河南名校联盟2021-2022学年高二下学期期中考试文科数学试题（原卷版）

河南名校联盟 2021—2022 学年高二（下）期中考试 数学（文科） 第Ⅰ卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知a，b， ， ，且 ，则下列不等式中一定成立的 是（ ） A. B. C. D. 2. 已知 ，则“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数z 满足 (i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为( ) A. B. C. i D. 1 4. 已知函数 ， .若曲线 在 处的切线与直线 平行，则实数 a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. D. 5. 已知 ，且 ， ， ，则 三个数（ ） A. 都小于 B. 至少有一个不小于 C. 都大于 D. 至少有一个不大于 6. 已知复数 ， ，且有 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 7. 在2022 年2 月北京冬奥会短道速滑男子500 米项目决赛前，某家庭中的爸爸、妈妈和孩子对进入决赛的甲、乙、丙、丁、戊五位选手谁能夺冠进行猜 测，依据运动员的实力和比赛规则，这五位选手都有机会获得冠军.爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定 不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.比赛结束，冠军在这五人中产生，且爸爸、妈妈、和孩子三人之中只有 一人的猜测是正确的，则冠军是（ ） A. 甲 B. 丙 C. 丁 D. 戊 8. 观察等式： ， ， ， .若第n 个等式为 ，则满足不等式 成立的最小正整数n 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 ， ， ， ，则 （ ） A. B. 3 C. D. 10. 随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报就 “支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”对某校高二年级部分学生做了专题调查，被调查的 男、女生人数相同，其中男生支持的人数占调查男生人数的 ，女生支持的人数占调查女生人数的 .若 有99%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，则参加调查的男生可能有（ ） 附表： 0.100 0. 050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附： ，其中 . A. 135 人 B. 140 人 C. 145 人 D. 150 人 11. “二七纪念塔”位于河南省郑州市二七广场，建于1971 年，钢筋混凝土结构，是中国建筑独特的仿古联 体双塔，它是为纪念京汉铁路工人大罢工而修建的纪念性建筑物，2006 年被列为全国重点文物保护单位. 某同学为测量二七纪念塔的高度，在塔底共线的三点A，B，C 处测得塔顶的仰角分别为30°，45°，60°， 且 ，则二七纪念塔的塔高约为（ ）（参考数据： ， ， ） A. 59.39m B. 63.00m C. 68.57m D. 72.74m 12. 设定义在R 上的函数 的导函数为 ，已知 ，且 ，则满足不等式 的实数a 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90 分） 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 类比推理在数学发现中有重要的作用，开普勒说过：我珍视类比胜过任何别的东西，它是我最可信赖 的老师，它能揭示自然界的秘密.运用类比推理，人们可以从已经掌握的事物特征，推测被研究的事物特征. 比如：根据圆的简单几何性质，运用类比推理，可以得到椭圆的简单几何性质等.已知圆 有 性质：过圆C 上一点 的圆的切线方程是 .类比上述结论，过椭圆 的点 的切线方程为______. 14. 执行如图所示的程序框图，若输出的a 的值为33，则输入的整数t 的最大值为___________. 15. 如图所示，已知P 为抛物线 上的一个动点，点 ，F 为抛物线C 的焦点，若 的最小值为3，则抛物线C 的标准方程为______. 16. 2020 年9 月，中国在第75 届联合国大会上承诺，二氧化碳排放力争于2030 年前达到峰值，努力争取 2060 年前实现碳中和(简称“双碳目标”).某地区积极响应政府的号召，大力提倡新能源汽车，某机构为研究 新能源汽车在该地区的销售情况，对某品牌的新能源汽车在该地区近几个月的销售情况作了统计，如下表： 月份 2021 年11 月 2021 年12 月 2022 年1 月 2022 年2 月 2022 年3 月 月份编号x 1 2 3 4 5 新能源汽车销售量y(辆) 30 50 70 100 110 则y 关于x 的线性回归方程为______． 参考公式：回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， . 三、解答题：第17 题10 分，其余每题12 分，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 17. 已知正项等比数列 的公比大于1，其前n 项和为 ，且 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 ， 满足 ， ，求数列的 前n 项和 . 18. 已知复数 ，其中i 是虚数单位， .设p：复数z 在复平面内对应的点位于第 四象限； . （1）当p 为真命题时，求实数m 的 取值范围； （2）若命题“ 且 ”为假命题，“ 或 ”为真命题，求实数 的取值范围. 19. 根据党中央规划的“精准发力，着力提高脱贫攻坚成效”的精准扶贫、精准脱贫路径，某农业机械上市公 司为强化现代农业的基础支撑，不断投入资金对产品进行研发，从而提升农机装备的应用水平.通过对该公 司近几年的年报公布的研发费用x（亿元）与产品的直接收益y（亿元）的数据进行统计，得到如下表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 年份编号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 6 8 10 13 15 22 27 40 48 54 60 根据数据，可建立y 关于x 的两个回归模型：模型①： ；模型②： ． （1）根据表格中的数据，分别求出模型①，②的相关指数 的大小（保留三位有效数字）； （2）根据（1）选择拟合精度更高、更可靠的模型，若2022 年该公司计划投入研发费用17 亿元，预测可 为该公司带来多少直接收益. 附：相关指数 ， . 回归模型 模型① 模型② 79.13 18.86 20. 2022 年年度大剧《人世间》自1 月28 日在央视一套黄金档开播以来，其收视率一路开挂，破近五年的 的纪录．某调研机构为了解某社区居民对本剧的收看情况，随机抽取了该社区年龄在30~60 岁的600 名居 民进行调查，其中男性居民与女性居民的人数之比是9：11.经统计，收看过本剧的居民比没有收看过本剧 的居民多300 人，女性居民中仅有60 人没有收看过本剧. （1）是否有99.9%的把握认为是否收看过电视剧《人世间》与性别有关？ （2）按性别用分层抽样的方法从收看过本剧的居民中抽取5 人，若要从这5 人中随机选出2 人对其做进一 步的观剧感受访谈，求选出的2 人中至少有一个是男性居民的概率. 附： ，其中 . 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 21. 已知函数 ， . （1）求 的极大值； （2）若 恒成立，求实数a 的取值范围. 22. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 ， 在直线 的 同侧，且点 ， 到直线l 的距离分别为 ， . （1）若椭圆C 的方程为 ，直线l 的方程为 ，求 的值，并判断直线l 与椭圆 C 的公共点的个数； （2）若直线l 与椭圆C 有两个公共点，试求 所需要满足的条件； （3）结合（1）和（2），试写出一个能判断直线l 与椭圆C 有公共点的充要条件（不需要证明）.