精品解析：陕西省西安中学2021-2022学年高二下学期期中理科数学试题（解析版）

西安中学2021-2022 学年度第二学期期中考试 高二数学（理科）试题 一、单选题（本大题共12 小题，共36 分） 1. 已知复数 ，则 （ ） A. B. C. D. 1 【1 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则，直接计算即可 【详解】 ，所以， 故选：C 2. 设随机变量 的概率分布列为 1 2 3 4 则 （ ） A. B. C. D. 【2 题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析： ，故选B 考点：概率分布 3. 从5 名志愿者中选出3 人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共有（ ） A. 10 种 B. 20 种 C. 60 种 D. 120 种 【3 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据排列的定义即可求出． 【详解】解：从5 名志愿者中选出3 人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方案共 种． 故选： ． 【点睛】本题考查了排列的意义及其计算公式，属于基础题． 4. 若 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（ ） A. 180 B. 120 C. 90 D. 45 【4 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】已知条件中只有第六项的二项式系数最大， 应为偶数，可确定 值，进而利用展开式即可求得 常数项. 【详解】如果 为奇数，那么是中间两项的二项式系数最大； 如果 为偶数，那么是中间一项的二项式系数最大； 只有第六项的二项式系数最大 ， 展开式的通项为： 令 ，解得： 展开式中常数项是： . 故选：A. 5. 若曲线y＝x2＋ax＋b 在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则（ ） A. a＝1，b＝1 B. a＝－1，b＝1 C. a＝1，b＝－1 D. a＝－1，b＝－1 【5 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先用导数的定义解出函数在x=0 处的导数，进而结合导数的几何意义求得答案. 【详解】由题意可知k＝ ， 又(0，b)在切线上，解得：b＝1. 故选：A. 6. 现有5 人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，则不同的站法有（ ） A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 【6 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】 甲、乙相邻捆绑作为一全元素，丙、丁不相邻用插入法． 【详解】由题意不同站法数为： ． 故选：B. 【点睛】本题考查排列问题．涉及到相邻与不相邻问题，解题方法是相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插 入法． 7. 如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为 ，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴 影部分的概率是 A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为： ， 故所求概率为 ，故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等. 8. 为了宣传防疫知识，某单位安排甲、乙、丙、丁4 位志愿者到A，B，C 三处宣讲且每处至少一人，问甲、 乙不去同一地点的概率为（ ） A. B. C. D. 【8 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先求出所有的方法种数，再求出甲、乙去同一地点的方法种数，利用古典概型的概率公式即可求 解. 【详解】把甲、乙、丙、丁4 位志愿者到A ，B ，C 三处宣讲且每处至少一人，共有 种. 甲、乙去同一地点共有 种， 所以甲、乙不去同一地点的概率为 故选：A 9. 已知复数 满足 ( 为虚数单位)，则 ( ) A. B. C. D. 【9 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出 ，再利用共轭复数及概念计算出 . 【详解】由于 ，因此 ，因此 ，故选B. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的相关概念，难度不大. 10. 已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝ A. －4 B. －3 C. －2 D. －1 【10 题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知： ，解得 ，故选D. 【考点定位】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础 知识是解答好本类题目的关键. 11. 一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度 （的单位：， 的 单位： ）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位： ）是（ ） A. B. C. D. 【11 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程. 【详解】当汽车停止时， ，解得： 或 （舍去负值）， 所以 . 故答案选B 【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力. 12. 已知函数 在区间 上的图象如图所示，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【12 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】法一：利用导函数研究出极值点，进而结合图象及极值求出 的值；法二：设函数值为 ，使用 辅助角公式及三角函数的有界性及极值列出方程，求出 的值. 【详解】法一：当 时， 设 ，其中 ，则 ，另外 ，所以 ，故 ，解得： ，又因为 ，所以 ， 故选：B. 法二：由 ， ， 从而 ，由于 ，所以 ，解得： ，又从图象可 以看出 ，即 ，从而 ，解得： ，由于 ，故 . 故选：B. 二、填空题（本大题共5 小题，共15 分） 13. 袋中有 个黄球 个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得分，取得白球得 分，两个总分 和为 ，则 的概率是______． 【13 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】确定事件 是什么事件，然后可求得其概率． 【详解】 表示：两个球一个是黄球，一个是白球， ． 故答案为： ． 14. i 是虚数单位， ＋ ＝________. 【14 题答案】 【答案】－2 【解析】 【分析】按照复数除法、乘方运算法则计算即可. 【详解】 ＋ ＝ 故答案为： 15. 已知 ，则 ______． 【15 题答案】 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意得到 ，即可计算求解 【详解】由已知得， ，所以，可得 ，所以， 故答案为：32 16. 如图，用4 种不同的颜色对图中5 个区域涂色（ 4 种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相 邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _______ 种.（用数字作答） 【16 题答案】 【答案】96 【解析】 【详解】试题分析： 由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4 种方法；第二步：涂区域2，有3 种方法；第 三步：涂区域4，有2 种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3 与 1 同色，则区域5 涂第四种颜色；第二类，区域3 与1 不同色，则涂第四种颜色，此时区域5 就可以涂区域 1 或区域2 或区域3 中的任意一种颜色，有3 种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96. 考点：排列组合的应用. 17. 若函数 在区间 上是单调增函数，则实数 的取值范围是_________. 【17 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】 根据函数在区间 上是单调增函数，转化为导数不小于0 在区间 上恒成立，分离参数，利用函数 最值求解. 【详解】 ， 函数 在区间 上是单调增函数， 所以 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 由 ( ), 所以 ， 即 ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式恒成立问题，二次函数最值，转化思想，属于中档题. 三、解答题（本大题共5 小题，共49 分） 18. 在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4 轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核， 否则被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 、 、 、 ，且各轮问题 能否正确回答互不影响． （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率； 【18 题答案】 【答案】解：（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】 【详解】（Ⅰ）设事件 表示“该选手能正确回答第i 轮问题” ． 由已知 ， ， ， ． （Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则 （Ⅱ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则 19. 在棱长为2 的 正方体 中，E，F 分别为 ，CD 的中点． （1）求 ； （2）求直线EC 与AF 所成角的余弦值； （3）求二面角 的余弦值的绝对值． 【19 题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出 ，再计算模长即可； （2）求出 ， ，再计算EC 与AF 所成角的余弦值即可； （3）先求出平面ABCD 和平面AEF 的一个法向量，再计算二面角 的余弦值的绝对值即可. 【小问1 详解】 在棱长为2 的正方体 中，以 所在直线为 轴建立如图所示的空间直 角坐标系． 则 ， ， ， ， ， ∴ ； 【小问2 详解】 ∵ ， ， ∴ ∴直线EC 与AF 所成角的余弦值为 ． 【小问3 详解】 平面ABCD 的一个法向量为 ， 设平面AEF 的一个法向量为 ， ∵ ， ， ∴ ，令 ，则 ， ， 则 二面角 余弦值的绝对值为 ． 21. 已知函数 有极小值−6． （1）求 的值； （2）求 在 上的最大值和最小值． 【21 题答案】 【答案】（1） （2）最大值为 ，最小值为−6 【解析】 【分析】①对 求导，得到单调性进而可得 的极小值点，代入即可得 的值. ②求出极值点和端点处的函数值，比较大小即可得最大值和最小值. 【小问1 详解】 解： ， 令 ，解得： 或 ，令 ，解得 ， 所以 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ． 则 ，解得 ． 【小问2 详解】 由（1）知， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， ， ， ， ， 所以 在 上的最大值为 ，最小值为−6． 23. 为了了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100 名学生，收集了他们参加公益 劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表： 性别 男 6 9 10 10 9 4 女 5 12 13 8 6 8 学段 初中 x 8 11 11 10 7 高中 （1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在 的概率； （2）设参加公益劳动时间在 的学生中抽取3 人进行面谈.记 为抽到高中的人数，求随机变量 的概率分布. 【23 题答案】 【答案】（1） ；（2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由图表直接利用随机事件的概率公式求解即可； （2） 的所有可能取值为0，1，2，3，由古典概型的概率公式求概率，从而求出分布列． 【 详解】解：（1）100 名学生中共有男生48 名， 其中共有29 人参加公益劳动时间在 ， ， 设男生中随机抽取1 人，抽到的男生参加公益劳动时间在 ， 的事件为 ， 则 ； （2） 的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 24. 设 ， . （1）求 的单调区间； （2）讨论 零点的个数； （3）当 时，设 恒成立，求实数a 的取值范围. 【24 题答案】 【答案】（1）递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2）当 时， 有1 个零点，当 或 时， 有2 个零点，当 时， 有3 个零点.；（3） . 【解析】 【分析】（1）求 ，解不等式 得单调增区间，解不等式 得单调增区间； （2）先判断 是 的一个零点，当 时，由 得， ，分析 图象 与 交点个数即可求解； （3）通过变形构造函数 ，转化为该函数的最小值大于或 等于0，通过研究该函数的单调性与极值,、最值即可求解. 【详解】（1） ， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减. 故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2） 是 的一个零点，当 时，由 得， ， ， 当 时， 递减且 . 当 时， ，且 时， 递减， 时， 递增， 故， .图象如图， 当 时， 有1 个零点 当 或 时， 有2 个零点； 当 时， 有3 个零点. （3） ， 所以： ， 当 时，设 的根为 ，即有 ，可得， ， 当 时， ， 递减.当 时， ， 递增. 所以： ， ∴ . 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的 单调性，考查了判断函数零点的个数的数形结合的思想，考 查了不等式恒成立问题，属于中档题.