河南名校联盟2021-2022学年高二下学期期中考试理科数学试题（解析版）

河南名校联盟 2021—2022 学年高二（下）期中考试 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由方程表示双曲线解出 的范围，再由充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】由方程 表示双曲线可得 ，解得 ，显然 能推 出 ， 反之 不能推出 ，故“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 2. 已知复数 满足 （i 为虚数单位），复数 的共轭复数为 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出 ，再由复数的运算求出 ，结合共轭复数及复数的乘法即可求解. 【详解】 ，故 ， 则 ， . 故选：B. 3. 已知a， ， ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法逐一判断符号即可求解. 【详解】对于A： ， 因为 ，所以 ， ，但 的正负不确定， 所以 不一定成立，即选项A 错误； 对于B： ， 因为 ，所以 ， ，但 的正负不确定， 所以 不一定成立，即选项B 错误； 对于C： ， 因为 ，所以 ， ， ， 所以 一定成立，即选项C 正确； 对于D： ， 因为 ，所以 ， ，但 的正负不确定， 所以 不一定成立，即选项D 错误. 故选：C. 4. 已知 ，且 ， ， ，则 三个数（ ） A. 都小于 B. 至少有一个不小于 C. 都大于 D. 至少有一个不大于 【答案】B 【解析】 【分析】先求出 ，通过反证法证得 都小于 不成立，即可得出结果. 【详解】 ，假设 都小 于 ， 则 ，与题设矛盾，故假设不成立，即 至少有一个不小于 . 故选：B. 5. 已知函数 ，其中e 为自然对数的底数， .若曲线 在 处的切线与直 线 平行，则实数a 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求导得到 ，再利用斜率相等解方程即可求解. 【详解】 ，则 ，又直线 的斜率为 ， 故 ，解得 . 故选：A. 6. 用数学归纳法证明“ ” 的 过程中，从 到 时，不等式的左边增加了的项数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别列出 、 时不等式左边，对比判断． 【详解】由题意知，假设．时，不等式左边为 ． 当 时，不等式左边为 ， 相比 时增加了 ，共 项． 故选：C． 7. 在2022 年2 月北京冬奥会短道速滑男子500 米项目决赛前，某家庭中的爸爸、妈妈和孩子对进入决赛的 甲、乙、丙、丁、戊五位选手谁能夺冠进行猜测，依据运动员的实力和比赛规则，这五位选手都有机会获 得冠军.爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.比赛结束，冠军在这五 人中产生，且爸爸、妈妈、和孩子三人之中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（ ） A. 甲 B. 丙 C. 丁 D. 戊 【答案】B 【解析】 【分析】假设孩子的猜测正确，推出不成立，再假设妈妈的猜测正确，推出不成立，进而得到爸爸的猜测 正确，即可求解. 【详解】若孩子的猜测是正确的，则妈妈的猜测也正确，不合题意，故孩子的猜测是错误的，即冠军不是 丁也不是戊； 若妈妈的猜测是正确的，则冠军是甲，爸爸的猜测也正确，不合题意，故妈妈的猜测是错误的，即冠军是 乙或丙； 爸爸的猜测是正确的，故冠军是丙. 故选：B. 8. 观察等式： ， ， ， .若第n 个等式为 ，则满足不等式 恒成立的最大正整数 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得 ，再参变分离得到 ，结合二次函数的性质及 的取值范围， 求出 的取值范围，即可得解； 【详解】解：由题意得， ， 恒成立， ， 在 上单调递增，又 ， 时 取最小值为7， ， 即 的取值范围为 ，故最大正整数 的值为 ． 故选：B 9. 若 是函数 （其中e 为自然对数的底数）的一个极值点，则 在区间 上的最大值为（ ） A. B. C. e D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导由 解出 ，再检验满足 是一个极值点，确定函数在区间 上的单调性， 比较极大值及端点值即可求出最大值. 【详解】 ，由 是一个极值点可得 ， 解得 ，此时 ，故函数在 单减，在 单增， 满足 是一个极值点. 在 单减，在 单增， 又 ， ， ，故最大值为 . 故选：D. 10. 在数列 中， ， ，且 . 表示不超过x 的最大整数，若 ，数列 的前n 项和为 ，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 2022 D. 2023 【答案】B 【解析】 【分析】先由 得到 为等差数列，求出 的通项，再由累加法求 出 ，直接计算 ，再求得当 时， 即可求解. 【详解】由 可得 ，故 为公差为2 的等差数列， 首项为 ， 则 ， ， ， ， ， 将以上各式相加得 ，故 ， 也符合， 故 ，易得 ， ，当 时， ，故 ，故 ， 故 . 故选：B 11. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261 年所著的《详解 九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654 年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形 数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. B. 在第2022 行中第1011 个数最大 C. 第6 行的第7 个数、第7 行的第7 个数及第8 行的第7 个数之和等于9 行的第8 个数 D. 第34 行中第15 个数与第16 个数之比为2：3 【答案】C 【解析】 【分析】A 选项由 及 即可判断； B 选项由二项式系数的增减性即可判断；C 选项由 及 即可判断；D 选项直接计算 比值即可判断. 【详解】由 可得 ，故A 错误； 第2022 行中第1011 个数为 ，故B 错误； ，故C 正确； 第34 行中第15 个数与第16 个数之比为 ， 故D 错误. 故选：C. 12. 已知实数a，b 满足 ，且 ，e 为自然对数的 底数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由 得到 ，构造函数 ，确定函数的单调性及最值，得到 ， ，即可判断A 选项；由 化简即可判断D 选项；令 即可判断C 选 项；构造函数 由极值点偏移即可判断B 选项. 【详解】由 ，对 两边取对数得 ，令 ，则 ，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增，故 ， ，又 时， ， 时， ， ，即 ，结合图像可知， ， ，故A 错误； 易得 ，即 ，即 ，故 ，D 错误； 当 时， ，故 ，C 错误； 令 ，则 ， 又 ，由 可得 ，故 ，故 在 上单调递减， 故 ，即 ，即 ，又 ，故 ， 又 ，由上知 时， 单调递增，故 ，即 ，B 正确. 故选：B. 【点睛】本题关键点一在于由 得到 ，进而构造函数 ，确定函数的单调 性及最值，进而判断A、C、D 选项；关键点二在于构造函数 由极值点 偏移判断B 选项. 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 全国新高考方案为“ ”模式，其中“3”为语文、数学、外语三门必考科目，“1”为首选科目，学生 须在物理、历史中选择一科，“2”为再选科目，学生可在化学、生物、政治、地理中选择两科.现甲、乙两 名同学要从四门再选科目中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选地理学科，则甲、乙总的不同的选法 有______种.（用数字作答） 【答案】27 【解析】 【分析】分甲乙都不选地理学科，甲选地理学科，乙选地理学科分别计算，最后相加即可. 【详解】若甲乙都不选地理学科，则有 种；若甲选地理学科，则有 ； 若乙选地理学科，则有 ；故总共有 种. 故答案为：27. 14. 若 的展开式中 的系数为21，则a＝______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解. 【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得： ， 令 ，解得r＝2， 所以展开式中含 的项为： ， 由 的系数 ， 解得 ，所以 ， 故答案为： ． 15. 已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，P 为渐近线上一点，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先在 中利用余弦定理求出 ，再利用勾股定理判断 为直角三角形，再利用 直角三角形求出 的值，再利用 进行求解. 【详解】双曲线 的渐近线方程为 ， 设 ， 在 中，因为 ， 所以 ， 即 ，且 为直角三角形； 所以在 中， ， ， ， 所以 ，则双曲线的离心率为 . 故答案为： . 16. 若函数 不存在零点，则实数a 的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将问题转化为方程 无实数根，进而构造函数 ，研 究函数的最值即可得答案. 【详解】解：因为函数 不存在零点， 所以方程 无实数根， 所以方程 无实数根，即方程 无实数根， 故令 ， 令 ，故 恒成立， 所以， 在 上单调递减， 由于 ， 所以，当 时， ，即 ，当 时， ，即 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 所以，当方程 无实数根时， 即可. 所以，实数a 的取值范围是 故答案为： 三、解答题：第17 题10 分，其余每题12 分，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. 在 中，a，b，c 分别为角A，B，C 所对的边，且 . （1）求角A 的大小； （2）若 ， ，求△ABC 的面积. 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得 ，化简求得 ，进而 求出 ，即可求解； （2）先由余弦定理求出 ，再由面积公式求解即可. 【小问1 详解】 由正弦定理得 ，即 ， 化简得 ，又 ，故 ，即 ，又 ， 故 ； 【小问2 详解】 由余弦定理得 ，即 ，解得 ，故△ABC 的面积为 . 18. 已知复数 ，其中i 是虚数单位， .设p：复数z 在复平面内对应的点位于第 四象限； . （1）当p 为真命题时，求实数m 的取值范围； （2）若命题“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） 或 【解析】 【分析】（1）直接由点位于第四象限得到不等式求解即可； （2）先求出 为真 为真时对应的m 的取值范围，再分 真 假和 真 假讨论求解即可. 【小问1 详解】 当p 为 真命题时，可得 ，解得 ； 所以m 的范围为 【小问2 详解】 当 为真命题时， ， 解得 ， 若命题“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，可得命题 一真一假，当 真 假时，可得 ， 故 或 ； 当 真 假时，可得 ，无解. 综上可得实数m 的 取值范围为 或 . 19. 有7 本相同的笔记本作为奖品颁发给甲、乙、丙三名同学. （1）若先将这7 本笔记本分成3 份，每份至少1 本，有多少种不同的分法？ （2）若甲、乙、丙三名同学每人至少获得1 本，并且丙同学最多获得3 本，有多少种不同的分法？ （3）若这7 本笔记本分别被老师写上了不同的颁奖词，并且要求甲同学恰好得到2 本，乙同学至少得到1 本，丙同学至少得到1 本且不超过3 本，有多少种不同的分法？ 【答案】（1）4； （2）12； （3）525 【解析】 【分析】（1）直接列举出有4 种分法即可； （2）先讨论丙，再列举出甲乙的分法，由分类加法求解即可； （3）先从7 本中选2 本给甲，再分乙2 本丙3 本，乙3 本丙2 本，乙4 本丙1 本，分类讨论，最后由分类 加法原理和分步乘法原理求解即可. 【小问1 详解】 因为7 本笔记本相同， ，故有4 种分法； 【小问2 详解】 若丙分得3 本，则甲乙分剩下的4 本， ，有3 种分法； 若丙分得2 本，则甲乙分剩下的5 本， ，有4 种分法； 若丙分得1 本，则甲乙分剩下的6 本， ，有5 种分法； 故共有 种分法； 【小问3 详解】 因为7 本笔记本不相同，先从7 本中选2 本给甲有 种；剩下的5 本中，若乙2 本丙3 本，有 种， 若乙3 本丙2 本，有 种，若乙4 本丙1 本，有 种，共有 种，总共有 种. 20. 如图，已知四棱锥 的底面ABCD 是矩形， 底面ABCD， ，M 为BC 的 中点，且 . （1）求四棱锥 的体积； （2）求二面角 的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形相似列方程即可求得 长，然后利用棱锥的体积公式进行求解即可； （2）建立空间直角坐标系，以向量法去求面 的法向量 与面 的法向量 的夹角 的正弦值. 【小问1 详解】 连接BD，交AM 于E， 面 ， 面 ，则 又 ， ，则 面 ， 又 面 ，则 ，则有 ，则 ， 又 ，即 ，解之得 ，即 ， 所以， ， 四棱锥 的体积为 . 【小问2 详解】 以D 为原点，分别以DA、DC、DP 所在直线为x、y、z 轴建立空间直角坐标系如图： 则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 则 ，即 ，令 ，则 即 ， 设平面 的法向量为 则 ，即 ，则 ，令 ，则 即 ， 则 又 ，则 21. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 ， 在直线 的 同侧，且点 ， 到直线l 的距离分别为 ， . （1）若椭圆C 的方程为 ，直线l 的方程为 ，求 的值，并判断直线l 与椭圆 C 的公共点的个数； （2）若直线l 与椭圆C 有两个公共点，试求 所需要满足的条件； （3）结合（1）和（2），试写出一个能判断直线l 与椭圆C 有公共点的充要条件（不需要证明）. 【答案】（1） ；1 个公共点； （2） ； （3） ，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接由点到直线的距离公式求出 ，联立直线与椭圆方程，由 判断交点个数即可； （2）先由点到直线的距离公式表示出 ，联立直线与椭圆方程，由 解得 ，进而 求出 的范围即可； （3）直线l 与椭圆C 有公共点的充要条件是 ，先由点到直线的距离公式表示出 ，联立直 线与椭圆方程，有公共点等价于 ，解得 ，进而求出 的范围即可；即可证明. 【小问1 详解】 由题意知： ，直线l 的方程为 ，则 ， ； 联立直线与椭圆方程 得 ， ，故直线l 与 椭圆C 有1 个公共点； 【小问2 详解】 由题意知： ，直线l 的方程为 ，点 ， 在直线 的同侧， 则 ， ；联立直线与椭圆方程 得 ， 由直线l 与椭圆C 有两个公共点，可得 ，即 ， 即 ， 故 ，故 ； 【小问3 详解】 直线l 与椭圆C 有公共点的充要条件是 ，证明如下： 由（2）知 ； 联立直线与椭圆方程 得 ，直线l 与椭圆C 有公共 点， 等价于 ，即 ， 即 ，故 ，故 . 22. 已知函数 ，其中e 为自然对数的底数. （1）求函数 的最小值； （2）求证： . 【答案】（1）0； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导确定单调性即可求得最小值； （2）将 转化为 ，构造函数 求导，令 ，通过 确定 的单调性，进而确定 单调性，求出 ，再构造函数 求得 即可. 【 小问1 详解】 ，当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增，故 【小问2 详解】 ，即 ，等价于 对于 恒成立， 令 ，则 ，令 ， ， 则 即 在 单调递增，又因为 ， ， 故存在 使 ，则 ，化简得 ，即 ， 所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增； 故 ，令 ， 则 ，所以 在 上单调递增，所以 ， 所以 ，故 ，即 . 【点睛】本题关键点在于构造函数 求导后，令 再次求导，确定 的单调性后借助 隐零点确定 单调性，求得 ，再构造函数 求得 即可.