106 换元法

换元法 【规律总结】 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后，返回 去求原变量的结果换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显 示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题其理论根据是等量代换 我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量 范围的选取，一定要使新变量取值范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。 【典例分析】 例1、已知方程组{ 2a−3b=13 3a+5b=30.9的解是{ a=8.3 b=1.2，则{ 2( x−2)−3( y+1)=13 3( x−2)+5( y+1)=30.9的解是： （ ） { x=8.3 y=1.2 B { x=10.3 y=2.2 { x=6.3 y=2.2 D { x=10.3 y=0.2 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了换元法和二元一次方程组的解，掌握其解得定义是解题的关键． 根据换元法先令x−2=a，y+1=b，再根据二元一次方程组的解，得x−2=8.3和 y+1=1.2，即可求得x 与y 的值． 【解答】 解：令x−2=a，y+1=b， 则方程组{ 2( x−2)−3( y+1)=13 3( x−2)+5( y+1)=30.9 , 可化为：{ 2a−3b=13 3a+5b=30.9， ∵方程组{ 2a−3b=13 3a+5b=30.9的解为{ a=8.3 b=1.2， ∴{ x−2=8.3 y+1=1.2 , ∴{ x=10.3 y=0.2 ． 故选：D． 例2、已知(2016+a)(2018+a)=b，则(2016+a) 2+(2018+a) 2=¿________________ _(用含b 的代数式表示) 【答】4+2b 【解析】 1. 【分析】 本题考查了完全平方公式和整体代入法的思想，灵活使用整体代入法是解本题的关键． 令2016+a=x，2018+a= y，将原式化为( x−y) 2+2 xy，即可求解． 【解答】 解：令2016+a=x，2018+a= y， 则(2016+a)(2018+a)=xy=b， (2016+a) 2+(2018+a) 2 ¿ x 2+ y 2=( x−y) 2+2 xy ¿(−2) 2+2b ¿4+2b； 故答为4+2b． 例3、【阅读材料】 若x 满足(80−x)( x−60)=30，求(80−x) 2+( x−60) 2的值． 解 ： 设 (80−x)=a， ( x−60)=b， 则 (80−x)( x−60)=ab=30， a+b=(80−x)+( x−60)=20， 所以(80−x) 2+( x−60) 2=a 2+b 2=(a+b) 2−2ab=20 2−2×30=340 【解决问题】 (1)若x 满足(2019−x) 2+(2017−x) 2=4042，求(2019−x)(2017−x)的值； (2)已知a1,a2,a3,...a2015均为负数，M=(a1+a2+...+a2014)(a2+a3+...+a2015)， N=(a1+a2+...+a2015)(a2+a3+...+a2014)，比较M 与的大小关系并说明理由； (3)如图，正方形BD 的边长为x，AE=1，CG=2，长方形EFGD 的面积是5，四边 形GD 和MEDQ 都是正方形，PQD 是长方形，则图中阴影部分的面积为多少？直接写 出答.(结果必须是一个具体的数值)． 【答】解：(1)设(2019−x)=c ,(2017−x)=d， 则c−d=(2019−x)−(2017−x)=2，(2019−x)(2017−x)=cd， ∴(2019−x) 2+(2017−x) 2=c 2+d 2=(c−d) 2+2cd=4042， 即2 2+2cd=4042 解得：cd=2019，即(2019−x)(2017−x)=2019； (2)设x=a1+a2+…+a2014，y=a2+a3+…+a2015， 则M=xy， N=( x+a2015)( y−a2015)=xy+a2015( y−x)−a2015 2 ， M−N=a2015( y−x−a2015)=−a1a2015 由于a1,a2,a3,...a2015均为负数 所以−a1a2015为负数，则M−N=−a1a2015<0， M <N； (3)由题意得： ( x−1)( x−2)=5， 设x−1=a，x−2=b， 则ab=5，a−b=1， ∴(a+b) 2=(a−b) 2+4 ab=21． 则阴影部分的面积为21． 【解析】本题考查完全平方公式，换元法等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题， 熟练掌握完全平方公式． (1)模仿例题，利用换元法解决问题即可． (2)设x=a1+a2+…+a2014，y=a2+a3+…+a2015，则M=xy， N=( x+a2015)( y−a2015)=xy+a2015( y−x)−a2015 2 ， M−N=a2015( y−x−a2015)=−a1a2015由于a1,a2,a3,...a2015均为负数，所以−a1a2015为 负数，则M−N=−a1a2015<0，最后得M <N； (3)模仿例题，利用换元法解决问题：由题意得：( x−1)( x−2)=5，设x−1=a， x−2=b，则ab=5，a−b=1，得出(a+b) 2=(a−b) 2+4 ab=21． 【好题演练】 一、选择题 1 设、b 是实数，且1 1+a−1 1+b= 1 b−a，则1+b 1+a的值为( )． 1± ❑ √5 2 B ± 1± ❑ √5 2 ± 3−❑ √5 2 D 3± ❑ √5 2 【答】D 【解析】 【分析】 本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进 行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母 去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．先设 1+a=x，1+b= y，则b−a= y−x，原方程可化为1 x −1 y = 1 y−x ，整理得， y 2−3 xy+x 2=0，方程两边同除以x 2，解关于y x 的一元二次方程即可． 【解答】 解：解：设1+a=x，1+b= y，则b−a= y−x，原方程可化为1 x −1 y = 1 y−x ， 整理得，y 2−3 xy+x 2=0， 两边同除以x 2，得( y x ) 2 −3( y x )+1=0， 解得y x =3± ❑ √5 2 ， 即1+b 1+a等于3± ❑ √5 2 ， 故选D． 2. 已知实数a,b,c满足a+b+c=1，1 a+1 + 1 b+3 + 1 c+5=0，则(a+1) 2+(b+3) 2+(c+5) 2 的值为()． 125 B 120 100 D 81 【答】 【解析】 【分析】 本题考查换元法和整体代入法，巧妙利用换元法是解题的关键.首先令a+1=x，b+3= y， c+5=z，分别求出x+ y+z和xy+ yz+xz，然后所求代数式即为x 2+ y 2+z 2，整体代入可 求出值． 【解答】 解：令a+1=x，b+3= y，c+5=z， ∵a+b+c=1 ∴x+ y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10， 又1 a+1 + 1 b+3 + 1 c+5=0 则1 x + 1 y + 1 z =0， ∴xy+ yz+xz=0， ∴(a+1) 2+(b+3) 2+(c+5) 2=x 2+ y 2+z 2 ¿( x+ y+z) 2−2( xy+ yz+xz) ¿10 2 ¿100． 故选． 3. 已知( x−2015) 2+( x−2017) 2=34，则( x−2016) 2的值是() 4 B 8 12 D 16 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了完全平方公式以及换元法． 将x−2016设为t，则x−2015=t+1，x−2017=t−1，代入原方程中，可得到关于t 的 方程，进而求解。 【解答】 解：令x−2016=t，则x−2015=t+1，x−2017=t−1， ∵(t+1) 2+(t−1) 2=34， ∴t 2+2t+1+t 2−2t+1=34， 2t 2+2=34 2t 2=32 ∴t 2=16即( x−2016) 2=16． 故选D． 4. 已知x 是实数，且满足( x 2+4 x) 2+3( x 2+4 x)−18=0，则x 2+4 x的值为( ) 3 B 3 或−6 −3或6 D −6 【答】 【解析】 【分析】 此题考查了用换元法解一元二次方程，考察了学生的整体思想．解题的关键是找到哪个是 换元的整体．首先利用换元思想，把x 2+4 x看做一个整体换为y，化为含y 一元二次方程， 解这个方程即可． 【解答】 解：设y=¿ x 2 +4 x，则 ( x 2+4 x) 2 +3( x 2 +4 x)−18=0， 可化为 y 2 +3 y−18=0， 分解因式，得( y+6)( y−3)=0， 解得 y1 ¿−6， y2 ¿3． 当 x 2 +4 x=−6时， Δ=¿ b 2 −4 ac=¿ 4 2 −4 × 1 ×6=−8<0，无实数根， 当 x 2 +4 x=3时，Δ=¿ b 2 −4 ac=¿ 4 2 −4 × 1 × (−3)=28>0，符合题意． 故选． 5. 若x−1= y+1 2 = z−2 3 ，则x 2+ y 2+z 2可取得的最小值为() 3 B 59 14 9 2 D 6 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查了换元法的应用及二次函数的最值，解题的关键是利用换元法得到有关x、y、z 的值．用换元法把x、y、z 的值用一个未知数表示出来，利用二次函数的最值即可． 【解答】 解：令x−1= y+1 2 = z−2 3 =t， 则x=t+1，y=2t−1，z=3t+2， 于是x 2+ y 2+z 2=(t+1) 2+(2t−1) 2+(3t+2) 2 ¿t 2+2t+1+4 t 2+1−4t+9t 2+4+12t ¿14 t 2+10t+6， ¿14(t+ 5 14) 2 + 59 14 故最小值为：59 14 ． 故选：B． 6. 已 知 a1,a2,a3…a2019， a2020， a2021为 正 数 , M=(a1+a2+a3+…+a2020)(a2+a3+a4+…+a2021)， N=(a1+a2+a3+…+a2021)(a2+a3+a4+…+a2020)，那么M，的大小关系为() M >N B M <N M=N D 不能确定 【答】 【解析】 【分析】 本题主要考查了整式的混合运算和换元法，熟练掌握运算法则是解题的关键．另外，像本 题中将一个整式设为一个字母这种方法在很多题型中也很常见，也需重点掌握． 设S=a1+a2+…+a2019，用S 分别表示出M，，再利用作差法比较大小即可． 【解答】 解：设S=a1+a2+…+a2019，则 M=S(S−a1+a2020)=S 2−a1S+a2020 S N=(S+a2020)(S−a1)=S 2−a1S+a2020 S−a1a2020 ∴M−N=a1a2020>0(a1,a2,…,a2020都是正数) ∴M >N 故选：． 二、填空题 7. 若关于x 的一元二次方程a x 2+bx+2=0 (a≠0)有一根为x=2019，则一元二次方程 a (x−1) 2+b (x−1)=−2必有一根为______． 【答】x=2020 【解析】 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次 方程的解．对于一元二次方程a( x−1) 2+b( x−1)=−2，设t=x−1得到at 2+bt=−2，利 用at 2+bt+2=0有一个根为t=2019得到x−1=2019，从而可判断一元二次方程 a( x−1) 2+b( x−1)=−2必有一根为x=2020． 【解答】 解：对于一元二次方程a( x−1) 2+b( x−1)=−2， 设t=x−1， ∴at 2+bt=−2， 而关于x 的一元二次方程a x 2+bx+2=0(a≠0)有一根为x=2019， ∴at 2+bt=−2有一个根为t=2019， 则x−1=2019， 解得x=2020， ∴a( x−1) 2+b( x−1)=−2必有一根为x=2020． 故答为x=2020． 8. 解分式方程 x x 2−2 −x 2−2 x +3=0时，设 x x 2−2 = y，则原方程变形为 (化为一般 形式)． 【答】y 2+3 y−1=0 【解析】 【分析】 本题考查了解分式方程，利用换元法是解题关键．根据换元法，可得答． 【解答】 解：∵ x x 2−2 = y， ∴x 2−2 x = 1 y ， ∴原方程化为：y−1 y +3=0， 即：y 2+3 y−1=0(等式两边同时乘3)， 故答为y 2+3 y−1=0． 9. 计算(1+ 1 2 +⋯+ 1 2020 )( 1 2 + 1 3 +⋯+ 1 2021 )−( 1 2 + 1 3 +⋯ 1 2020 )(1+ 1 2 +⋯+ 1 2021 )=¿_ _____． 【答】 1 2021 【解析】 【分析】 本题考查的是换元法，整体思想有关知识，设a=1 2 + 1 3 +...+ 1 2021，b=1 2 + 1 3 +...+ 1 2020， 然后再进行计算即可． 【解答】 解：设a=1 2 + 1 3 +...+ 1 2021，b=1 2 + 1 3 +...+ 1 2020 则原式¿a (1+b)−b (1+a) ¿a+ab−b−ab ¿a−b ¿ 1 2021． 故答为 1 2021． 10. 正方形BD 的顶点，在直线y=kx(k←1)上，顶点B，D 在双曲线y= 4 x 上，若正方形 BD 的面积为32，则k 的值为________． 【答】 −2−❑ √3 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、一元二次方程的解法、反比例函数与几何综合、两 点之间的距离公式；解题时根据正方形BD 的面积为32 求出AC=BD=8，由正方形的性 质得到OB=4，根据顶点B，D 在双曲线y= 4 x 上，可设B 点坐标(b, 4 b )，由两点之间的距 离公式得出方程b 2+( 4 b) 2 =4 2，求出b 的值，进而求出B 点坐标，由正方形的性质可知可 由B 旋转90°得到，易得点坐标，再根据正方形BD 的顶点，在直线y=kx(k←1)上，易 求出k 的值； 【解答】∵顶点B，D 在双曲线y= 4 x ， ∴可设B 点坐标(b, 4 b )(b>0)， ∵正方形BD 的面积为32， ∴1 2 B D 2=32，OA=OB=1 2 BD， 可设由B 逆时针旋转90°得到， 解得BD=8，OB=4， 由两点之间的距离公式得b 2+( 4 b) 2 =4 2， 设t=b 2，则t+ 16 t =16， 即t 2−16t+16=0， 解得t=8+4 ❑ √3或t=8−4 ❑ √3 ∴b=❑ √8+4 ❑ √3=❑ √8+2❑ √12=❑ √6+❑ √2， 或b=❑ √6−❑ √2， ∴B(❑ √6+❑ √2,❑ √6−❑ √2)或B(❑ √6−❑ √2,❑ √6+❑ √2)， ∴A(−❑ √6+❑ √2,❑ √6+❑ √2)，或A(−❑ √6−❑ √2,❑ √6−❑ √2)， ∵点，在直线y=kx(k←1)上 ∴❑ √6+❑ √2=(−❑ √6+❑ √2)k，或❑ √6−❑ √2=(−❑ √6−❑ √2)k， 解得k=−2−❑ √3或k=−2+❑ √3， ∵k←1， ∴k=−2−❑ √3， 故答为−2−❑ √3． 三、解答题 11. 阅读探索：解方程组{ (a−1)+2(b+2)=6, 2(a−1)+(b+2)=6. 解：设a−1=x，b+2= y，原方程组可变为{ x+2 y=6, 2 x+ y=6. 解得{ x=2, y=2,即 { a−1=2, b+2=2. ∴{ a=3, b=0.此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解方程组{ ( a 3 −1)+2( b 5 +2)=4 , 2( a 3 −1)+( b 5 +2)=5. (2)能力运用：已知关于x，y 的方程组{ a1 x+b1 y=c1, a2 x+b2 y=c2 的解为{ x=5, y=3,求关于m，的方 程组{ 5a1(m+3)+3b1(n−2)=c1, 5a2(m+3)+3b2(n−2)=c2 的解． 【答】解：(1)拓展提高 设a 3−1=x，b 5 +2= y， 方程组{ ( a 3 −1)+2( b 5 +2)=4 , 2( a 3 −1)+( b 5 +2)=5. 变形得：{ x+2 y=4 2 x+ y=5， 解得：{ x=2 y=1，即{ a 3−1=2 b 5 +2=1 ， 解得：{ a=9 b=−5； (2)能力运用 因为关于x，y 的方程组{ a1 x+b1 y=c1, a2 x+b2 y=c2 的解为{ x=5, y=3, 设方程组{ 5a1(m+3)+3b1(n−2)=c1, 5a2(m+3)+3b2(n−2)=c2 中{ 5 (m+3)=x 3 (n−2)= y， 则有{ 5 (m+3)=5 3 (n−2)=3， 解得：{ m=−2 n=3 ． 【解析】本题考查了换元法解二元一次方程组，熟练掌握换元法解二元一次方程组的方法 是解本题的关键． (1)拓展提高 根据换元法； 设a 3−1=x，b 5 +2= y，将原方程组变形为关于x 与y 的方程组，求出解得 到x 与y 的值，即可求出与b 的值； (2)能力运用 设{ 5 (m+3)=x 3 (n−2)= y，根据已知方程组的解确定出m 与的值即可. 12. 下面是某同学对多项式( x 2−4 x+2)( x 2−4 x+6)+4进行因式分解的过程． 解：设x 2−4 x= y， 原式¿ ( y+2)( y+6)+4(第一步) ¿ y 2+8 y+16(第二步) ¿( y+4) 2 (第三步) ¿( x 2−4