河南名校联盟2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题（解析版）

河南名校联盟 2021—2022 学年高二（下）期中考试 数学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知a，b， ， ，且 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断． 【详解】当 时， ，A 不成立； 时，由 得 ，B 不成立； 当 时， ，C 不成立， 由不等式得性质，D 正确． 故选：D． 2. 已知 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由方程表示双曲线解出 的范围，再由充分性、必要性的定义判断即可. 【详解】由方程 表示双曲线可得 ，解得 ，显然 能推 出 ， 反之 不能推出 ，故“ ”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知复数z 满足 (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( ) A. B. C. i D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算即可． 【详解】 ， 故z 的虚部为-1． 故选：B． 4. 已知函数 ， .若曲线 在 处的切线与直线 平行，则实数 a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据曲线 在 处的切线与直线 平行得 ，据此即可求出a． 【详解】∵ ， ∴ ， ∵曲线 在 处的切线与直线 平行， ∴ ． 故选：A﹒ 5. 已知 ，且 ， ， ，则 三个数（ ） A. 都小于 B. 至少有一个不小于 C. 都大于 D. 至少有一个不大于 【答案】B 【解析】 【分析】先求出 ，通过反证法证得 都小于 不成立，即可得出结果. 【详解】 ，假设 都小 于 ， 则 ，与题设矛盾，故假设不成立，即 至少有一个不小于 . 故选：B. 6. 已知复数 ， ，且有 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据 ， ，求得 ， ，再由 求解. 【详解】因为 ， ， 则 ， ， 因为 ， 则 ， 解得 ，此时 ， 所以 . 故选：C. 7. 在2022 年2 月北京冬奥会短道速滑男子500 米项目决赛前，某家庭中的爸爸、妈妈和孩子对进入决赛的 甲、乙、丙、丁、戊五位选手谁能夺冠进行猜测，依据运动员的实力和比赛规则，这五位选手都有机会获 得冠军.爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.比赛结束，冠军在这五 人中产生，且爸爸、妈妈、和孩子三人之中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（ ） A. 甲 B. 丙 C. 丁 D. 戊 【答案】B 【解析】 【分析】假设孩子的猜测正确，推出不成立，再假设妈妈的猜测正确，推出不成立，进而得到爸爸的猜测 正确，即可求解. 【详解】若孩子的 猜测是正确的，则妈妈的猜测也正确，不合题意，故孩子的猜测是错误的，即冠军不是 丁也不是戊； 若妈妈的猜测是正确的，则冠军是甲，爸爸的猜测也正确，不合题意，故妈妈的猜测是错误的，即冠军是 乙或丙； 爸爸的猜测是正确的，故冠军是丙. 故选：B. 8. 观察等式： ， ， ， .若第n 个等式为 ，则满足不等式 成立的最小正整数n 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得 ，代入 中化简可求出 的范围，从而 可求得结果 【详解】由题意可得 ， 因为 ， 所以 ，化简得 ， 解得 （舍去），或 ， 因为 ， 所以最小正整数n 的值为7， 故选：C 9. 在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 ， ， ， ，则 （ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由 的范围及 的值求解 ，利用正弦定理求解出 ，再利用余弦定理即可求解. 【详解】∵ ，且 ，∴ . 又 ，由正弦定理得 ，即 ， ∵ ，∴ . 由余弦定理得 ，即 ， 解得 ， . 故选：D. 10. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报就 “支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生做了专题调查，被调查的 男、女生人数相同，其中男生支持的人数占调查男生人数的 ，女生支持的人数占调查女生人数的 .若 有99%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调查的男生可能有（ ） 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附： ，其中 . A. 135 人 B. 140 人 C. 145 人 D. 150 人 【答案】D 【解析】 【分析】设参加调查的男生可能有 人，则女生也为 人，然后列出 列联表，计算 ，由题 意可得 ，从而可求出 的范围，进而可求得答案 【详解】设参加调查的男生可能有 人，则女生也为 人， 由题意得 列联表如下： 支持 不支持 总计 男生 女生 总计 则 ， 因为有99%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”， 所以 ， 得 ， 因为 是15 的倍数， 所以选项D 符合题意， 故选：D 11. “二七纪念塔”位于河南省郑州市二七广场，建于1971 年，钢筋混凝土结构，是中国建筑独特的仿古联 体双塔，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物，2006 年被列为全国重点文物保护单位. 某同学为测量二七纪念塔的高度，在塔底共线的三点A，B，C 处测得塔顶的仰角分别为30°，45°，60°， 且 ，则二七纪念塔的塔高约为（ ）（参考数据： ， ， ） A. 59.39m B. 63.00m C. 68.57m D. 72.74m 【答案】B 【解析】 【分析】如图，用 表示塔身，设 ， ，表示出 ，然后在 和 中应用余弦定理求得 与 的关系，从而求得结论． 【详解】用 表示塔身，如图，设 ， 由题意得 ， ， ， 记 ， 由 得 ， 化简得 ，所以 ． 故选：B． 12. 设定义在R 上的函数 的导函数为 ，已知 ，且 ，则满足不等式 的实数a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】引入函数 ，由导数确定它的单调性，待解不等式化为关于 的不等式，然后由 单调性得解． 【详解】设 ，则 ， 因为 ， ，所以 ， 是减函数， ， 不等式 化为 ，即 ， 所以 ． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖 的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征. 比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆 有 性质：过圆C 上一点 的圆的切线方程是 .类比上述结论，过椭圆 的点 的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过类比可得类似结论：过椭圆 上一点 的椭圆的切线方程为 ，然后可得. 【详解】通过类比可得类似结论：过椭圆 上一点 的椭圆的切线方程为 . 所以,，过椭圆 上的点 的切线方程为 ，即 . 将 代入 得： ，解得 所以直线 和椭圆 有唯一交点 ，即直线与椭圆相切. 故答案为： 14. 执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为33，则输入的整数t 的最大值为___________. 【答案】32 【解析】 【分析】利用程序框图的功能一一循环，直至 终止循环求解. 【详解】第一次循环， ， 不成立； 第二次循环， ， 不成立； 第三次循环， ， 不成立； 第四次循环， ， ，不成立； 第五次循环， ， ，成立； 所以 ， 则输入的整数t 的最大值为32. 故答案为：32. 15. 如图所示，已知P 为抛物线 上的一个动点，点 ，F 为抛物线C 的焦点，若 的最小值为3，则抛物线C 的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义将 转化为点P 到点Q 和准线的距离之和，由最小值为3 可得p，然后可得抛 物线标准方程. 【详解】过点P、Q 分别作准线的垂线，垂直分别为M、N， 由抛物线定义可知 ，当P，M，Q 三点共线时等号成立 所以 ，解得 所以抛物线C 的标准方程为 . 故答案为： 16. 2020 年9 月，中国在第75 届联合国大会上承诺，二氧化碳排放力争于2030 年前达到峰值，努力争取 2060 年前实现碳中和(简称“双碳目标”).某地区积极响应政府的号召，大力提倡新能源汽车，某机构为研究 新能源汽车在该地区的销售情况，对某品牌的新能源汽车在该地区近几个月的销售情况作了统计，如下表： 月份 2021 年11 月 2021 年12 月 2022 年1 月 2022 年2 月 2022 年3 月 月份编号x 1 2 3 4 5 新能源汽车销售量y(辆) 30 50 70 100 110 则y 关于x 的线性回归方程为______． 参考公式：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， . 【答案】 【解析】 【分析】根据表中数据和最小二乘估计公式计算出 和 即可． 【详解】 ， ， ， ， ∴ ， ， ∴y 关于x 的线性回归方程为 ． 故答案为： ． 三、解答题：第17 题10 分，其余每题12 分，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. 已知正项等比数列 的公比大于1，其前n 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 ， 满足 ， ，求数列 的前n 项和 . 【答案】（1） ； （2） ． 【解析】 【分析】（1）由等比数列的基本量法和前 项和定义列出关于公比 和首项 的方程组求得 和 ，得通项公式； （2）求出 ，用裂项相消法求和 ． 【小问1 详解】 设公比为 ，则题意得 ，因为 ，故解得 ， 所以 ； 【小问2 详解】 由（1） ， ， 所以 ． 18. 已知复数 ，其中i 是虚数单位， .设p：复数z 在复平面内对应的点位于第 四象限； . （1）当p 为真命题时，求实数m 的取值范围； （2）若命题“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数 在复平面内对应的点位于第四象限，求出 的取值范围； （2）根据“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题可以判断命题 、 一真一假，由此求出 的取值 范围. 【小问1 详解】 在复平面内对应的点位于第四象限 解得： 即 的取值范围为 . 【小问2 详解】 由 为真命题得： 由命题“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，得 真 假或 假 真 当 真 假时， 即 当 假 真时， 即 实数 的取值范围为 . 19. 根据党中央规划的“精准发力，着力提高脱贫攻坚成效”的精准扶贫、精准脱贫路径，某农业机械上市公 司为强化现代农业的基础支撑，不断投入资金对产品进行研发，从而提升农机装备的应用水平.通过对该公 司近几年的年报公布的研发费用x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据进行统计，得到如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份编号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 6 8 10 13 15 22 27 40 48 54 60 根据数据，可建立y 关于x 的两个回归模型：模型①： ；模型②： ． （1）根据表格中的数据，分别求出模型①，②的相关指数 的大小（保留三位有效数字）； （2）根据（1）选择拟合精度更高、更可靠的模型，若2022 年该公司计划投入研发费用17 亿元，预测可 为该公司带来多少直接收益. 附：相关指数 ， . 回归模型 模型① 模型② 79.13 18. 86 【答案】（1） ， （2）72.93 亿元 【解析】 【分析】（1）先计算 ，再求 ，然后由公式直接计算可得； （2）比较相关系数，选择拟合精度更高、更可靠的模型计算可得. 【小问1 详解】 因为 所以 则模型①的相关指数 模型②的相关指数 【小问2 详解】 由（1）知， 所以模型②的拟合精度更高、更可靠， 由回归方程 可得，当 时， 所以若2022 年该公司计划投入研发费用17 亿元，大约可为该公司带来72.93 亿元直接收益. 20. 2022 年年度大剧《人世间》自1 月28 日在央视一套黄金档开播以来，其收视率一路开挂，破近五年的 的纪录．某调研机构为了解某社区居民对本剧的收看情况，随机抽取了该社区年龄在30~60 岁的600 名居 民进行调查，其中男性居民与女性居民的人数之比是9：11.经统计，收看过本剧的居民比没有收看过本剧 的居民多300 人，女性居民中仅有60 人没有收看过本剧. （1）是否有99.9%的把握认为是否收看过电视剧《人世间》与性别有关？ （2）按性别用分层抽样的方法从收看过本剧的居民中抽取5 人，若要从这5 人中随机选出2 人对其做进一 步的观剧感受访谈，求选出的2 人中至少有一个是男性居民的概率. 附： ，其中 . 0.100 0.050 0.025 0.010 0. 001 2. 706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关； （2） . 【解析】 【分析】（1）根据题目信息求出各项数据，得到2 2 列联表，进而计算出 ，对比临界值即可得出结论. （2）根据古典概型的计算公式即可求出结果. 【小问1 详解】 由题意，调查的600 名居民中，男性与女性居民的人数之比是9：11，故男性有 人，女性 有 人， 因为收看过本剧的居民比没有收看过的居民多300 人，所以收看过本剧的居民有450 人， 没有收看过本剧的居民有150 人， 因为没有收看过本剧的女性有60 人，所以收看过本剧的女性居民有270 人，没收看过本剧的男性有90 人， 收看过本剧的男性有180 人.完成2 2 列联表，如下： 观看过 没有观看过 合计 男性 180 90 270 女性 270 60 330 合计 450 150 600 所以 ， 所以有99.9%的把握认为收看过电视剧《人世间》与性别有关. 【小问2 详解】 收看过电视剧《人世间》的共有450 人，从中抽取5 人，抽到的男性人数、女性人数分别为： 人， 人， 记2 名男性分别是 a，b，3 名女性分别是A，B，C， 则从5 人中选出2 人的基本事件是：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC， 共10 个，选出的2 人中至少有一位是男性的事件有7 个， 所以选出的2 人至少有一位是男性的概率 . 21. 已知函数 ， . （1）求 的极大值； （2）若 恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）当 时， 无极值；当 时， 有极大值 . （2） 【解析】 【分析】（1）分 ， ，利用导数讨论其单调性可得； （2）分离参数，将恒成立问题转化为求函数最值问题，通过二次求导可判断导函数的单调性，结合导函 数的零点可得所构造函数的单调区间，然后可解. 【小问1 详解】 的定义域为 当 时， 恒成立， 在定义域上单调递增，无极值； 当 时，由 解得 ， 在 上单调递增， 由 解得 ， 在 上单调递减， 所以当 时， 有极大值 综上，当 时， 无极值；当 时， 有极大值 ，无极小值. 【小问2 详解】 因为 恒成立， 所以 恒成立， 记 则 记 因为 ，所以 所以 在 上单调递减， 又因为 所以，当 时， ，即 ， 单调递增 当 时， ，即 ， 单调递减 所以，当 时， 有最大值 . 所以 ， 即实数a 的取值范围为 22. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 ， 在直线 的 同侧，且点 ， 到直线l 的距离分别为 ， . （1）若椭圆C 的方程为 ，直线l 的方程为 ，求 的值，并判断直线l 与椭圆 C 的公共点的个数； （2）若直线l 与椭圆C 有两个公共点，试求 所需要满足的条件； （3）结合（1）和（2），试写出一个能判断直线l 与椭圆C 有公共点的充要条件（不需要证明）. 【答案】（1） ；1 个公共点； （2） ； （3） ，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接由点到直线的距离公式求出 ，联立直线与椭圆方程，由 判断交点个数即可； （2）先由点到直线的距离公式表示出 ，联立直线与椭圆方程，由 解得 ，进而 求出 的范围即可； （3）直线l 与椭圆C 有公共点的充要条件是 ，先由点到直线的距离公式表示出 ，联立直 线与椭圆方程，有公共点等价于 ，解得 ，进而求出 的范围即可；即可证明. 【小问1 详解】 由题意知： ，直线l 的方程为 ，则 ， ； 联立直线与椭圆方程 得 ， ，故直线l 与 椭圆C 有1 个公共点； 【小问2 详解】 由题意知： ，直线l 的方程为 ，点 ， 在直线 的同侧， 则 ， ；联立直线与椭圆方程 得 ， 由直线l 与椭圆C 有两个公共点，可得 ，即 ， 即 ， 故 ，故 ； 【小问3 详解】 直线l 与椭圆C 有公共点的充要条件是 ，证明如下： 由（2）知 ； 联立直线与椭圆方程 得 ，直线l 与椭圆C 有公共 点， 等价于 ，即 ， 即 ，故 ，故 .