和它的立方根的小数点位置移动有无规律？若有规律， 请写出它的移动规律． （2）已知：3 √a=−¿50，3 √0.125=¿05，你能求出的值吗？ 【题型7 平方根与立方根综合】 【例7】（2022 春•海珠区校级期中）一个正数m 的两个平方根分别为1 3 ﹣和+5，则这个 正数m 的立方根是 ． 【变式7-1】（2022 春•海珠区期末）若实数5x+19 的立方根是4，则实数3x+9 的平方根是 ． 【变式7-2】（2022 春•兴仁市月考）已知A= m−2 √n−m+3是﹣m+3 的算术平方根， B= m−2n+3 √m+2n是m+2 的立方根，求B﹣的平方根． 【变式7-3】（2022•兴化市月考）若、b 满足2＝9，b3＝﹣8，则﹣b 的值为 ． 【题型8 算术平方根、立方根的应用】 【例8】（2022•桥西区校级期中）解答下列应用题： 1 （1）某房间的面积为176m2，房间地面恰好由110 块相同的正方形地砖铺成，每块地砖 的边长是多少？ （2）已知第一个正方体水箱的棱长是60m，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的 体积的3 倍还多81 000m3，则第二个水箱需要铁皮多少平方米？ 【变式8-1】（2022 秋•沂源县期末）有一个底面为正方形的水池，水池深2m，容积为 1152m3，则此水池底面正方形的边长为（ ） ．24m B．42m ．925m D．1352m 【变式8-2】（2022•南安市校级月考）要制造一个长方体箱子，底面为正方形，体积为 025m3，且长方体的高是底面边长的2 倍． （1）求长方体的底面边长； （2）求长方体的表面积． 【变式8-3】（2022 春•奈曼旗期中）小明打算用一块面积为900m2的正方形木板，沿着边 的方向裁出一个长方形面积为588m2桌面，并且的长宽之比为4：3，你认为能做到吗？ 如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由． 【题型9 算术平方根、立方根的规律探究】 【例1】（2022 春•崇川区校级期中）将1、❑ √2、❑ √3、❑ √6按如图方式排列．若规定 （m，）表示第m 排从左向右第个数，则（5，4）与（12，3）表示的两数之和是 ． 1 【变式1-1】（2022 春•青山区期中）请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①❑ √1 3；② ❑ √1 3+2 3；③❑ √1 3+2 3+3 3；④❑ √1 3+2 3+3 3+4 3，观察你计算的结果，用你发现的规律写 出下面式子的值：❑ √1 3+2 3+3 3+⋯+26 3=¿ ． 【变式1-2】（2022 春•孝义市月考）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求它的立方 根．华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘．华罗庚给出了如下 方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，确定3 √59319是两位数；（2）由59319 个 位上的数是9，确定3 √59319个位上的数是9；（3）划去59319 后面的三位319 得到 59，而33＝27，43＝64，由此确定3 √59319十位上的数是3．请你类比上述过程，确定 21952 的立方根是 ． 【变式1-3】（2022 春•越秀区校级期中）将一组数❑ √3，❑ √6，❑ √9，❑ √12，⋯，❑ √180， 按下面的方式进行排列： ❑ √3，❑ √6，❑ √9，❑ √12，❑ √15，❑ √18 ❑ √21，❑ √24，❑ √27，❑ √30，❑ √33，❑ √36 ⋯⋯ 若❑ √12的位置记为（1，4），❑ √24的位置记为（2，2），则这组数据中最大的有理数的 位置记为 ． 1