模型29 平行四边形——中点四边形模型-解析版

平行四边形 模型（二十九）——中点四边形模型 中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形 ◎结论1：点M、、P、Q 是任意四边形的中点，则四边形MPQ 是平行四边形 如上图： 【证明】 M∥ ∵ 1 2BD PQ∥1 2BD ∴四边形MPQ 为平行四边形。 如上图 【证明】 MQ∥ ∵ 1 2BD，MQ＝1 2BD P∥1 2BD，P＝1 2BD MQ∥P ∴ ，MQ＝P ∴四边形MPQ 为平行四边形 【证明】 M∥ ∵ 1 2,M＝1 2 PQ∥1 2，PQ＝1 2 ∴M∥PQ，M＝PQ ∴四边形MPQ 为平行四边形 ◎结论2：对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 【证明】 由上：平行四边形MPQ ∥PQ ∵ ∠2 ∴ ＝∠1＝90° MQ∥BD ∵ ∠3 ∴ ＝∠2＝90° MPQ ∴ 为矩形 ◎结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 【证明】由上：平行四边形MPQ MQ ∵ ＝1 2BD，M＝1 2，BD＝ MQ ∴ ＝M ∴四边形MPQ 为菱形。 ◎结论4：对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形。 【证明】由结论3 可知对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，所以四边相等，再结合结论2 对 角线垂直的四边形的中点四边形是矩形，所以四边形MPQ 为正方形。 1．（2022·贵州·遵义五十七中八年级期中）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边 形，下列说法正确的是 ．任意一个四边形的中点四边形是菱形 B．任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形 ．对角线相等的四边形的中点四边形是矩形 D．对角线垂直的四边形的中点四边形是正方形 【答】B 【分析】中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质：当原四边形的对角线既不相等，也不垂直时，中点 四边形的形状为平行四边形；当原四边形的对角线相等时，中点四边形的形状为菱形；当原四边形的对角线垂直 时，中点四边形的形状为矩形；当原四边形的对角线互相垂直且相等时，中点四边形的形状为正方形．由此即可 解答 【详解】选项，由任意一个四边形的中点四边形是平行四边形可判定选项错误； 选项B，任意一个平行四边形的中点四边形是平行四边形，选项B 正确； 选项，由对角线相等的四边形的中点四边形是菱形可判定选项错误； 选项D，由对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形可判定选项D 错误 故选B 【点睛】本题考查了中点四边形的性质，熟知中点四边形的形状取决于原四边形的对角线的性质是解决问题的关 键 2．（2017·山东·淄博市临淄区皇城镇第一中学九年级期中）若顺次连接一个四边形的四边中点所组成的四边形是 矩形，则原四边形一定是（ ） ．一般平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 ．对角线相等的四边形D．矩形 【答】B 【详解】因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，而中点四边形的两组对边分别是和原四边形的两条对角 线平行的，矩形相邻两边是互相垂直的，所以原四边形的对角线应该互相垂直 故选B 3．（2021·新疆农业大学附属中学八年级期中）如图，连接四边形BD 各边中点，得到四边形EFG，还要添加一个 条件 _____，能使四边形EFG 是矩形． 【答】⊥BD 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边， 根据平行线的性质可得：∠EG= 1 ∠，∠1= 2 ∠， 再证明四边形EFG 是平行四边形，当∠EFG=90°，四边形EFG 是矩形，所以∠2=90°，因此⊥BD． 【详解】解：如图， ∵G、、E 分别是B、D、D 的中点， ∴ ∴∠EG= 1 ∠，∠1= 2 ∠， 2= ∴∠ ∠EG， 同理： ∴四边形EFG 是平行四边形， 当∠EG=90°， 四边形EFG 是矩形， 2=90° ∴∠ ， ∴⊥BD． 故还要添加⊥BD，才能保证四边形EFG 是矩形． 【点睛】本题主要考查三角形的中位线定理和矩形的四个角都是直角的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 1．（2021·广西桂林·八年级期末）如图，四边形BD 的四边中点分别为E、F、G、，顺次连接E、F、G、． （1）判断四边形EFG 形状，并说明理由； （2）若＝BD，判断四边形EFG 形状，并说明理由． 【答】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFG 是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）四边形EFG 为平行四边形，理由如下： 连接，如图， 在△B 和△D 中， ∵EF、G 分别为其中位线， ∴EF , ∥且EF= ; G∥且G= ， ∴EF=G，EF∥G， ∴四边形EFG 为平行四边形； （2）若=BD, 则四边形EFG 为菱形， 连接BD ，如图， 在△BD 中， ∵GF 为其中位线， ∴GF= BD ， ∵EF= （已证），且=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFG 为平行四边形（已证）， ∴四边形EFG 为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线 定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 2．（2021·河北石家庄·八年级期中）四边形BD 中，点E、F、G、分别为B、B、D、D 边的中点，顺次连接各边 中点得到的新四边形EFG 称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形BD 怎样变化，它的中点四边形EFG 都是平行四边形．特殊的： ①当对角线 时，四边形BD 的中点四边形为__________形； ②当对角线 时，四边形BD 的中点四边形是__________形． （2）如图：四边形BD 中，已知 ，且 ，请利用（1）中的结论，判断四边形BD 的中 点四边形EFG 的形状并进行证明． 【答】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析 【分析】（1）①连接、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFG 都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边 形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （2）分别延长B、D 相交于点M，连接、BD，证明 ，得到=DB，根据（1）①证明即可． 【详解】（1）解：（1）①连接、BD， ∵点E、F、G、分别为B、B、D、D 边的中点， ∴E∥BD，FG∥BD， ∴E∥FG， 同理EF∥G， ∴四边形EFG 都是平行四边形， ∵对角线=BD， ∴E=EF， ∴四边形BD 的中点四边形是菱形； ②当对角线⊥BD 时，EF⊥E， ∴四边形BD 的中点四边形是矩形； 故答为：菱；矩； （2）四边形BD 的中点四边形EFG 是菱形．理由如下： 分别延长B、D 相交于点M，连接、BD， ∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ，∴ ， ∴四边形BD 的对角线相等，中点四边形EFG 是菱形． 【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形 的判定定理是解题的关键． 3．（2021·江苏·高港实验学校八年级阶段练习）如图1，在四边形 中，如果对角线 和 相交并且相等， 那么我们把这样的四边形称为等角线四边形． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，______一定是等角线四边形（填写图形名称）； ②若 、 、 、 分别是等角线四边形 四边 、 、 、 的中点，当对角线 、 还要满足 ______时，四边形 是正方形． （2）如图2，已知在 中， ， ， ， 为平面内一点． ①若四边形 是等角线四边形，且 ，求符合条件的等角线四边形的面积． ②设点 是 所在平面上的任意一点且 ，若四边形 是等角线四边形，求出四边形 面积的最 大值，并说明理由． 【答】（1）①矩形；② ；（2）① ；②18，理由见解析 【分析】（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，只有矩形的对角线相等，所以矩形是等角线四边形；②当 时，四边形 是正方形，首先证明四边形 是菱形，再证明有一个角是直角即可； （2）①如图2 中，作 于 ．根据 计算，求出相关线段即可；②如图3 中，设 与 相交于点 ，连接 ，只要证明当 且 、 、 共线时，四边形 的面积最大即可． 【详解】解：（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 矩形的对角线相等， 矩形一定是等角线四边形， 故答为：矩形； ②当 时，四边形 是正方形． 理由：如图1， 、 、 、 分别是等角线四边形 四边 、 、 、 的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形 是菱形， ， ， ， ， 四边形 是正方形． 故答为： ； （2）①如图2，作 于 ． 在 中， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是等角线四边形， ， 在 中， ， ． 四边形 的面积为 ； ②如图3 中，设 与 相交于点 ，连接 ， 作 于 ， 于 ．则 ， ， 四边形 是等角线四边形， ， ， 即 ， 当 、 重合时，即 时，等号成立， ， ， 即线段 最大时，四边形 的面积最大， ， ， ， 的最大值为6， 当 、 、 共线时，取等号， 四边形 的面积的最大值为 ． 故答为：18． 【点睛】本题考查四边形综合题、中点四边形、三角形中位线定理、正方形的判定和性质、圆等知识，解题的关 键是理解等角线四边形的定义，学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 1．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，在四边形BD 中，点E，F，G，分别为边B，B，D，D 的中点，中点四边形EFG 是 ． （2）如图2，点P 是四边形BD 内一点，且满足P＝PB，P＝PD，∠PB＝∠PD，点E，F，G，分别为边B，B， D，D 的中点．猜想中点四边形EFG 的形状，并证明你的猜想． （3）若改变（2）中的条件，使∠PB＝∠PD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFG 的形状（不必证明）． 【答】（1）平行四边形；（2）菱形，见解析；（3）正方形 【分析】（1）连接BD，根据三角形中位线定理证明E∥FG，E=FG，根据平行四边形的判定定理证明即可； （2）证明△P≌△BPD，根据全等三角形的性质得到=BD，再证明EF=FG，根据菱形的判定定理证明结论； （3）证明∠EG=90°，利用△P≌△BPD，得到∠P=∠BDP，即可证明∠D=∠PD=90°，再根据平行线的性质证明 ∠EG=90°，根据正方形的判定定理证明即可． 【详解】解：（1）如图1，连接BD， ∵点E，分别为边B，D 的中点， ∴E∥BD，E= BD， ∵点F，G 分别为边B，D 的中点， ∴FG∥BD，FG= BD， ∴E∥FG，E=GF， ∴中点四边形EFG 是平行四边形， 故答为：平行四边形； （2）结论：四边形EFG 是菱形， 理由：如图2，连接，BD． ∵∠PB=∠PD， ∴∠PB+∠PD=∠PD+∠PD，即∠P=∠BPD， 在△P 和△BPD 中， ， ∴△P≌△BPD（SS）， = ∴BD， ∵点E，F，G 分别为边B，B，D 的中点， ∴EF= ，FG= BD， ∴EF=FG， 由（1）知中点四边形EFG 是平行四边形， ∴平行四边形EFG 是菱形； （3）结论：四边形EFG 是正方形， 理由：如图2，设与BD 交于点．与PD 交于点M， ∵△P≌△BPD， ∴∠P=∠BDP， ∵∠DM=∠MP， ∴∠D=∠PD=90°， ∵E∥BD，∥G， ∴∠EG=∠D=90°， 由（2）知中点四边形EFG 是菱形， ∴菱形EFG 是正方形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定 和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．