模型29 平行四边形——中点四边形模型-原卷版

平行四边形 模型（二十九）——中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形 ◎结论1：点M、、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MPQ 是平行四边形 如上图： 【证明】 M∥ ∵ 1 2BD PQ∥1 2BD ∴四边形MPQ 为平行四边形。 如上图 【证明】 MQ∥ ∵ 1 2BD，MQ＝1 2BD P∥1 2BD，P＝1 2BD MQ∥P ∴ ，MQ＝P ∴四边形MPQ 为平行四边形 【证明】 M∥ ∵ 1 2,M＝1 2 PQ∥1 2，PQ＝1 2 ∴M∥PQ，M＝PQ ∴四边形MPQ 为平行四边形 ◎结论2：对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 【证明】 由上：平行四边形MPQ ∥PQ ∵ ∠2 ∴ ＝∠1＝90° MQ∥BD ∵ ∠3 ∴ ＝∠2＝90° MPQ ∴ 为矩形 ◎结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 【证明】由上：平行四边形MPQ MQ ∵ ＝1 2BD，M＝1 2，BD＝ MQ ∴ ＝M ∴四边形MPQ 为菱形。 ◎结论4：对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。 【证明】由结论3 可知对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，所以四边相等，再结合结论2 对 角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，所以四边形MPQ 为正方形。 1．（2022·贵州·遵义五十七中八年级期中）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边 形，下列说法正确的是 ．任意一个四边形的中点四边形是菱形 B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形 ．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形 D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形 2．（2017·山东·淄博市临淄区皇城镇第一中学九年级期中）若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是 矩形，则原四边形一定是（ ） ．一般平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 ．对角线相等的四边形D．矩形 3．（2021·新疆农业大学附属中学八年级期中）如图，连接四边形BD 各边中点，得到四边形EFG，还要添加一个 条件 _____，能使四边形EFG 是矩形． 1．（2021·广西桂林·八年级期末）如图，四边形BD 的四边中点分别为E、F、G、，顺次连接E、F、G、． （1）判断四边形EFG 形状，并说明理由； （2）若＝BD，判断四边形EFG 形状，并说明理由． 2．（2021·河北石家庄·八年级期中）四边形BD 中，点E、F、G、分别为B、B、D、D 边的中点，顺次连接各边 中点得到的新四边形EFG 称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形BD 怎样变化，它的中点四边形EFG 都是平行四边形．特殊的： ①当对角线 时，四边形BD 的中点四边形为__________形； ②当对角线 时，四边形BD 的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形BD 中，已知 ，且 ，请利用（1）中的结论，判断四边形BD 的中 点四边形EFG 的形状并进行证明． 3．（2021·江苏·高港实验学校八年级阶段练习）如图1，在四边形 中，如果对角线 和 相交并且相等， 那么我们把这样的四边形称为等角线四边形． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）； ②若 、 、 、 分别是等角线四边形 四边 、 、 、 的中点，当对角线 、 还要满足 ______时，四边形 是正方形． （2）如图2，已知在 中， ， ， ， 为平面内一点． ①若四边形 是等角线四边形，且 ，求符合条件的等角线四边形的面积． ②设点 是 所在平面上的任意一点且 ，若四边形 是等角线四边形，求出四边形 面积的最 大值，并说明理由． 1．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，在四边形BD 中，点E，F，G，分别为边B，B，D，D 的中点，中点四边形EFG 是 ． （2）如图2，点P 是四边形BD 内一点，且满足P＝PB，P＝PD，∠PB＝∠PD，点E，F，G，分别为边B，B， D，D 的中点．猜想中点四边形EFG 的形状，并证明你的猜想． （3）若改变（2）中的条件，使∠PB＝∠PD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFG 的形状（不必证明）．