第06讲 分式方程（练习）（原卷版）

第06 讲 分式方程 目 录 题型01 判断分式方程 题型02 分式方程的一般解法 题型03 错看或错解分式方程问题 题型04 解分式方程的运用（新定义运算） 题型05 根据分式方程解的情况求值 题型06 根据分式方程有解或无解求参数 题型07 已知分式方程有增根求参数 题型08 列方式方程 题型09 利用分式方程解决实际问题 题型01 判断分式方程 1．关于x 的方程①x 2−2 x= 1 x ；②3 x+5 4 x −1=2 x−1 3 ；③x 4−2 x 2=0；④1 2 x 2−1=0．其中是分式方程 是（ ） ．①②③ B．①② ．①③ D．①②④ 2．给出以下方程：x−3 4 =1，3 x =2，x+3 x+5=1 2 ，x 3 −x 2=1，其中分式方程的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 题型02 分式方程的一般解法 1．（2022·广东广州·统考中考真题）分式方程3 2 x = 2 x+1 的解是 2．（2023 广州市一模）分式3−x 2−x 的值比分式1 x−2 的值大3，则x 为 ． 3．（2022·广西梧州·统考中考真题）解方程：1− 2 3−x = 4 x−3 4．（2011·河北·统考中考模拟）解分式方程： 3 2 x−4 − x x−2=1 2 ． 5．（2023 渭南市一模）解分式方程： x x−2−1= 4 x 2−4 x+4 ． 题型03 错看或错解分式方程问题 1．（2023·河北·统考模拟预测）已知关于x的分式方程m x+6=1，对于方程的解，甲、乙两人有以下说法： 甲：当m<4时，方程的解是负数；乙：当m>6时，方程的解是正数．下列判断正确的是（ ） ．只有甲对 B．只有乙对 ．甲、乙都对 D．甲、乙都错 2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）“若关于x的方程 ax 3 x−9= 12 3 x−9 +1无解，求a的值．”尖尖和丹丹 的做法如下（如图1 和图2）： 下列说法正确的是（ ） ．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 ．两人都错 D．两人的答合起来才对 3．（2023 上·河北邢台·八年级校联考阶段练习）已知关于x的分式方程x−2 x+2 −mx x 2−4 =1无解，求m的值． 甲同学的结果：m=0． 乙同学的结果：m=−8． 关于甲、乙两位同学计算的结果，下列说法正确的是（ ） ．甲同学的结果正确 B．乙同学的结果正确 ．甲、乙同学的结果合在一起正确 D．甲、乙同学的结果合在一起也不正确 4．已知分式方程2 x−1 + x 1−x =¿■有解，其中“■”表示一个数． (1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或 0，试确定“■”表示的数． 5．（1）以下是小明同学解方程1−x x−3= 1 3−x −2的过程． 【解析】方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2．第一步 解得x=4．第二步 检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0．第三步 所以，原分式方程的解为x=4．第四步 ①小明的解法从第___________步开始出现错误；出错的原因是___________． ②解分式方程的思想是利用___________的数学思想，把分式方程化为整式方程． ．数形结合 B．特殊到一般 ．转化 D．类比 ③写出解方程1−x x−3= 1 3−x −2的正确过程． （2）化简：a 2−6a+9 a 2−2a ÷(1− 1 a−2) ． 6．在解分式方程1−x x−2= 1 2−x −2时，小亮的解法如下： 解：方程两边同时乘x−2，得1−x=−1−2 （第一步） 解这个整式方程得：x=4 （第二步） …… 任务一：填空 在上述小亮所解方程中，第 步有错，错误的原因是： ． 任务二：请写出解这个方程的正确过程． 任务三：请你根据平时的学习经验，针对解分式方程的注意事项给其他同学再提出一条建议． 题型04 解分式方程的运用（新定义运算） 1．（2023 西安铁一中一模）定义一种新运算：∫ b a n⋅x n−1dx=a n−b n，例如：∫ h k 2⋅xdx=k 2−h 2，若 ∫ 5m m −x −2dx=−2，则m=¿（ ） ．-2 B．−2 5 ．2 D．2 5 2．（2023·山东菏泽·校考三模）对于实数a和b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b= 1 1−b 2，这里等式右 边是实数运算．例如：5⊗3= 1 1−3 2=−1 8 ．则方程x⊗2= 2 x−4 −1的解是（ ） ．x=4 B．x=5 ．x=7 D．x=6 3．（2023·广东深圳·深圳市高级中学校考二模）对于实数a，b，定义一种新运算“θ”为： aθb= 1 a+b 2， 例如： 1θ2= 1 1+2 2，则xθ (−2)= 2 x+4 −2的解是 ． 4（2022·北京海淀·人大附中校考模拟预测）定义运算“※”：a※b=¿．若5※ x=2，则x的值可能为 （ ） ．5 2 B．5 ．15 2 D．10 或5 2 题型05 根据分式方程解的情况求值 1．（2021·四川雅安·统考中考真题）若关于x 的分式方程2−1−k x−2= 1 2−x 的解是正数，则k 的取值范围是 ． 2．（2023 慈溪市二模）如果方程1-k x -1 -1=2 1- x 的解是正数，那么k的取值范围为 ． 3．（2023 齐齐哈尔市模拟）若关于x 的方程x+m x−3 + 3m 3−x ＝3 的解为正数，则m 的取值范围是 ． 4．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x 的方程1 x + 1 x+1= x+a x( x+1)的解为负数，则的取值范围是 ． 5．（2022·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x 的分式方程m+3 2 x−1=1的解不大于2，则m 的 取值范围是 ． 6．（2022·四川南充·统考二模）已知关于x 的分式方程 x x−1= m 2 x−2 +3的解是非负数，则m 的取值范围 是 ． 题型06 根据分式方程有解或无解求参数 1．（2021·四川巴中·统考中考真题）关于x 的分式方程m+x 2−x −¿3＝0 有解，则实数m 应满足的条件是（ ） ．m＝﹣2 B．m≠ 2 ﹣ ．m＝2 D．m≠2 2．（2020 黄冈市模拟）关于x的分式方程5 x = a x−2 有解，则字母a的取值范围是（ ） ．a=2或a=0 B．a≠0 ．a≠5 D．a≠5且a≠0 3．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）若关于x 的分式方程 2 x−3 + x+a 3−x =2无解，则的值为（ ） ．3 B．0 ．−1 D．0 或3 4．（2022·黑龙江·统考三模）关于x 的分式方程1−ax x−2 +2= 1 2−x 有解，则的取值范围是 ． 5．关于x 的分式方程 2 x−2 + mx x 2−4 = 3 x+2无解，则m 的值为 ． 题型07 已知分式方程有增根求参数 1．（2022·湖北襄阳·统考一模）关于x的方程x+2 x+3= m x+3 有增根，则m的值及增根x的值分别为（ ） ．−1，−3 B．1，−3 ．−1，3 D．1，3 2．（2022·山东潍坊·统考二模）如果解关于x 的分式方程 2 x−1 + m (x−1) (x+2)= 1 x+2时出现增根，则m 的 值可能为（ ） ．−6或-3 B．−3 ．−2 D．1 3．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x 的方程2 x+1 x−3 = m 3−x +1有增根，则m 的值是 ． 4．（2022 绥宁县一模）若去分母解分式方程x−2 x−3 +1= m x−3 会产生增根，则m 的值为 ． 5．（2022·江苏徐州·统考二模）如果关于x的方程 2 x−3=1− k 3−x 有增根，那么k=¿ ． 题型08 列方式方程 1．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和 “魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动，用3600元购买“四大名著”若干 套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书， 于是用2400元购买的套数只比第一批少4 套，设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x 元，则符合题 意的方程是（ ） ．3600 0.8 x −3600 x =4 B．3600 x −2400 0.8 x =4 ．2400 0.8 x −3600 x =0 D．2400 0.8 x −2400 x =4 2．（2023·河南驻马店·校考二模）某体育用品商店出售跳绳，售卖方式可批发可零售，班长打算为班级团 购跳绳，如果每位同学一根跳绳，就只能按零售价付款，共需800元；如果多购买5 根跳绳，就可以享受 批发价，总价是720元，已知按零售价购买40根跳绳与按批发价购买50根跳绳付款相同，则班级共有多少 名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（ ） ．50× 800 x = 720 x+5 ×40 B．40× 720 x−5=800 x ×50 ．40× 800 x = 720 x+5 ×50 D．50× 720 x−5=800 x ×40 3．（2022·四川宜宾·统考中考真题）某家具厂要在开学前赶制540 套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合 理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2 套，结果提前3 天完成任务．问原计划每天完 成多少套桌凳？设原计划每天完成x 套桌凳，则所列方程正确的是（ ） ．540 x−2−540 x =3 B．540 x+2−540 x =3 ．540 x −540 x+2=3 D．540 x −540 x−2=3 4．（2022·广东佛山·佛山市华英学校校考三模）A，B两地相距80千米，一辆大汽车从A地开出2小时后， 又从A地开出另一辆小汽车，已知小汽车的速度是大汽车速度的3倍，结果小汽车比大汽车早40分钟到达 B地，求两种汽车每小时各走多少千米．设大汽车的速度为x km/h，则下面所列方程正确的是（ ） ．80 x −80 3 x =40 B．80 x −80 3 x =2.4 ．80 x −2= 80 3 x + 2 3 D．80 x +2= 80 3 x −2 3 5．（2023 福州文博中学模拟）某厂计划加工120 万个医用口罩，按原计划的速度生产6 天后，疫情期间 因为任务需要，生产速度提高到原来的15 倍，结果比原计划提前3 天完成任务．若设原计划每天生产x 万 个口罩，则可列方程为（ ） ．120 x = 120 1.5 x +3 B．120 x = 120 1.5 x −3 ．120−6 x x =120−6 x 1.5 x +3 D．120−6 x x =120−6 x 1.5 x −3 6．（2021·山东临沂·统考中考真题）某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人．B型机器人比A型机器人 每小时的清扫面积多50%；清扫100m 2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40 分钟． 两种型号扫地机 器人每小时分别清扫多少面积？若设A型扫地机器人每小时清扫x m 2，根据题意可列方程为（ ） ．100 0.5 x =100 x + 2 3 B．100 0.5 x + 2 3=100 x ．100 x + 2 3= 100 1.5 x D．100 x = 100 1.5 x + 2 3 7．（2023 西峡县三模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若 用慢马送到900 里远的城市，所需时间比规定时间多1 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3 天，已知快马的速度是慢马的2 倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ） ．900 x+3=2× 900 x−1 B．900 x−3=2× 900 x+1 ．900 x−1=2× 900 x+3 D．900 x+1=2× 900 x−3 8．（2022·浙江丽水·统考中考真题）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2 倍，购 买足球用了5000 元，购买篮球用了4000 元，篮球单价比足球贵30 元．根据题意可列方程 5000 2 x = 4000 x −30，则方程中x 表示（ ） ．足球的单价 B．篮球的单价 ．足球的数量 D．篮球的数量 题型09 利用分式方程解决实际问题 1．（2021·山东泰安·统考中考真题）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制 药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16 万剂，但受某些因素影响，有10 名工人不能按时到厂．为了应 对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8 小时增加到10 小时，每人每小时完成的工作量不变，这 样每天只能生产疫苗15 万剂． （1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？ （2）生产4 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10 小时．若上级分配给该厂共760 万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？ 2．（2022·江苏扬州·统考中考真题）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4 个小组 制作360 面彩旗，后因1 个小组另有任务，其余3 个小组的每名学生要比原计划多做3 面彩旗才能完成任 务．如果这4 个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？ 3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排 球进价的15 倍，若用3600 元购进篮球的数量比用3200 元购进排球的数量少10 个． (1)篮球、排球的进价分别为每个多少元? (2)该健身器材店决定用不多于28000 元购进篮球和排球共300 个进行销售，最多可以购买多少个篮球? 1．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程2 x−1 x 2 + x 2 2 x−1=5中，设2 x−1 x 2 = y，可得到关于y 的整式方 程为（ ） ．y 2+5 y+5=0 B．y 2−5 y+5=0 ．y 2+5 y+1=0 D．y 2−5 y+1=0 2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）分式方程x−2 x−3= 2 x−3 的解为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 3．（2023·湖南·统考中考真题）将关于x 的分式方程3 2 x = 1 x−1 去分母可得（ ） ．3 x−3=2 x B．3 x−1=2 x ．3 x−1=x D．3 x−3=x 4．（2023·山东日照·统考中考真题）若关于x的方程 x x−1−2= 3m 2 x−2 解为正数，则m的取值范围是 （ ） ．m>−2 3 B．m< 4 3 ．m>−2 3 且m≠0 D．m< 4 3 且m≠2 3 5．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x 的分式方程 x x−1 +1= m 1−x 的解为非负数，则m 的取值范围 是（ ） ．m≤1且m≠−1 B．m≥−1且m≠1 ．m<1且m≠−1 D．m>−1且m≠1 6．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x 的分式方程m x−2 +1= x 2−x 的解是非负数，则m的取值范围 是（ ） ．m≤2 B．m≥2 ．m≤2且m≠−2 D．m<2且m≠−2 7．（2023·山东淄博·统考中考真题）已知x=1是方程m 2−x − 1 x−2=3的解，那么实数m的值为（ ） ．−2 B．2 ．−4 D．4 8．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪，都可以感受到阳光的照耀，都可 以通过阅读触及更广阔的世界．某区育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两 同学分别从距离活动地点800 米和400 米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度 的12 倍，乙同学比甲同学提前4 分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是 （ ） ．x 800−1.2 x 400 =4 B．1.2 x 800 −x 400=4 ．400 1.2 x −800 x =4 D．800 1.2 x −400 x =4 9．（2023·广东深圳·统考中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5 吨货物， 且大货车运输75 吨货物所用车辆数与小货车运输50 吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x 吨， 则所列方程正确的是（ ） ．75 x−5=50 x B．75 x = 50 x−5 ．75 x+5=50 x D．75 x = 50 x+5 10．（2023·四川达州·统考中考真题）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品， 首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000 元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供 不应求，该电商又用11000 元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件 便宜了5 元，但数量比第一批多购进了40 件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红 李”的单价为x 元/件，根据题意可列方程为（ ） ．12000 x =11000 x−5 −40 B．12000 x −40=11000 x+5 ．12000 x+5 +40=11000 x D．11000 x +40=12000 x−5 11．（2023·四川广安·统考中考真题）为了降低成本，某出租车公司实施了“油改气”措施．如图， y1、y2分别表示燃油汽车和燃气汽车所需费用y（单位：元）与行驶路程S（单位：千米）的关系，已知 燃油汽车每千米所需的费用比燃气汽车每千米所需的费用的3 倍少01 元，设燃气汽车每千米所需的费用为 x元，则可列方程为（ ） ．25 x = 10 3 x−0.1 B．25 x = 10 3 x+0.1 ． 25 3 x+0.1=10 x D． 25 3 x−0.1=10 x 12．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9 千米， 乙工程队需要修12 千米．已知乙工