模型47 勾股定理之大树折断、风吹荷花模型（解析版）(1)

考点一：勾股定理之大树折断模型 【例1】．如图，一棵竖直生长的竹子高为8 米，一阵强风将竹子从处吹折，竹子的顶端 刚好触地，且与竹子底端的距离B 是4 米．求竹子折断处与根部的距离B． 解：由题意知B+＝8，∠B＝90°， ∴设B 长为x 米，则长为（8﹣x）米， ∴在Rt△B 中，有B2+B2＝2， 即：x2+16＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴竹子折断处与根部的距离B 为3 米． 变式训练 【变式1-1】．在一块平地上，张大爷家屋前9 米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵 大树从离地面6 米处折断倒下，量得倒下部分的长是10 米．出门在外的张大爷担心自 己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析 后给出正确的回答（ ） ．一定不会 B．可能会 ．一定会 D．以上答都不对 解：如图 由题意画出大树倒下的示意图，大树从点B 刮断，绕点B 倒下，树梢的轨迹为 ， 根据题意得，B＝6，B＝10，F＝9， 过点F 作B 的平行线交 于D，E（D 在E 上面）， ∴BE＝B＝10，∠F＝90°， 过点B 作BG⊥DF 于G， ∴∠BGF＝90°， ∵∠＝90°， ∴∠＝∠F＝∠BGF＝90°， ∴四边形BGF 是矩形， ∴FG＝B＝6，BG＝G＝9， 在Rt△BGF 中，根据勾股定理得，EG＝ ＝ ＝ ， ∴EF＝FG﹣EG＝6﹣ ≈6 436 ﹣ ＝164 米， 而房屋一般高度为28 到3 米， 164 ∴ ＜28， 即：大树倒下时肯定能砸到张大爷的房屋， 故选：． 【变式1-2】．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰 好落在另一棵树乙的根部处，已知B＝4 米，B＝13 米，两棵树的水平距离为12 米，求 这棵树原来的高度． 解：如图所示：延长B，过点作D⊥B 延长线于点D， 由题意可得：B＝13m，D＝12m， 故BD＝ ＝5（m）， 即D＝9m， 则＝ ＝ ＝15（m）， 故+B＝15+4＝19（m）． 答：这棵树原来的高度是19 米． 考点二：勾股定理之风吹荷花模型 【例2】．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9m，内壁高12m． 若这支铅笔长为18m，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（ ） ．3m B．5m ．6m D．8m 解：根据题意可得图形：B＝12m，B＝9m， 在Rt△B 中：＝ ＝ ＝15（m）， 所以18 15 ﹣ ＝3（m），18 12 ﹣ ＝6（m）． 则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3m～6m 之间． 观察选项，只有选项D 符合题意． 故选：D． 变式训练 【变式2-1】．如图，一架梯子B 长10 米，底端离墙的距离B 为6 米，当梯子下滑到DE 时，D＝2 米，则BE＝ 2 米． 解：在Rt△B 中，根据勾股定理，可得：＝ ＝ ＝8（米）， ∴D＝﹣D＝8 2 ﹣＝6（米）， 在Rt△DE 中，E＝ ＝ ＝8（米）， ∴BE＝E﹣B＝8 6 ﹣＝2（米），故答为：2． 【变式2-2】．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往 前推送4m（水平距离B＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始 终拉得很直，求绳索D 的长度． 解：在Rt△B 中， 2+B2＝B2， 设秋千的绳索长为xm，则＝（x 1 ﹣）m， 故x2＝42+（x 1 ﹣）2， 解得：x＝85， 答：绳索D 的长度是85m． 1．如图，一架25m 长的云梯斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，如果梯子的顶端下滑 4m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（ ） ．4m B．6m ．8m D．10m 解：由题意知B＝DE＝25 米，B＝7 米，D＝4 米， 在直角△B 中，为直角边， ∴＝ ＝24（米）， 已知D＝4 米，则D＝24 4 ﹣＝20（米）， 在直角△DE 中，E 为直角边， ∴E＝ ＝15（米）， ∴BE＝15 7 ﹣＝8（米）， 故选：． 2．一根高9m 的旗杆在离地4m 高处折断，折断处仍相连，此时在39m 远处玩耍的身高为 1m 的小明（ ） ．没有危险 B．有危险 ．可能有危险 D．无法判断 解：如图所示： B＝9 4 ﹣＝5，＝4 1 ﹣＝3， 由勾股定理得：B＝ ＝4＞39， ∴此时在39m 远处耍的身高为1m 的小明有危险， 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（﹣3，0），点B 的坐标是（0，4），点M 是B 上一点，将△BM 沿M 折叠，点B 恰好落在x 轴上的点B'处，则点M 的坐标为（ ） ．（ ，0） B．（0， ） ．（ ，0） D．（0， ） 解： ∵将△BM 沿M 折叠， ∴B＝B'， 又（﹣3，0），B（0，4）， ∴B＝5＝B'， ∴点B'的坐标为：（2，0）， 设M 点坐标为（0，b）， 则B'M＝BM＝4﹣b， ∵B'M2＝B'2+M2， ∴（4﹣b）2＝22+b2， ∴b＝ ， ∴M（0， ）， 故选：B． 4．为了美化环境，净化城市的天空，某市要将建在西里（城中村）的一座高50m 的烟囱 拆除，由于烟囱附近的房子密集，拆除只能采取分段拆除，若烟囱折断时，顶端下来正 好砸在距烟囱底部10m 的地方最安全，那么按以上要求该烟囱应从底部向上 24 米 处折断． 解：设从底部向上x 米处折断，则另外两边分别为50﹣x，10 故102+x2＝（50﹣x）2 解得x＝24（米） 故烟囱应从底部向上24 米处折断． 故答为24． 5．如图所示，某商场有一段楼梯，高B 为2 米，楼梯最高点和最低点的距离B 为4 米，如 果在楼梯上铺上地毯，那么要使用的地毯长度是 （ 2 +2 ）米 ． 解：在Rt△B 中，B＝2，B＝4． ∴＝ ＝2 ． 由题意可得，楼梯所有台阶的高度之和等于B，楼梯所有台阶的水平距离之和等于． ∴地毯的长度为：+B＝（2 +2）米． 故答为：（2 +2）米． 6．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（ā）生其中， 出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（丈、尺是长度单位，1 丈10 尺）其 大意为：有一个水池，水面是一个边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇B， 它高出水面1 尺（即B＝1 尺）．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端B 恰 好到达池边的水面D 处．问水的深度是多少？则水深DE 为 12 尺． 解：设水深为尺，则芦苇长为（+1）尺， 根据勾股定理，得（+1）2﹣2＝（10÷2）2， 解得＝12， ∴水深为12 尺， 故答是：12． 7．细心观察图形，解答问题： （1）2＝ ，3＝ ，4＝ 2 ，＝ ； （2）△89的周长＝ 2 +4 ； （3）若一个三角形的面积是 ，计算说明它是第几个三角形？ 解：（1）2＝ ＝ ＝ ， 3＝ ＝ ＝ ， 4＝ ＝ ＝ ＝2， ＝ ＝ ＝ ． 故答为： ， ，2， ； （2）△89的周长＝8+9+89＝ + +1＝2 +4， 故答为：2 +4； （3）设它是第个三角形，则 × ×1＝2 ， ∴ ＝4 ， ∴＝32， 答：它是第32 个三角形． 8．如图，在水池的正中央有一根芦，池底长10 尺，它高出水面1 尺，如果把这根芦苇拉 向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是 13 尺 ． 解：设水深为x 尺，则芦苇长为（x+1）尺， 根据勾股定理得：x2+（ ）2＝（x+1）2， 解得：x＝12， 芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺）， 故答是：13 尺． 9．某船从港口出发沿南偏东32°方向航行15 海里到达B 岛，然后沿某方向航行20 海里到 达岛，最后沿某个方向航行了25 海里回到港口，判断此时△B 的形状，该船从B 岛出发 到是沿哪个方向航行的，请说明理由． 解：该船从B 岛出发到是沿西偏南32°方向航行的． 理由：由题意得：B＝15 海里，B＝20 海里，＝25 海里， 15 ∵ 2+202＝252， ∴△B 为直角三角形，且∠B＝90°， 由题意得∠BD＝32°，∠DB＝90°， ∴∠BD＝90° 32° ﹣ ＝58°， ∴∠BD＝90° 58° ﹣ ＝32°， 故该船从B 岛出发到是沿西偏南32°方向航行的． 10．如图，淇淇在离水面高度为5m 的岸边处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子B 的长为 13m． （1）开始时，船距岸的距离是 12 m； （2）若淇淇收绳5m 后，船到达D 处，则船向岸移动 （ 12﹣ ） m． 解：（1）在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝13m，＝5m， ∴ （m）， 故答为：12； （2）∵淇淇收绳5m 后，船到达D 处， ∴D＝8（m）， ∴D＝ （m）， ∴BD＝B﹣D＝（12﹣ ）m． 故答为：（12﹣ ）． 11．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，＝12，B＝9，B 垂直平分线分别交B，及B 的延长线于点 D，E，F，求E 和F 的长． 解： 如图，连接BE， ∴E 为线段D 垂直平分线上的点， ∴BE＝E＝12， 设E＝x，则BE＝E＝12﹣x， 在Rt△BE 中，由勾股定理可得B2+E2＝BE2， 即92+x2＝（12﹣x）2，解得x＝ ， 即E 的长为 ； 同理F＝BF， 设F＝y，则F＝BF＝9+y， 在Rt△F 中，由勾股定理可得2+F2＝F2， 即122+y2＝（9+y）2，解得y＝35， 即F 的长为35． 12．如图所示，折叠长方形一边D，点D 落在B 边的点F 处，已知B＝10 厘米，B＝8 厘米， （1）求BF 与F 的长； （2）求E 的长． 解：（1）∵四边形BD 是长方形， ∴D＝B＝10m， ∵折叠长方形一边D，点D 落在B 边的点F 处， ∴F＝D＝10m， 在Rt△BF 中，根据勾股定理得，BF＝ ＝ ＝6m， 所以，F＝B﹣BF＝10 6 ﹣＝4m； （2）∵折叠长方形一边D，点D 落在B 边的点F 处， ∴EF＝DE， 设E＝x，则EF＝DE＝8﹣x， 在Rt△EF 中，根据勾股定理得，F2+E2＝EF2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， 即E＝3m． 13．学校的一棵大树被风吹断了，如图，距地面6m 处折断，折断的树梢顶部落在距树干 底部8m 处，求此树原高是多少米？（图1） 有两棵大树，一棵高8m，另一棵高2m，B＝6，一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵树梢， 至少飞多少米？（图2） 一架长10m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面8m，现将梯子顶端沿墙面下滑2m，则 梯子底端与墙面距离是否也增长2m？请说明理由（图3） （1）在直角三角形B 中，2＝B2+B2， 所以＝ ＝10m； ∴此树原高＝10+6＝16m． （2）两点之间，直线最短，所以最短距离为直接从D 点飞到点，所以最短距离为： D＝ ＝ m； （3）在直角三角形B 中，B＝8m，＝10m，则B＝ ＝6m， 现将梯子顶端下移至D 点，则BD＝6m，DE＝10m，所以在直角三角形BDE 中， BE＝ ＝8m，8m 6 ﹣m＝2m，因此梯子底端与墙面的距离增加了2m． 14．解答题： （1）已知x+y＝4，xy＝2，求x2+y2+3xy 的值； （2）先化简，再求值：（+2b）2﹣（﹣b）（﹣4b），其中＝ ，b＝2007； （3）如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面28 米处吹断，倒下的旗杆的 顶端落在离旗杆底部96 米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ （4）如图，折叠矩形BD 的一边D，使点D 落在B 边上点F 处，若B＝8m，B＝10m， 求E 的长． 解：（1）∵x+y＝4，xy＝2 ∴原式＝（x+y）2+xy＝16+2＝18； （2）∵＝ ，b＝2007， ∴（+2b）2﹣（﹣b）（﹣4b）＝2+4b+4b2﹣2+5b 4 ﹣b2＝9b＝9× ×2007＝9； （3）如图， ∵∠＝90°， ∴B＝ ＝ ＝10 米， ∴旗杆的高＝+B＝28+10＝128 米； （4）由题意知，E＝D＝B＝10，D＝B＝8，EF＝DE＝D﹣E＝8﹣E， 在Rt△BF 中，BF＝ ＝6， F＝B﹣BF＝10 6 ﹣＝4， 在Rt△FE 中，F2+E2＝EF2，即42+E2＝（8﹣E）2， 解得：E＝3m．