第06讲 分式方程（讲义）（原卷版）

第06 讲 分式方程 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 解分式方程 题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 类型二 分离分式法 类型三 列项相消法 类型四 消元法 题型04 错看或错解分式方程问题 题型05 解分式方程的运用（新定义运算） 题型06 根据分式方程解的情况求值 题型07 根据分式方程有解或无解求参数 题型08 已知分式方程有增根求参数 题型09 已知分式方程有整数解求参数 考点二 分式方程的应用 题型01 列分式方程 题型02 利用分式方程解决实际问题 类型一 行程问题 类型二 工程问题 类型三 和差倍分问题 类型四 销售利润问题 考点要求 新课标要求 命题预测 解分式方程  能解可化为一元一次方程 中考中本考点考查内容以分式方程解法、分式方程含 的分式方程 参问题、分式方程的应用题为主，既有单独考查，也有和 一次函数、二次函数结合考察，年年考查，分值为10 分左 右，预计2024 年各地中考还将继续考查分式方程解法、分 式方程含参问题（较难）、分式方程的应用题，为避免丢 分，学生应扎实掌握． 分式方程的 应用  能根据具体问题的实际意 义，检验方程解的合理性 考点一 解分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 增根的概念：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根 题型01 判断分式方程 【例1】（2021·河南信阳·河南省淮滨县第一中学校考模拟预测）下列方程：①1 x +1=x；②x+1 2 −3=0； ③2 x−1 + 3 1−x =3；④x a + x b =1（a,b为已知数），其中分式方程有（ ） ．1个 B．2个 ．3个 D．4个 【变式1-1】（2022 南明区 二模）下列关于x的方程，是分式方程的是（ ） 1 分式方程与整式方程的根本区别：分母中含有未知数，也是判断分式方程的依据 2 去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项 3 分式方程的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 4 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母为0 的根，它不是原分式方 程的根． 5 解分式方程可能产生使分式方程无意义的根，检验是解分式方程的必要步骤 6 分式方程有增根与无解并非是同一个概念．分式方程无解，需分类讨论：可能是解为增根，也可能 是去分母后的整式方程无解 ．x 2−3= x 5 B．1 2 x−1 3 y=5 ．x π = x 3 + x 2 D．1 2+x =1−2 x 题型02 分式方程的一般解法 【例2】（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程1 x−1 +3= 3 x 1−x 去分母，两边同乘(x−1)后的式子为 （ ） ．1+3=3 x (1−x ) B．1+3 (x−1)=−3 x ．x−1+3=−3 x D．1+3 (x−1)=3 x 【变式2-1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程1 x+2 + x+6 x 2−4 =1的解为 ． 【变式2-2】（2022·青海西宁·统考中考真题）解方程： 4 x 2+x − 3 x 2−x =0． 【变式2-3】（2022·山东济南·统考中考真题）代数式3 x+2与代数式2 x−1的值相等，则x＝ ． 【变式2-4】（2022·湖南常德·统考中考真题）方程2 x + 1 x (x−2)= 5 2 x 的解为 ． 题型03 分式方程的特殊解法 类型一 分组通分法 方法简介：如果整个方程一起通分，计算量大又易出错，观察方程中分母的特点可联想分组通分求解 【例3】解方程：3 x−2− 4 x−1= 1 x−4 − 2 x−3 类型二 分离分式法 方法简介：每个分式的分母与分子相差1，利用这个特点可采用分类分式法求解 【例4】解方程：x+5 x+4 + x+2 x+1= x+3 x+2 + x+4 x+3 解分式方程方法：先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最 后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解 类型三 列项相消法 方法简介：根据分式方程的结果特点，依据公式“ 1 n (n+1)=1 n−1 n+1”化积为差，裂项相消，简化难度 【例5】我们把分子是1 的分数叫做分数单位，有些单位分数可以拆成两个不同的分数的差，如1 6=1 2−1 3， 1 12=1 3−1 4 ；1 20= 1 4 −1 5，1 6 =1 2−1 3， ，请用观察到的规律解方程 … … 2 x (x+1) + 2 (x+1) (x+2) +⋅⋅⋅+ 2 (x+9) (x+10)= 5 x+10，该方程解是多少？ 【变式5-1】因为1 1×2=1−1 2 , 1 2×3=1 2−1 3 ,…, 1 19×20= 1 19−1 20， 所以1 1×2 + 1 2×3 +…+ 1 19×20=1−1 2 + 1 2−1 3 +…+ 1 19−1 20=1−1 20=19 20．解答下列问题： (1)在和式1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…中，第九项是______________；第n项是______________． (2)解方程： 1 (x+1) (x+2) + 1 (x+2) (x+3) +…+ 1 (x+2001) (x+2002)= 1 x+2002． 【变式5-2】探索研究： 请观察： ① 1 x 2+3 x+2 = 1 (x+1) (x+2)= 1 x+1−1 x+2； ② 1 x 2+5 x+6 = 1 (x+2) (x+3)= 1 x+2−1 x+3； ③ 1 x 2+7 x+12 = 1 (x+3) (x+4 )= 1 x+3−1 x+4 ； ④ 1 x 2+9 x+20 = 1 (x+4 ) (x+5)= 1 x+4 −1 x+5； …… (1)请写出第个等式； (2)解方程： 1 x 2+x + 1 x 2+3 x+2 + 1 x 2+5 x+6 + 1 x 2+7 x+12 +⋯+ 1 x 2+15 x+56 = 1 x+8； (3)当m 为正整数时，1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 +⋯+ 1 m 2+17m+72 =¿ ． 【变式5-3】探索发现： 1 1×2=1−1 2 ; 1 2×3=1 2−1 3 ; 1 3×4 =1 3−1 4 …… 根据你发现的规律，回答下列问题： （1） 1 4×5＝ ， 1 n×(n+1)＝ ； （2）利用你发现的规律计算：1 1×2 ⋅+ 1 2×3 + 1 3×4 +⋯⋯+ 1 n×(n+1) （3）利用规律解方程： 1 x( x+1)+ 1 ( x+1)( x+2)+ 1 ( x+2)( x+3)+ 1 ( x+3)( x+4)+ 1 ( x+4)( x+5)= 2 x−1 x( x+5) 类型四 消元法 方法简介：当方程中的分式互为倒数,或不同分式中的分母互为相反式,或方程中分子、分母的二次项与一 次项分别相同时,可考虑用换元法 【例6】用换元法解分式方程 x x 2−1 + 2 x 2−2 x =3 5时，若设 x x 2−1 = y，则原方程可以化为整式方程 【变式6-1】阅读与思考 阅读下面的材料，解答后面的问题． 解方程：x−1 x −4 x x−1=0． 解：设y= x−1 x ，则原方程可化为y−4 y =0，方程两边同时乘y 得y 2−4=0， 解得y=±2， 经检验：y=±2都是方程y−4 y =0的解，∴当y=2时，x−1 x =2，解得x =−1， 当y =−2时，x−1 x =−2，解得x=1 3，经检验：x =−1或x=1 3都是原分式方程的 解， ∴原分式方程的解为x =−1或x=1 3．上述这种解分式方程的方法称为“换元法”． 问题： (1)若在方程中x−1 2 x − x x−1=0，设y= x−1 x ，则原方程可化为________________． (2)模仿上述换元法解方程：x−1 x+2 −27 x−1−9=0． 【变式6-2】用换元法解：x+1 2 x−1−2 x−1 x+1 =0． 题型04 错看或错解分式方程问题 【例7】（2022·贵州毕节·统考中考真题）小明解分式方程1 x+1= 2 x 3 x+3−1的过程下． 解：去分母，得 3=2 x−(3 x+3)．① 去括号，得 3=2 x−3 x+3．② 移项、合并同类项，得 −x=6．③ 化系数为1，得 x=−6．④ 以上步骤中，开始出错的一步是（ ） ．① B．② ．③ D．④ 【变式7-1】（2022·浙江台州·统考中考真题）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正 确的，则图中被污染的x的值是 ． 先化简，再求值：3−x x−4 +1，其中 x=¿ 解：原式¿ 3−x x−4 ⋅( x−4)+( x−4) ¿3−x+x−4 ¿−1 【变式7-2】（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）小丁和小迪分别解方程 x x−2−x−3 2−x =1过程如下： 小丁： 解：去分母，得x−( x−3)=x−2 去括号，得x−x+3=x−2 合并同类项，得3=x−2 解得x=5 ∴原方程的解是x=5 小迪： 解：去分母，得x+( x−3)=1 去括号得x+x−3=1 合并同类项得2 x−3=1 解得x=2 经检验，x=2是方程的增根，原方程无解 你认为小丁和小迪的解法是否正确？若正确，请在框内打“ ”；若错误，请在框内打“ √ ×”，并写出你的 解答过程． 【变式7-3】（2023 忻州市一模）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚： ? x−2 +3= 1 2−x （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； （2）小华的妈妈说：“我看到标准答是：方程的增根是x=2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程 中“？”代表的数是多少？ 题型05 解分式方程的运用（新定义运算） 【例8】（2022·河南平顶山·统考二模）定义运算m※n=1+ 1 m+n，如：1※2=1+ 1 1+2= 4 3 ．则方程 x※( x+1)=3 2的解为（ ） ．x=1 B．x=−1 ．x=−1 2 D．x=1 2 【变式8-1】（2023 广西大学附属中学二模）对于实数和b，定义一种新运算“”为：a⊗b= 1 a−b 2， 这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3= 1 1−3 2=−1 8 ，则方程x⊗2= 2 x−4 −1的解是（ ） ．x=4 B．x=5 ．x=6 D．x=7 【变式8-2】（2022·浙江宁波·统考中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数，b，a⊗b=1 a + 1 b ．若( x+1)⊗x=2 x+1 x ，则x 的值为 ． 【变式8-3】（2022·四川内江·统考中考真题）对于非零实数，b，规定⊕b＝1 a−1 b ，若（2x 1 ﹣）⊕2＝1， 则x 的值为 ． 题型06 根据分式方程解的情况求值 【例9】（2020·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）若关于x 的分式方程3 x x−2＝m 2−x +5 的解为正数，则m 的 取值范围为（ ） ．m＜﹣10 B．m≤10 ﹣ ．m≥10 ﹣ 且m≠6 ﹣ D．m＞﹣10 且m≠6 ﹣ 【变式9-1】（2020·四川泸州·中考真题）已知关于x 的分式方程m x−1 +2= −3 1−x 的解为非负数，则正整数 m 的所有个数为（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式9-2】（2023 盐城市二模）关于x的分式方程 1 x−2 + a−2 2−x =1的解为正数，则a的取值范围是 ． 【变式9-3】（2023·内蒙古包头·校考一模）已知关于x的分式方程2 x−m x−1 − 3 1−x =1的解是正数，则m的 取值范围是 ． 【变式9-4】（2023 齐齐哈尔市二模）要使关于x的方程x+1 x+2− x x−1= a ( x+2)( x−1)的解是正数，a的取 值范围是 ． 题型07 根据分式方程有解或无解求参数 【例10】（2022·四川遂宁·统考中考真题）若关于x 的方程2 x = m 2 x+1无解，则m 的值为（ ） ．0 B．4 或6 ．6 D．0 或4 【变式10-1】（2022·四川眉山·统考一模）已知关于x的分式方程k x−2－3 2−x ＝1 无解，则k＝（ ） ．－3 B．1 ．2 D．3 【变式10-2】（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于x 的分式方程 a 2 x+3−a−x x−5=1无解，则的值为 ． 题型08 已知分式方程有增根求参数 【例11】（2021·广西贺州·统考中考真题）若关于x的分式方程m+4 x−3 = 3 x x−3 +2有增根，则m的值为 （ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【变式11-1】（2021·山东烟台·统考一模）若关于x 的分式方程6 x−2−1= ax 2−x 有增根，则的值为（ ） ．−3 B．3 ．2 D．−7 2 【变式11-2】（2022·辽宁丹东·校考二模）若关于x的方程6−x x−3−2m x−3=0有增根，则m的值是 ． 已知分式方程的解确定字母参数，首先将分式方程化为整式方程，用含字母参数的代数式表x， 再根据解的情况确定字母参数的取值 同时要注意原分式方程的最简公分母不能为零 由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是： ①根据未知数的范围求出字母的范围； ②把使分母为0 的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值； ③综合①②，求出字母系数的范围 题型09 已知分式方程有整数解求参数 【例12】（2022·广东佛山·统考一模）若关于x 的分式方程x−2 x−1＝mx 1−x 有正整数解，则整数m 为 ． 【变式12-1】（2020·重庆·统考中考真题）若关于x 的一元一次不等式结¿的解集为x ≤a；且关于y的分式 方程y−a y−2 + 3 y−4 y−2 =1有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是（ ） ．7 B．－14 ．28 D．－56 【变式12-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）如果关于x 的不等式组¿的解集为x>3，且关 于y 的分式方程3−y 2−y + m y−2=3有非负整数解，则符合条件的整数m 的值的和是（ ） ．−4 B．−3 ．−1 D．−7 【变式12-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）如果关于y 的分式方程9−ay y−3 +2= 21 3−y 有整数解， 且关于x 的不等式组¿有且只有两个整数解，那么符合条件的所有整数的值之和是 ． 【变式12-4】（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）关于x的不等式组¿的解集为x ≥3，且关 于y的分式方程 y y−1 + a+2 1−y =−1有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 考点二 分式方程的应用 用分式方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义;+ 1）检验所求的解是否是所列分式方程的解 2）检验所求的解是否符合实际意义 答：实际问题的答 依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤： 1)先将分式方程转化为整式方程; 2)由题意求出增根; 3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值 与分式方程有关应用题的常见类型： 常见数量关系及公式 等量关系 补充 = × 工作总量工作时间工作效率 = ÷ 工作时间工作总量工作效率 = ÷ 工作效率工作总量工作时间 多个工作效率不同的对象 所完成的工作量的和等于 工作总量 在工程问题中，一般将工 1. 作总量看作单位 = - 利润售价进价（成本） = × 总利润单件利润销售量 = ÷ × 100% 利润率利润成本价 由题可知 商品打几折就是按照原价 的百分之几出售 = + 较大量较小量多余量 = × 总量倍数一份量 由题可知 弄清和、差、倍、分关系 相遇问题 = + 全路程甲走的路程乙走 的路程 相向而行，注意出发时间 、地点 追及问题 （同地不同时出发） = 前者走的路程追者走的路 程 追及问题 （同时不同地出发） + 前者走的路程两地间距离 = 追者走的路程 航行问题 = + 顺水速度静水速度水流速度 = - 逆水速度静水速度水流速度 = × 路程速度时间 注意两地距离，静水速度 不变 和差倍分问题 行程问题 = × 路程速度时间 = ÷ 速度路程时间 = ÷ 时间路程速度 同向而行，注意出发时间 、地点 常见题型 工程问题 利润问题 题型01 列分式方程 【例1】（2022·云南·中考真题）某地开展建设绿色家活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该 活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50 棵，实际植树400 棵所需时间与原计划植树300 棵所需时间 相同．设实际每天植树x 棵．则下列方程正确的是（ ） ．400 x−50=300 x B．300 x−50= 400 x ．400 x+50=300 x D．300 x+50= 400 x 【变式1-1】（2022·广西·统考中考真题）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱 前是一个长为24 米，宽为14 米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等， 则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ） ．1.4−x 2.4−x = 8 13 B．1.4+x 2.4+x = 8 13 ．1.4−2 x 2.4−2 x = 8 13 D．1.4+2 x 2.4+2 x = 8 13 【变式1-2】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项 工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这