110 赋值法

赋值法 【规律总结】 在解数学题时，人们运用逻辑推理方法，一步一步地寻求必要条件，最后求得结论， 是一种常用的方法。对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋 值，特别是赋予确定的特殊值（如），往往能使问题获得简捷有效的解决。但是这仅仅只 能得到该赋予的值的情况，所以做题时可以继续根据已得到的情况推断并证明。这就是赋 值法。 【典例分析】 例1、若0<a<1，则❑ √a，a 2，1 a之间的大小关系为 ( ) 1 a >a 2>❑ √a B ❑ √a> 1 a >a 2 a 2>❑ √a> 1 a D 1 a >❑ √a>a 2 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了实数的大小比较，利用特殊值比较式子的大小是本题解题的关键.可根据条件， 运用取特殊值的方法比较大小． 【解答】 解：∵0<a<1， ∴设a= 1 4 ， 则a 2=( 1 4 ) 2= 1 16 ，1 a=4． ❑ √a=❑ √ 1 4 =1 2 ， ∴1 a >❑ √a>a 2． 故选D． 例2、我们规定：相等的实数看作同一个实数．有下列六种说法： ①数轴上有无数多个表示无理数的点； ②带根号的数不一定是无理数； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数； ⑤没有最大的负实数，但有最小的正实数； ⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数． 其中说法错误的有__________(注：填写出所有错误说法的编号) 【答】⑤ 【解析】 【分析】 根据实数的定义，实数与数轴上的点一一对应，可得答． 此题主要考查了实数的有关概念，正确把握相关定义是解题关键． 【解答】 解：①数轴上有无数多个表示无理数的点是正确的； ②带根号的数不一定是无理数是正确的，如❑ √4=2； ③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示是正确的； ④数轴上每一个点都表示唯一一个实数是正确的； ⑤没有最大的负实数，也没有最小的正实数，故⑤说法错误； ⑥没有最大的正整数，但有最小的正整数为1，故⑥说法正确． 故答为：⑤． 1. 例3、若(2 x 2−x−1) 3=a0 x 6+a1 x 5+a2 x 4+a3 x 3+a4 x 2+a5 x+a6，求： (1)a6的值； (2)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值． 【答】解： (1)令x=0，则(−1) 3=a6， ∴a6=−1． (2)令x=1， 则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6 ¿(2−1−1) 3 ¿0． 【解析】略 【好题演练】 一、选择题 1 甲、乙两个油桶中装有体积相等的油.先把甲桶的油倒一半到乙桶(乙桶没有溢出)，再把 乙桶的油倒出1 3给甲桶(甲桶没有溢出)，这时两个油桶中的油的是( ) 甲桶的油多 B 乙桶的油多 甲桶与乙桶一样多 D 无法判断，与原有的油的体积大小有关， 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了有理数运算的应用，赋值法 ，采用设数法，表示出两桶中油的体积，从而可以 比较大小．采用设数法，将甲、乙两个油桶中体积相等时的油的体积设为“1”，分别算出 倒两次之后甲乙两桶中油的体积，即可得解． 【解答】 解：∵甲、乙两个油桶中装有体积相等的油， ∴将此时甲、乙两个油桶中油的体积设为“1”， 则把甲桶的油倒一半到乙桶后，甲桶中油的体积为“1 2”，乙桶中油的体积为：1 2 +1=3 2， 再把乙桶的油倒出1 3给甲桶，乙桶油倒出的体积为：3 2 × 1 3=1 2， 则乙桶油剩余的体积为：3 2−1 2=1，甲桶中油的体积为：1 2 + 1 2=1， ∴甲桶与乙桶一样多． 故选：． 2. 若a<0<b，则() 1−a<1−b B a+1<b−1 a 2<b 2 D a 3<a 2b 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查不等式的性质等知识，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型． 根据不等式的性质即可求出答． 【解答】 解：A ∵a<0<b， ∴−a>−b， ∴1−a>1−b，故错误． B 当a=−1，b=1时， ∴a+1=0，b−1=0， 即a+1=b−1，故B 错误． 当a=−3时，b=1时， ∴a 2=9，b 2=1， 即a 2>b 2，故错误． D∵a<0<b， ∴a 2>0，a−b<0 ∴a 3−a 2b=a 2(a−b)<0，故D 正确． 故选D． 3. 若0<x<1，则x 2、x、❑ √x、3 √x这四个数中( )． 3 √x最大，x 2最小 B x 最大，3 √x最小 x 2最大，❑ √x最小 D x 最大，x 2最小 【答】 【解析】 【分析】 本题主要考查实数的大小比较.利用特殊值比较一些式子的大小是有效的方法．可根据条件， 在范围内运用取特殊值的方法比较大小． 【解答】 解：∵0<x<1， ∴取x=1 8， 则x 2= 1 16 ，❑ √x=❑ √ 1 8 ， 3 √x=1 2， ∵1 3 <❑ √ 1 8 < 1 2 ∴1 2最大，1 16最小， 则最大的是3 √x，最小的是x 2， 故选． 4. 设[x]表示不超过x 的最大整数，若M=❑ √[ x ], N=[❑ √ ❑ √x]，其中x⩾1，则一定有() M >N B M=N M <N D 以上答都不对 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查取整函数的知识，难度较大，对于此类题目不应定非要按部就班的解答，特殊值 法是解答一些竞赛题时常用的方法，同学们要注意掌握．本题可用特殊值法进行解答，分 别令x=1及x=16即可作出判断． 【解答】 解：根据题意可令x=1及x=16， 当x=1时，M=1，N=1，此时M=N； 当x=16时，M=4，N=2，此时M >N； 综上可判断M 和的关系并不是单纯的M=N或M >N，而是根据情况而定的． 故选D． 5. 设是大于1 的有理数，若，a+2 3 , 2a+1 3 在数轴上对应点分别记作，B，，则，B，C 三点在数轴上自左至右的顺序是( ) ，B， B B，， ，B， D ，，B 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查了数轴及有理数的比较大小，理解数轴上右边的数大于左边的数是解题关键.首先 应比较它们的大小，可用取特殊值法，然后根据在数轴上右边的点表示的数总比左边的大． 【解答】 解：∵a是大于1 的有理数，不妨设a=2， 则a+2 3 = 4 3 ，2a+1 3 = 4+1 3 =5 3， 又∵4 3 < 5 3 <2； ∴A，B，三点在数轴上自左至右的顺序是B，，． 故选B． 6. 已知(x−2) 3=a x 3+b x 2+cx+d，则a+b+c+d的值为( ) 1 B −1 0 D 不能确定 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查了代数式求值.利用特殊值法求解.把x=1代入即可求出． 【解答】 解：当x=1时，(1−2) 3=a+b+c+d， ∴a+b+c+d=−1． 故选B． 二、填空题 7. 已知( x−1) 2021=a0+a1 x 1+a2 x 2+a3 x 3+⋯+a2021 x 2021，则a1+a2+⋯+a2021=¿______ __． 【答】1 【解析】 【分析】 本题考查了赋值法的应用，属于基础题． 当x=0时，a0=−1，当x=1时，(1−1) 2021=a0+a1+a2+a3+⋯+a2021=0，进而得出结果． 【解答】 解：当x=0时，a0=−1， 当x=1时，(1−1) 2021=a0+a1+a2+a3+⋯+a2021=0， 则−1+a1+a2+a3+⋯+a2021=0， 则a1+a2+⋯+a2021=1， 故答为1． 8. 对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为( x).即当为非负整数时，若n−1 2 ≤x<n+ 1 2， 则( x)=n.如(0.46)=0，(3.67)=4.给出下列关于( x)的结论： ①(1.493)=1;②(2 x)=2( x);③若( 1 2 x−1)=4，则实数x 的取值范围是 9≤x<11;④当x ≥0，m 为非负整数时，有 (m+2016 x)=m+(2016 x);⑤( x+ y)=( x)+( y).其中正确的是__________(填序号 ). 【答】①③④ 【解析】 【分析】 本题考查新定义问题，一元一次不等式组的应用，特殊取值法，根据题干的信息及不等式 组n−1 2 ≤x<n+ 1 2可知1−1 2 ≤1.493<1+ 1 2成立，故可对①进行判定；采用特殊值法令 x=0.3，然后分别计算出(2 x)和2( x)的值，对②进行判定；由于( 1 2 x−1)=4，则 4−1 2 ≤1 2 x−1<4+ 1 2即{ 4−1 2 ≤1 2 x−1 4+ 1 2 > 1 2 x−1 ，解不等式组得到解集进而对③进行判定；由于m 为非负整数，则不会对四舍五入造成影响，则可以直接将m 提取出来，故可对④进行判定； 使用特殊值法令x=1.3，y=1.4分别计算( x+ y)和( x)+( y)的值，可对⑤进行判定． 【解答】 解：①∵1−1 2 ≤1.493<1+ 1 2 (即0.5≤1.493<1.5) ∴(1.493)=1 故①正确； ②令x=0.3， 则(2 x)=(0.6)=1，2( x)=2(0.3)=0， 此时(2 x)≠2( x)， ∴②错误； ③∵( 1 2 x−1)=4， ∴4−1 2 ≤1 2 x−1<4+ 1 2， 即{ 4−1 2 ≤1 2 x−1(1) 4+ 1 2 > 1 2 x−1(2) , 解(1)可得：x ≥9， 解(2)可得：x<11， ∴方程组的解集为：9≤x<11； 故③正确； ④∵x ≥0，m 为非负整数， ∴(m+2016 x)=m+(2016 x)， 故④正确； ⑤令x=1.3，y=1.4， 则( x+ y)=(2.7)=3， ( x)+( y)=(1.3)+(1.4)=1+1=2， 此时( x+ y)≠( x)+( y)， 故⑤错误； ∴正确的结论有①③④． 故答为①③④． 9. 用举反例的方法说明命题“若¿b，则b¿b❑ 2”是假命题，这个反例可以是¿______，b¿ ______． 【答】−1，0(答不唯一) 【解析】 【分析】 本题考查了运用举反例的方法判断一个命题是假命题．解题关键是理解什么是“反例”： 满足命题的题设但得不出命题的结论的例子． 【解答】 解：a=−1，b=0，则满足a<b， ∴ab=0，b 2=0， 则ab=b 2， 所以反例为a=−1，b=0． 故答为−1，0． 10. 已知( x−1) 2021=a0+a1 x 1+a2 x 2+a3 x 3+⋯+a2021 x 2021，则a1+a2+⋯+a2021=¿______ __． 【答】1 【解析】 【分析】 本题考查了代数式求值，有理数的乘方，解题关键是运用赋值法求值.根据题意运用赋值法， 当x=1时，a0+a1+a2+⋯+a2021=0；当x=0时，a0=−1，据此可得答． 【解答】 解：∵( x−1) 2021=a0+a1 x 1+a2 x 2+a3 x 3+⋯+a2021 x 2021， ∴当x=1时，(1−1) 2021=a0+a1·1 1+a2·1 2+a3·1 3+⋯+a2021·1 2021， ∴a0+a1+a2+⋯+a2021=0， ∵( x−1) 2021=a0+a1 x 1+a2 x 2+a3 x 3+⋯+a2021 x 2021， ∴当x=0时，a0=(−1) 2021=−1， ∴a1+a2+⋯+a2021=1. 故答为1． 11. 当为正整数时，(−1) 2n+1+(−1) 2n的值是________ 【答】0 【解析】 【分析】 本题主要考查求代数式的值，解答本题的关键是知道求代数式的值的方法． 【解答】 解：当为正整数时，(−1) 2n+1+(−1) 2n=−1+1=0． 故答为0． 12. 如图，四个二次函数的图像对应的函数表达式分别 为 ①y=a x 2;②y=b x 2;③y=c x 2;④y=d x 2. 则、b、、d 的大小关系为 (用“¿”连接)． 【答】a>b>d>c 【解析】 【分析】 本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征.采用了取特殊点的方法，比较字 母系数的大小．令x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，利用数形结合思想，比 较各对应点纵坐标的大小． 【解答】 解：令x=1，则四条抛物线的点从上到下坐标依次为(1,a)，(1,b)，(1,d)，(1,c)， 由图象可得：a>b>d>c． 故答为a>b>d>c． 三、解答题 13. 已知关于x、y 的二元一次方程组：{ 2 x+9 y=a ax−y=a+1，求出所有整数，使得方程组有整 数解(即x、y 都是整数)，并求出所有的整数解． 【答】解：{ 2 x+9 y=a① ax−y=a+1②， ②×9+①得2 x+9ax=a+9a+9， 解得x=10a+9 9a+2 ， ①×a−②×2得9ay+2 y=a 2−2a−2， 解得y=a 2−2a−2 9a+2 ， 原方程组得{ x=10a+9 9a+2 y=a 2−2a−2 9a+2 , 假设x=1时，可求得a=−7，y=−1； 同样设x 为其他整数，、y 的值都不能为整数， ∴原方程组的整数解为{ x=1 y=−1． 【解析】本题考查的是二元一次方程的解法．先用表示的x、y 的值，是解题的关键．先解 方程组，求出用表示的x、y 的值，再尝试求得整数，使x、y 都是整数． 14. 已知，b，，d 都不等于零，并且a b= c d .根据分式的基本性质、等式的基本性质及运算 法则，探究下列各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明． (1) a c 和b d ； (2) a+b b 和c+d d ； (3) a+b a−b和c+d c−d (a≠b,c≠d)． 【答】解：取a=1，b=2，c=3，d=6，有1 2=3 6 ， 则(1) 1 3=2 6 ; (2) 1+2 2 =3+6 6 =3 2 ; (3) 1+2 1−2= 3+6 3−6=−3． 观察发现各组中的两个分式相等． 故推想，当，b，，d 都不等于0，且a b= c d 时，a c = b d ，a+b b =c+d d ，a+b a−b= c+d c−d ． 【解析】 【分析】此题考查了分式的基本性质、等式的基本性质及运算法则． (1)利用特殊取值法求解； (2)根据等式性质求解； (3)利用特殊取值法和分式的基本性质求解． 15. 回答下列问题： (1)比较2x 与x 2+1的大小，用等号或不等号 填空： 当x=2时，2x__________x 2+1； 当x=1时，2x________x 2+1； 当x=−1时，2x____________x 2+1． (2)任选取几个x 的值，计算并比较2x 与x 2+1的大小． (3)无论x 取什么值，2x 与x 2+1总有这样的大小关系吗?试说明理由． 【答】解：(1)<;=;<¿； (2)当x=3时，2 x<x 2+1，当x=−2时，2 x<x 2+1； (3)无论x 取何值，2x 与x 2+1总有这样的大小关系． 理由如下： ∵x ²+1−2 x=( x−1) 2≥0， ∴2 x ≤x ²+1． 【解析】 【分析】 本题考查不等式的性质和完全平方公式的应用． (1)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答； (2)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答； (3)根据完全平方公式，可得答． 【解答】 解：(1)当x=2时，2 x<x 2+1； 当x=1时，2 x=x 2+1； 当x=−1时，2 x<x 2+1；． 故答为¿;=;<¿． (2)见答． 16. 已知a+ 1 a=5，求 a 2 a 4+a 2+1 的值． 【 答 】 解 ： ∵a+ 1 a=5， ∴(a+ 1 a) 2 =25， ∴a 2+ 1 a 2=23， ∴ a 2 a 4+a 2+1 = 1 a 2+ 1 a 2 +1 = 1 24 【解析】若先求出的值再代入求值，显然现在解不出．如果将 a 2 a 4+a 2+1 的分子、分母同时 除以a 2，再进一步求原式的值就简单很多． 17. 已知x 3 = y 4 = z 7 ≠0，求3 x+ y+z y 的值． 【答】解：设x 3 = y 4 = z 7 =k (k ≠0)， 则x=3k，y=4 k，z=7 k， 则 3 x+ y+z y =9k+4 k+7 k 4 k =5． 【解析】略 18. 用等号或不等号填空： (1)比较2x 与x 2+1的大小： 当x=2时，2 x______x 2+1； 当x=1时，2x______x 2+1； 当x=−1时，2x______x 2+1； (2)任选取几个x 的值，计算并比较2x 与x 2+1的大小； (3)无论x 取什么值，2x 与x 2+1总有这样的大小关系吗？试说明理由． 【答】解：(1)<;=;<¿； (2)当x=3时，2 x<x 2+1，当x=−2时，2 x<x 2+1； (3)无论x 取何值，2x 与x 2+1总有这样的大小关系． 理由如下：∵x ²+1−2 x=( x−1) 2≥0， ∴2 x ≤x ²+1． 【解析】 【分析】 本题考查不等式的性质和完全平方公式的应用． (1)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答； (2)根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答； (3)根据完全平方公式，可得答． 【解答】 解：(1)当x=2时，2 x<x 2+1； 当x=1时，2 x=x 2+1； 当x=−1时，2 x<x 2+1；． 故答为¿;=;<¿． (2)见答．