模型36 中点四边形模型和梯形中位线定理（原卷版）

中点四边形模型 （1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形 （2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形 （3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形 梯形中位线定理 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2 倍乘高再除以2 就等于梯形的面积，即 梯形的面积＝ ×2×中位线的长×高＝中位线的长×高 （4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/6 19:20:46；用户：初中数学；邮箱：lsys@xym；学号：30145887 考点一：中点四边形问题 【例1】．如图，在四边形BD 中，E，F，G，分别是B，BD，D，的中点，D＝4，B＝ 5，则四边形EFG 的周长是 ． 模型介绍 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，D 是△B 内一点，BD⊥D，D＝6，BD＝4，D＝3，E、F、G、分别是 B、BD、D、的中点，则四边形EFG 的周长是（ ） ．7 B．9 ．11 D．13 【变式1-2】．如图，在四边形BD 中，＝8，BD＝6，且⊥BD，E、F、G、分别是B、 B、D、D 的中点，则EG2+F2＝ ． 考点二：梯形的中位线定理 【例2】．如图，在▱BD 中，B＝4m，E 为D 的中点，F、G 分别为BE、D 的中点，则FG ＝ m． 变式训练 【变式2-1】．如图，梯形BD 中，∠B 和∠DB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点 P，若EF＝3，则梯形BD 的周长为（ ） ．9 B．105 ．12 D．15 【变式2-2】．在梯形BD 中，B∥D，、BD 相交于点，若＝5，BD＝12，中位线长为 ， △B 的面积为S1，△D 的面积为S2，则 ＝ ． 1．如图，梯形BD 中，D∥B，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于点，若F﹣E＝3，则B﹣D 等于（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 2．如图，在四边形BD 中，＝BD＝5，点E，F，G，分别为边B，B，D，D 的中点，连接 EG，F，相交于点，则EG2+F2的值为（ ） ．25 B．30 ．35 D．40 3．在如图所示的梯形BD 中，D∥B，D＝5，B＝11，①中1B1是连接两腰中点的线段，易 知1B1＝8，②中1B1，2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出1B1+2B2的 值…，照此规律下去，③中1B1，2B2，…10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线 段，则1B1+2B2+…+10B10的值为（ ） ．50 B．80 ．96 D．100 4．如图，四边形BD 中，＝，BD＝b，且⊥BD，顺次连接四边形BD 各边中点，得到四边 形1B11D1，再顺次连接四边形1B11D1各边中点，得到四边形2B22D2，如此进行下去，得 到四边形B∁D．下列结论正确的是（ ） ①四边形4B44D4是菱形； ②四边形3B33D3是矩形； ③四边形7B77D7周长为 ； ④四边形B∁D 面积为 ． ．①②③ B．②③④ ．①③④ D．①②③④ 5．如图，梯形BD 中，D∥B，B＝D，对角线，BD 交于点，⊥BD，点E，F，G，分别为 B，B，D，D 的中点，若D＝2，B＝4，则四边形EFG 的面积为 ． 6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为 ． 7．如图，在梯形BD 中，B∥D，中位线EF 与对角线，BD 交于M，两点，若EF＝18m，M ＝8m，则B 的长等于 m． 8．如图，E、F、G、分别是BD、B、、D 的中点，且B＝D，下列结论： ①EG⊥F；②四边形EFG 是矩形；③F 平分∠EG；④EG＝ ；⑤四边形 EFG 是菱形． 其中正确的是 ． 9．如图，在四边形BD 中，M、、P、Q 分别是D、B、B、D 的中点，且对角线⊥BD，： BD＝4：3，+BD＝28，则MQ：QP＝ ，四边形MPQ 的面积是 ． 10．如图，在四边形BD 中，＝BD＝3，E、F、G、分别是B、B、D、D 的中点，则 EG2+F2＝ ． 11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形BD 是矩形，取矩形BD 四条边的中点得到中点四边形1B11D1，再取四边形1B11D1四条边的 中点得到中点四边形2B22D2，…，按此规律继续下去，若矩形BD 的面积为1，则得到的 中点四边形B∁D 的面积为 ． 12．如图，梯形中BD 中，∠DB＝30°， ， ，EF 为梯形的中位线．求 梯形的面积及EF 的长． 13．如图：在梯形BD 中，D∥B，点F 在B 上．F＝BF，且E⊥B 交D 于E，连接EF．已知 EF⊥E， （1）若F＝10，E＝8，求B 的长． （2）若点E 是D 的中点，求证：F+D＝BF． 14．如图，在四边形BD 中，＝BD，E、F、G、分别是B、B、D、D 的中点． （1）求证：四边形EFG 是菱形； （2）若＝8，求EG2+F2的值． 15．如图，在平面直角坐标系xy 中，四边形B 的顶点在x 轴的正半轴上，＝4，＝2，点 D、E、F、G 分别为边、B、B、的中点，连结DE、EF、FG、GD． （1）若点在y 轴的正半轴上，当点B 的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG 的形状， 并说明理由． （2）若点在第一象限运动，且四边形DEFG 为菱形时，求四边形B 对角线B 长度的取 值范围． （3）若在点运动过程中，四边形DEFG 始终为正方形，当点从x 轴负半轴经过y 轴正半 轴，运动至x 轴正半轴时，直接写出点B 的运动路径长． 16．已知：在△B 中，B＝10． （1）如图（1）所示，若点D，E 分别是，B 的中点，则DE 的长为 ； （2）如图（2）所示，若点1，2把三等分，B1，B2把B 三等分，则1B1+2B2＝ ； （3）如图（3）所示，若点1，2，…10把边十一等分，B1，B2，…，B10把B 边十一等分， 分别交B 边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出1B1+2B2+…+10B10的结果为 ． 17．如图，在梯形BD 中，D∥B，D＝，B＝b． 若E1、F1分别是B、D 的中点，则E1F1＝ （D+B）＝ （+b）； 若E2，F2 分别是E1B，F1 的中点，则E2F2＝ （E1F1+B）＝ [ （+b）+b]＝ （+3b ）；当E3 ，F3 分别是E2B ，F2 的中点，则E3F3 ＝ （E2F2+B ）＝ （+7b）；若EF 分别是E 1 ﹣，F 1 ﹣的中点，根据上述规律猜想EF ＝ ．（≥1，为整数） 18．请阅读下面知识： 梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F 是梯形BD 两腰B，D 的中点，则EF 是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线 长度等于两底长的和的一半如图：EF＝ （D+B）利用上面的知识，完成下面题目的解 答已知：直线l 与抛物线M 交于点，B 两点，抛物线M 的对称轴为y 轴，过点，B 作x 轴的垂线段，垂足分别为D，，已知（﹣1，3），B（ ） （1）求梯形BD 中位线的长度； （2）求抛物线M 的解析式； （3）把抛物线M 向下平移k 个单位，得抛物线M1（抛物线M1 的顶点保持在x 轴的上 方），与直线l 的交点为1，B1，同样作x 轴的垂线段，垂足为D1，1，问此时梯形 1B11D1的中位线的长度（设为）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改 变，求出与k 的函数关系式． 19．让我们一起来探索平面直角坐标系中平行四边形的顶点的坐标之间的关系． 第一步：数轴上两点连线的中点表示的数．自己画一个数轴，如果点、B 分别表示﹣ 2、4，则线段B 的中点M 表示的数是 ．再试几个，我们发现：数轴上连接两点 的线段的中点所表示的数是这两点所表示数的平均数． 第二步；平面直角坐标系中两点连线的中点的坐标（如图①）为便于探索，我们在第 一象限内取两点（x1，y1），B（x2，y2），取线段B 的中点M，分别作、B 到x 轴的垂 线段E、BF，取EF 的中点，则M 是梯形EFB 的中位线，故M⊥x 轴，利用第一步的结 论及梯形中位线的性质，我们可以得到点M 的坐标是（ ， ）（用x1，y1， x2，y2表示），EFB 是矩形时也可以．我们的结论是：平面直角坐标系中连接两点的线 段的中点的横（纵）坐标等于这两点的横（纵）坐标的平均数． 第三步：平面直角坐标系中平行四边形的顶点坐标之间的关系（如图②）在平面直角 坐标系中画一个平行四边形BD，设（x1，y1），B（x2，y2），（x3，y3），D（x4， y4），则其对角线交点Q 的坐标可以表示为Q（ ， ），也可以表示为Q（ ， ），经过比较，我们可以分别得出关于x1，x2，x3，x4 及，y1，y2，y3，y4 的两 个等式是 和 ．我们的结论是：平面直角坐标系中平行四边形的对角顶 点的横（纵）坐标的 ．