模型04 一线三等角模型（解析版）(1)

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为锐角，则有△P∽△BPD． 模型介绍 3 C D B P A 证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠P，∠＝180°－∠1－∠P，而∠1＝∠3 ∴∠＝∠DPB， ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C 【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 8 m2． 解：过点D 作D⊥B，交B 的延长线于点， ∵∠B＝90°， ∴∠B+∠B＝90°， ∵∠D＝90°， ∴∠D+∠B＝90°， ∴∠B＝∠D， 在△B 和△D 中， ， 例题精讲 ∴△B≌△D（S）， ∴D＝B＝4， ∴△BD 的面积＝ ×B×D＝ ×4×4＝8（m2），故答为：8． 变式训练 【变式1-1】．如图，在线段BG 上，BD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7 平方厘米和 11 平方厘米，则△DE 的面积等于 平方厘米． 解：过E 作E⊥D 于，如图， 1+ 2 ∵∠ ∠＝90°，∠2+ 3 ∠＝90°， 1 ∴∠＝∠3， 又∵∠ED＝∠DG＝90°，ED＝DG， ∴△ED≌△DG， ∴E＝G， ∵SBD＝7m2，SDGFE＝11m2， ∴D＝D＝ m，DG＝ ， ∴在Rt△DG 中，G＝ ， ∴S△DE＝ D×E＝ D×G＝ × ×2＝ m2，故答为： ． 【变式1-2】．如图，一块含45°的三角板的一个顶点与矩形BD 的顶点重合，直角顶点E 落在边B 上，另一顶点F 恰好落在边D 的中点处，若B＝12，则B 的长为 8 ． 解：∵四边形BD 是矩形， ∴B＝D，∠B＝∠＝90°， ∴∠BE+∠EB＝90°， ∵△EF 是等腰直角三角形， ∴E＝EF，∠EF＝90°， ∴∠FE+∠EB＝90°， ∴∠BE＝∠FE， 在△BE 和△EF 中， ， ∴△BE≌△EF（S），∴B＝E，BE＝F， ∵点F 是D 的中点，∴F＝ D，∴BE＝F＝ B， ∵BE+E＝B＝12，∴ B+B＝12，∴B＝8， 故答为：8． 【变式1-3】．如图，在矩形B 中，点的坐标是（﹣2，1），点的纵坐标是4，则B，两点 的坐标分别是（ ） ．（ ，3），（﹣ ，4） B．（ ，3），（﹣ ，4） ．（ ， ），（﹣ ，4） D．（ ， ），（﹣ ，4） 解：过点作D⊥x 轴于点D，过点B 作BE⊥x 轴于点E，过点作F∥y 轴，过点作F∥x 轴， 交点为F． ∵四边形B 是矩形，∴∥B，＝B，∴∠F＝∠BE． ∵在△F 和△BE 中， ∴△F≌△BE（S），∴BE＝F＝4 1 ﹣＝3． ∵∠D+∠BE＝∠BE+∠BE＝90°，∴∠D＝∠BE． ∵∠D＝∠EB＝90°，∴△D∽△BE， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴E＝ ，即点B（ ，3），∴F＝E＝ ， ∴点的横坐标为：﹣（2﹣ ）＝﹣ ，∴点（﹣ ，4）．故选：B． 【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，＝B，∠B＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的 图象经过，B 两点．若点的坐标为（，1），则k 的值为（ ） ． B． ． D． 解如图：过作⊥y 轴，垂足为，作BD⊥，垂足为D ∵∠B＝90° + ∴∠∠BD＝90°且∠BD+∠BD＝90° ∴∠BD＝∠ 且∠D＝∠＝90°，＝B ∴△△ ≌DB ∴D＝，BD＝ ∵（，1）（＞0） ∴＝D＝1，＝BD＝． ∴B（1+，1﹣） ∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过，B 两点 ×1 ∴ ＝（1+）（1﹣） ∴＝ ∴k＝1×＝ 故选：． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 解：如图，∵△B 和△DE 均为等边三角形， ∴∠B＝∠B＝60°， ∴∠BD+∠DB＝120°，∠DB+∠FD＝120°∴∠BD＝∠FD 又∵∠B＝∠＝60°， ∴△BD∽△DF，∴B：BD＝D：F， 即9：3＝（9 3 ﹣）：F，∴F＝2．故选：B． 变式训练 【变式2-1】．如图，在△B 中，B＝，B＞B，点D 在边B 上，D＝3BD，点E、F 在线段D 上，∠1＝∠2＝∠B．若△B 的面积为12，则△F 与△BDE 的面积之和为 3 ． 解：∵∠1＝∠2＝∠B，∠1＝∠EB+∠BE，∠B＝∠F+∠BE， ∴∠EB＝∠F，∠EB＝∠F， 在△BE 和△F 中， ， ∴△BE≌△F（S）． ∴△BE 的面积＝△F 的面积， ∵D＝3BD， ∴B＝4BD， ∴△BD 的面积＝ △B 的面积＝ ×12＝3， ∴△F 与△BDE 的面积之和＝△BD 的面积＝3；故答为：3． 【变式2-2】．如图，在等边△B 中，＝9，点在上，且＝3，点P 是B 上一动点，连接P， 以为圆心，P 长为半径画弧交B 于点D，连接PD，如果P＝PD，那么P 的长是 6 ． 解：连接D， ∵P＝PD，∴P＝DP＝D，∴∠DP＝60°， ∵等边△B，∴∠＝∠B＝60°，＝B＝9， ∴∠P＝∠PDB＝∠DP 60° ﹣ ，∴△P≌△PDB， ∵＝3，∴＝PB＝3，∴P＝6．故答是：6． 【变式2-3】．如图1，在正方形BD 中，E 是边B 的中点，F 是D 上一点，已知∠EF＝ 90°． （1）求证： ＝ ； （2）平行四边形BD 中，E 是边B 上一点，F 是边D 上一点，∠FE＝∠D，∠EF＝90°． 如图2，若∠FE＝45°，求 的值． （1）证明：如图1 中，设正方形的边长为2． ∵四边形BD 是正方形， ∴∠B＝∠＝90°， ∵∠EF＝90°， ∴∠EB+∠FE＝90°，∠FE+∠EF＝90°， ∴∠EB＝∠EF， ∴△BE∽△EF， ∴ ＝ ∵BE＝E＝，B＝D＝2， ∴F＝ ，DF＝D﹣F＝ ， ∴ ＝ ＝ ． （2）如图2 中，在D 上取一点，使得F＝DF． ∵∠EF＝90°，∠FE＝∠D＝45°， ∴△EF 是等腰直角三角形， ∴F＝ EF， ∵F＝FD， ∴∠FD＝∠D＝45°， ∴∠F＝135°， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D∥B， ∴∠＝180°﹣∠D＝135°， ∴∠F＝∠， ∵∠F＝∠D+∠F＝∠EF+∠FE，∠FE＝∠D， ∴∠F＝∠EF， ∴△F∽△FE， ∴E：F＝EF：F＝1： ＝ ：2， ∴ ＝ ． 1．如图，∠B＝90°，＝B，D⊥E，BE⊥E，垂足分别是点D、E，D＝7m，BE＝3m，则DE 的长是（ ） ．3m B．35m ．4m D．45m 解：∵D⊥E，BE⊥E， ∴∠BE＝∠D＝90°， ∴∠D+∠D＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠D+∠BE＝90°， ∴∠D＝∠BE， 在△D 与△BE 中， ， ∴△D≌△BE（S）， ∴D＝BE＝3m，E＝D＝7m， ∴DE＝E﹣D＝7 3 ﹣＝4m，故选：． 2．如图，在矩形BD 中，B＝4， ，E 为D 边上一点，将△BE 沿BE 折叠，使得落到 矩形内点F 的位置，连接F，若 ，则E＝（ ） 实战演练 ． B． ． D． 解：过点F 作M∥D，交B 于点M，交D 于点， 则M⊥B，M⊥D， 由折叠可得，E＝EF，B＝BF＝ ，∠＝∠BFE＝90°， 在Rt△MF 中，t∠BF＝ ， 设FM＝x，则M＝2x，BM＝4 2 ﹣x， 在Rt△BFM 中，由勾股定理可得， ， 解得x＝1 或x＝ （舍去）， ∴FM＝1，M＝BM＝2，F＝M﹣FM＝B﹣FM＝ ﹣1， ∵∠EF+∠FE＝∠EF+∠BFM＝90°， ∴∠FE＝∠BFM， 又∵∠FE＝∠BMF， ∴△EF∽△FBM， ∴ ， 即 ， 解得EF＝ ． ∴E＝ ． 故选：． 3 如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△B 的三个顶点分别 在这三条平行直线上，则sin α的值是（ ） ． 1 3 B 6 17 ．❑ √5 5 D ❑ √10 10 解：如图，过点作D⊥l1于点D，过点B 作BE⊥l1于点B，设l1，l2，l3之间的距离为1 ∵∠D+∠D=90°，∠BE+∠D=90°∴∠D=∠BE 在等腰直角△B 中，=B，∠D=∠BE=90° ∴△D≌△BE∴D=BE=1 在Rt△D 中=❑ √AD 2+CD 2= ❑ √2 2+1 2=❑ √5 在等腰直角△B 中B=❑ √2=❑ √2×❑ √5=❑ √10∴sin α= 1 ❑ √10= ❑ √10 10 故选：D 4．如图，在△B 中，∠＝90°，∠B＝30°，点D、E、F 分别为边、B、B 上的点，且△DEF 为 等边三角形，若D＝ D．则 的值为（ ） ． B． ． D． 解：∵∠＝90°，∠B＝30°，设＝1，则B＝2＝2， ∴B＝ ＝ ， ∵D＝ D，D+D＝1，∴D＝ ，D＝ ， 过点D 作D⊥B 于点， ∴∠D＝90°﹣∠＝30°， ∴＝ D＝ ，D＝ ， ∵△DEF 是等边三角形， ∴DF＝DE，∠＝∠DE＝90°，∠FDE＝60°， ∴∠FD+∠DF＝∠DF+∠DE＝180° 30° 60° ﹣ ﹣ ＝90°，∴∠FD＝∠DE， ∵∠FD＝∠DE＝90°，DF＝ED，∴△DF≌△ED（S）， ∴E＝D＝ ， ∴BE＝2﹣ ，E＝ ， ∴ ，故选：D． 5．如图，在等边三角形B 中，B＝4，P 是边B 上一点，BP＝ ，D 是边B 上一点（点D 不与端点重合），作∠PDQ＝60°，DQ 交边于点Q．若Q＝，满足条件的点D 有且只有 一个，则的值为（ ） ． B． ．2 D．3 解：∵△B 是等边三角形，B＝4， ∴∠B＝∠＝60°，B＝B＝4， ∵∠BPD+∠B＝∠QD+∠PDQ，∠B＝∠PDQ＝60°， ∴∠BPD＝∠DQ， ∴△BDP～QD， ∴ ， ∵B＝4，BP＝ ，Q＝， ∴ ， 2 ∴BD2 8 ﹣BD+3＝0， ∵满足条件的点D 有且只有一个， ∴方程2BD2 8 ﹣BD+3＝0 有两个相等的实数根， Δ ∴＝64 4×2×3 ﹣ ＝0， 解得：＝ ，故选：B． 6．△BDE 和△FG 是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形B 内． 若求五边形DEF 的面积，则只需知道（ ） ．△B 的面积 B．△BFG 的面积 ．四边形FG 的周长 D．△BDE 的面积 解：∵△GF 为等边三角形， ∴F＝G，∠FG＝60°， ∴∠F+∠G＝120°， ∵△B 为等边三角形， ∴B＝B＝，∠B＝∠＝60°， ∴∠G+∠G＝120°， ∴∠F＝∠G， 在△F 和△G 中， ， ∴△F≌△G（S）， ∴S△F＝S△G， 同理可求S△BGF＝S△F， ∴S△F＝ （S△B﹣S△GF）， ∵△BDE 和△FG 是两个全等的等边三角形， ∴S△BDE＝S△FG， ∴S△BDE＝S△B 3 ﹣S△F， ∴五边形DEF 的面积＝S△B﹣S△F﹣S△BDE＝2S△F＝2S△BFG， ∴知道△BFG 的面积可求五边形DEF 的面积，故选：B． 7．如图，在正方形BD 中，B＝4，E 为B 边上一点，点F 在B 边上，且BF＝1，将点E 绕 着点F 顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG 的长的最小值为（ ） ．2 B．2 ．3 D． 解：过点G 作G⊥B，垂足为， ∴∠GF＝90°， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝D＝4，∠B＝90°， ∴∠B＝∠GF＝90°， 由旋转得： EF＝FG，∠EFG＝90°， ∴∠EFB+∠GF＝90°， ∵∠BEF+∠BFE＝90°， ∴∠BEF＝∠GF， ∴△EBF≌△FG（S）， ∴BF＝G＝1， ∴点G 在与B 平行且与B 的距离为1 的直线上， ∴当点G 在D 边上时，DG 最小且DG＝4 1 ﹣＝3， ∴DG 的最小值为3，故选：． 8．设为坐标原点，点 、B 为抛物线y＝4x2上的两个动点，且⊥B．连接点 、B，过作⊥B 于点，则点到y 轴距离的最大值为（ ） ． B． ． D．1 解：如图，分别作E、BF 垂直于x 轴于点E、F， 设E＝，F＝b，由抛物线解析式为y＝4x2， 则E＝42，BF＝4b2， 作⊥BF 于，交y 轴于点G，连接B 交y 轴于点D， 设点D（0，m）， ∵DG∥B，∴△DG∽△B， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 化简得：m＝4b． ∵∠B＝90°， ∴∠E+∠BF＝90°， 又∠E+∠E＝90°， ∴∠BF＝∠E， 又∠E＝∠BF＝90°， ∴△E∽△FB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 化简得b＝ ， 则m＝4b＝ ，说明直线B 过定点D，D 点坐标为（0， ）， ∵∠D＝90°，D＝ ， ∴点是在以D 为直径的圆上运动， ∴当点到y 轴距离为 D＝ 时，点到y 轴的距离最大，故选：B． 9．如图，在△B 中，＝3，B＝4，∠＝90°，过B 的中点D 作DE⊥D，交B 于点E，则EB 的 长为 ． 解：过点E 作EM⊥B，垂足为M， ∴∠DME＝∠BME＝90°， ∴∠EDM+∠DEM＝90°， ∵DE⊥D， ∴∠DE＝90°， ∴∠D+∠EDM＝90°， ∴∠D＝∠DEM， ∵点D 是B 的中点， ∴D＝BD＝ B＝2， ∵∠＝∠DME＝90°， ∴△D∽△DME， ∴ ＝ ＝ ， ∴设EM＝2x，则DM＝3x， ∵∠BME＝∠＝90°，∠B＝∠B， ∴△BME∽△B， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴BM＝ x， ∵BD＝2，∴DM+BM＝2， 3 ∴x+ x＝2，∴x＝ ，∴EM＝ ，BM＝ ， ∴BE＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 10．如图，在平面直角坐标系中，点（6，0），点B（0，2），点P 是直线y＝﹣x 1 ﹣上 一点，且∠BP＝45°，则点P 的坐标为 （ 3 ，﹣ 4 ） ． 解：将线段B 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD， ∵B（0，2），（6，0）， ∴D（﹣2，﹣4）， 取D 的中点K（2，﹣2）， 直线BK 与直线y＝﹣x 1 ﹣的交点即为点P． 设直线BK 的解析式为y＝kx+b， 把B 和K 的坐标代入得： ， 解得：k＝﹣2，b＝2， 则直线BK 的解析式是y＝﹣2x+2， 由 ，解得： ， ∴点P 坐标为（3，﹣4），故答为：（3，﹣4）． 11．已知反比例函数y＝ ，经过点E（3，4），现请你在反比例函数y＝ 上找出一点 P，使∠PE＝45°，则此点P 的坐标为 （ 2 ， ） ． 解：方法一、过点E 作E⊥x 轴于点，过点P 作PB⊥x 轴于点B，如图所示． ∵点E（3，4）在函数y＝ 的图象上， ∴k＝3×4＝12， ∴设点P 的坐标为（， ），则点（3，0），点B（，0）， S 四边形BPE＝S△E+S 梯形PBE＝ |k|+ （PB+E）•B＝6+ （ +4）（﹣3）＝2﹣ +6． S△EP＝S 四边形BPE﹣S△BP＝2﹣ +6﹣ |k|＝2﹣ ． 由两点间的距离公式可知： E＝ ＝5，P＝ ， S△EP＝ E•P•s∠EP＝ ＝2﹣ ， 即74 576 ﹣ 2 1008 ﹣ ＝0， 解得：2＝84 或2＝﹣84（舍去）， ∴1＝2 ，2＝﹣2 （舍去）． ∴点P 的坐标为（2 ， ）； 方法二、 如图，过点E 作EF⊥E 交P 于点F，过点E 作E⊥y 轴，垂足为，过点F 作FM⊥E 于点 M， ∴∠E＝∠EMF＝90°，∴∠E+∠E＝90°， ∵∠EF＝90°，∴∠E+∠FEM＝90°，∴∠E＝∠MEF， 若∠PE＝45°，则E＝EF， 在△E 和△MEF 中， ∵ ， ∴△E≌△MEF（S）， ∴EM＝＝4、MF＝E＝3， 则点F 的坐标为（7，1）， ∴直线F 的解析式为y＝ x， 由 ，解得x＝2 或x＝﹣2 （舍）， 当x＝2 时，y＝ ＝ ＝ ＝ ， 即点P（2 ， ），故答为：（2 ， ）． 12．如图，四边形BD 中，∠B＝∠＝90°，点E 是B 边上一点，△DE 是等边三角形，若 ， ＝ ． 解：如图：作∠BM＝∠D＝30°，交B 的延长线于点，交B 的延长线于点， ∵∠B＝∠DB＝90°， ∴∠BM＝∠D＝90°， ∴∠M＝90°﹣∠BM＝60°，∠＝90°﹣∠D＝60°， ∴∠ME+∠EM＝180°﹣∠M＝120°， ∵△ED 是等边三角形， ∴∠ED＝60°，E＝DE， ∴∠EM+∠DE＝180°﹣∠ED＝120°， ∴∠ME＝∠DE， ∵∠M＝∠＝60°， ∴△ME≌△ED（S）， ∴M＝E，ME＝D， ∵ ， ∴设B＝，D＝m， 在Rt△MB 中，BM＝ ＝ ＝ ， M＝ ＝ ＝ ， ∴M＝E＝ ， 在Rt△D 中，＝ ＝ ＝ m， D＝ ＝ ＝ m， ∴ME＝D＝ m， ∴E＝E﹣＝ ﹣ m， BE＝EM﹣BM＝ m﹣ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 故答为： ． 13．如图，在△B 中，B＝，D、、E 三点都在直线m 上，并且有∠BD＝∠E＝∠B＝α，若 DE＝10，BD＝3，求E 的长． 解：∵∠E＝∠B＝α， ∴∠E+∠E＝180°﹣α， ∠BD+∠E＝180°﹣α， ∴∠E＝∠BD， 在△BD 与△E 中， ， ∴△BD≌△E（S）， ∴E＝D，E＝BD＝3， ∵DE＝D+E＝10， ∴D＝DE﹣E＝DE﹣BD＝10 3 ﹣＝7．∴E＝7． 14．如图所示，边长为2 的等边三角形B 中，D 点在边B 上运动（不与B，重合），点E 在边B 的延长线上，点F 在边的延长线上，D＝DE＝DF． （1）若∠ED＝30°，则∠DB＝ 90 °． （2）求证：△BED≌△DF． （3）点D 在B 边上从B 至的运动过程中，△BED 周长变化规律为 D