111 逆向思维法

逆向思维法 【规律总结】 逆向思维法是指从事物的反面去思考问题的思维方法。这种方法常常使问题获得创造 性的解决。 【典例分析】 例1、阅读下面的解题过程： 已知 x x 2+1 =1 2，求x 2 x 4+1 的值． 解：由 x x 2+1 =1 2知x≠0，所以x 2+1 x =2，即x+ 1 x =2． 于是有x 4+1 x 2 =x 2+ 1 x 2=( x+ 1 x ) 2−2=2 2−2=2，故x 2 x 4+1 的值为1 2． 解答下面的题目： 已知 x x 2−x+1 =1 7 ，则 x 2 x 4+x 2+1 的值为()． 1 7 B 1 9 1 49 D 1 63 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查分式的运算，求分式的值.解题的关键正确理解题目给出的解答思路．根据题意给 出的解题思路解答即可求出答． 【解答】 解：∵ x x 2−x+1 =1 7 ，且x≠0， ∴x 2−x+1 x =7， ∴x+ 1 x −1=7， ∴x+ 1 x =8， ∴x 4+x 2+1 x 2 ¿ x 2+ 1 x 2 +1 ¿( x+ 1 x ) 2−1 ¿8 2−1 ¿63， ∴ x 2 x 4+x 2+1 = 1 63． 故选D． 例2、已知4 x=10，25 y=10，则( x−2)( y−2)+3( xy−3)的值为________． 【答】−5 【解析】 【分析】 本题考查了幂的乘方和积的乘方的逆运算，代数式求值，运用了整体代入法的有关知识， 根据4 x=10，25 y=10，得到2 xy=x+ y，然后将给出的代数式进行变形，最后代入求值 即可． 【解答】 解：∵4 x=10，25 y=10， ∴4 xy=10 y，25 xy=10 x， 4 xy×25 xy=10 y×10 x， (4×25) xy=10 x+ y， ∴10 2 xy=10 x+ y， ∴2 xy=x+ y， ( x−2)( y−2)+3( xy−3) ¿ xy−2 x−2 y+4+3 xy−9 ¿4 xy−2( x+ y)−5 ¿4 xy−2×2 xy−5 ¿−5． 故答为−5． 例3、已知2 x=3，2 y=5.求： (1)2 x+ y的值； (2)2 3 x的值； (3)2 2 x — y — 1的值． 【答】解：(1)2 x+ y=2 x·2 y ¿3×5 ¿15； (2)原式¿(2 x) 3 ¿3 3 ¿27； (3)原式¿(2 x) 2÷2 y÷2 ¿3 2÷5÷2 ¿ 9 10． 【解析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方以及同底数幂的除法公式的灵活运用． (1)把原式变为2 x+ y=2 x·2 y，再把已知条件整体代入计算； (2)把原式变为(2 x) 3，再把已知条件整体代入计算； (3)把原式变为(2 x) 2÷2 y÷2，再把已知条件整体代入计算． 【好题演练】 一、选择题 1. 当x=1+❑ √1994 2 时，多项式(4 x 3−1997 x−1994) 2019的值为( )． 1 B −1 2 2002 D −2 2001 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查了因式分解的应用及代数式的值，能将多项式化正确转化形式是解题关键．先把 原式转化，再把x 的值代入计算即可． 【解答】 解：原式¿ [4 x (x+1) (x−1)−1993 (x+1)−1] 2019 ¿ {(x+1) [4 x (x−1)−1993]−1} 2019 ¿{(x+1)[4× 1+❑ √1994 2 × ❑ √1994−1 2 −1993]−1} 2019 ¿ [(x+1) (1994−1994 )−1] 2019 ¿ (−1) 2019 ¿−1 故选：B． 2. 某班有学生50 人，参加数学兴趣小组的有35 人，参加语文兴趣小组的有30 人，每人 至少参加一个组，则两个组都参加的有() 10 人 B 15 人 20 人 D 30 人 【答】B 【解析】 【分析】 此题考查了数学技能与方法之逆向思维法 ． 由于每人至少参加一个组，参加数学兴趣小组的人数与参加语文兴趣小组的人数和，把两 个组都参加的人数算了两次，因此用它们的和去掉班内的学生人数即可解决问题． 【解答】 解：参加数学兴趣小组的有35 人，里面包含参加语文兴趣小组的人数， 参加语文兴趣小组的有30 人，里面包含参加数学兴趣小组的人数， 因此35+30=65人，就把两个组都参加的人数算了两次， 由此可知两个组都参加的人数为65−50=15人． 故选B． 3. 对一个正整数x 进行如下变换：若x 是奇数，则结果是3 x+1；若x 是偶数，则结果是 1 2 x .我们称这样的操作为第1 次变换，再对所得结果进行同样的操作称为第2 次变换， ……以此类推．如对6 第1 次变换的结果是3，第2 次变换的结果是10，第3 次变换 的结果是5……若正整数第5 次变换的结果是1，则可能的值有( ) 1 种 B 3 种 32 种 D 64 种 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查新定义问题，逆向思维法，一元一次方程的应用，分类讨论的数学思想，关键是 根据逆向思维法得：正整数第5 次变换的结果是1， 得第4 次变换的结果是2，又因为对一个正整数，3a+1≠2，得第3 次变换的结果是4，再 分当是奇数和偶数两种情况，分别求得第三次变换的代数式，再根据第三次变换的结果为 4 的方程，解方程求得的整数解符合题意，否则舍去，即可解答． 【解答】 解：根据题意得：正整数第5 次变换的结果是1， ∴第4 次变换的结果是2， 又因为对一个正整数，3a+1≠2， ∴第3 次变换的结果是4， 当是奇数时：第1 次变换的结果是3a+1，3a+1是偶数； 第2 次变换的结果是3a+1 2 ， 第3 次变换的结果是3× 3a+1 2 +1或3a+1 4 ， ∴3× 3a+1 2 +1=4，或3a+1 4 =4， 解得：a=1 3 (不合题意，舍去)或a=5； 当是偶数时，第1 次变换的结果是a 2， 第2 次变换的结果是3 2 a+1或a 4 ， 第3 次变换的结果是3×( 3 2 a+1)+1或1 2 ( 3 2 a+1)或3× a 4 +1或a 8， ∴3× 3a+2 2 +1=4或1 2 ( 3 2 a+1)=4或3× a 4 +1=4或a 8=4， 解得：a=0(不合题意，舍去)或a=14 3 (不合题意，舍去)或a=4或a=32． 综上所述，正整数a=4或5 或32 时，第5 次变换的结果是1． 故选B． 4. 某地区水塘盛产一种水葫芦，生长速度很快，其所占的水域面积每天均会达到前一天 的2 倍，已知某池塘中第一天有1 平方米水葫芦，到第10 天，整个池塘恰好长满水葫 芦，则当第()天水葫芦所占的面积是池塘面积的一半． 2 B 5 8 D 9 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查的是逆向思维有关知识，第10 天后整个池塘长满了水葫芦，增加一倍的意思是指 后一天是前一天的2 倍，即前一天是后一天的一半，因此，第9 天时水葫芦所占面积是池 塘的1 2． 【解答】 解：第10 天是全部，我们看成单位“1”； 第9 天：1÷2=1 2； 答：第9 天时水葫芦所占面积是池塘的1 2． 故选D． 5. 按下面的程序计算：当输入x=100时，输出结果是299；当输入x=50时，输出结果 是446；如果输入x 的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的x 的值最多有() 1 个 B 2 个 3 个 D 4 个 【答】 【解析】 【试题解析】 【分析】 此题考查的是一元一次方程的应用，利用逆向思维来做，分析第一个数就是直接输出 257，可得方程3 x−1=257，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数， 以此类推即可求得所有答． 【解答】 解：第一个数就是直接输出其结果的：3 x−1=257， 解得：x=86， 第二个数是(3 x−1)×3−1=257， 解得：x=29； 第三个数是：3[3(3 x−1)−1]−1=257， 解得：x=10， 第四个数是3{3[3(3 x−1)−1]−1}−1=257， 解得：x=11 3 (不合题意舍去)； 故满足条件所有x 的值是86、29 或10，共3 个． 故选． 6. 某城市一年漏掉的水相当于建一个自来水厂的费用，据不完全统计，全市至少有 6×10 5个水龙头，2×10 5个抽水马桶漏水．如果一个关不紧的水龙头一个月漏掉 a(m 3)水，一个漏水的抽水马桶一个月漏掉b(m 3)水，那么该市一个月因此造成的水 流失量至少是( )． (6a+2b)m 3 B (6a+2b×10 5)m 3 [(6a+2b)×10 5]m 3 D [6(a+2b)×10 5]m 3 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了单项式的乘法，用单项式分别表示水龙头和马桶一个月漏水的量，再求它们的 和．根据题意，把所有水龙头漏掉的水和所有马桶漏掉的水相加即可． 【解答】 解：所有水龙头漏掉的为(6×10 5)am 3，所有抽水马桶漏掉的为(2×10 5)bm 3． 一个月造成的水流失量至少是 (6×10 5)a+(2×10 5)b， ¿(6a+2b)×10 5m 3． 故选． 二、填空题 7. 任何实数，可用[a]表示不超过的最大整数，如[4]=4，[❑ √3]=1，现对为72 进行如 下操作； 这样对72 只需进行3 次 操作后变为1；类似地，只需进行3 次操作后变为2 的所有正整数中，最大的是______ __． 【答】6560 【解析】 【分析】 本题主要考查了新定义，无理数的估算，采用逆向思维是解答的关键．运用逆向思维进行 解答，按新定义，先求出第三次操作前的最大整数，再求第二次操作前的最大整数，最后 求出第一次操作前的最大整数便可． 【解答】 解：∵[❑ √8]=2，[❑ √9]=3， ∴第三次操作前的最大整数值为8， ∵[❑ √80]=8，[❑ √81]=9， ∴第二次操作前的最大整数值为80， ∵[❑ √6560]=80，[❑ √6561]=81， ∴第一次操作前的最大整数值为6560， 故答为6560． 8. 按下面程序计算，若开始输入x 的值( x>1)，最后输出的结果为656，则满足条件所有 x 的值是____________________． 【答】131 或26 或5 【解析】 【分析】 此题考查了解方程的应用.注意理解题意是解题的关键.分析第一个数就是直接输出656，可 得方程5 x+1=656，解方程即可求得第一个数，再求得输出为这个数的第二个数，以此类 推即可求得所有答. 【解答】 解：我们用逆向思维来做： 第一个数就是直接输出其结果的：5 x+1=656， 解得：x=131； 第二个数是(5 x+1)×5+1=656， 解得：x=26； 同理：可求出第三个数是5； 第四个数是4 5 ， ∵输入x 的值( x>1)， ∴4 5 不合题意舍去， ∴满足条件所有x 的值是131 或26 或5． 故答为131 或26 或5. 9. 如图，已知△B 中，D 为边上一点，P 为边B 上一点，B¿12， ¿8，D¿6，当P 的长度为___________时，△DP 和△B 相似． 【答】4 或9 【解析】 【分析】 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论是解题的关键． 分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出P 的长即可． 【解答】 解：当△ADP∽△ACB时， ∴AP AB = AD AC ， ∴AP 12 =6 8， 解得：AP=9， 当△ADP∽△ABC时， ∴AD AB = AP AC ， ∴6 12= AP 8 ， 解得：AP=4， ∴当P 的长度为4 或9 时，△ADP和△ABC相似． 故答为4 或9． 10. 设an为n 4(n为正整数)的末位数，如a1=1，a2=6，a3=1，a4=6.则 a1+a2+a3+⋯+a24+a25=¿ 。 【答】85 【解析】 【分析】 本题考查了尾数特征，本题关键是得出正整数n 4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1， 6，1，0，十个一循环． 正整数n 4的末位数依次是1，6，1，6，5，6，1，6，1，0，十个一循环，得出其中规律， 即可求解． 【解答】 解：a1∼a10依次为1，6，1，6，5，6，1，6，1，0， a11∼a20与a1∼a10分别相等，a21∽a25与a1∼a5分别相等， 因此a1+a2+a3+⋯+a24+a25=(4×6+1×4+5+0)×2+(6×2+1×2+5)=85． 故答为85． 11. 计算：(−0.25) 2020×4 2021=¿____________． 【答】4 【解析】 【分析】 本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的逆用，解答此题的关键是逆用积的乘方的运算法则 解答此题可将4 2021变为4 2020×4，然后再用积的乘方的逆用可得¿，然后即开始即可． 【解答】 解：原式¿(−0.25) 2020×4 2020×4， ¿¿， ¿1×4， ¿4． 故答为4． 12. 若1 x + 2 y + 3 z =5, 3 x + 2 y + 1 z =7，则1 x + 1 y + 1 z =¿¿ 【答】3 【解析】 【分析】 本题考查了整体思想的应用，将两个方程相加，把1 x + 1 y + 1 z 看成整体，求出这个整体的值 即为答． 【解答】 解：两个式子相加得到， ( 1 x + 3 x )+( 2 y + 2 y )+( 3 z + 1 z )=12 即，4( 1 x + 1 y + 1 z )=12 ∴1 x + 1 y + 1 z =3． 故答为3． 三、解答题 13. (1)已知点A(4−a,−2a−3)和点B(−2,5)且B 平行于x 轴，试求点的坐标； (2)把点P(m+1,n−2m)先向右平移4 个单位，再向下平移6 个单位后得到的点P’的 坐标为(3,−2)，试求m，的值; 【答】解：(1)∵AB平行于x 轴，且点A(4−a,−2a−3)，点B(−2,5)， ∴−2a−3=5， 解得：a=−4． ∴点的坐标为(8,5)； (2)∵点P(m+1,n−2m)先向右平移4 个单位，再向下平移6 个单位后得到的点P'的坐 标为(3,−2)，∴点P 的坐标为(−1,4)， ∴{ m+1=−1 n−2m=4， 解得：{ m=−2 n=0 ． 故m、的值分别为−2，0． 【解析】本题主要考查坐标和图形的性质及平移的性质，解题的关键是明确与x 轴平行的 直线上的所有点的纵坐标都相等． (1)根据B 平行于x 轴，点B(−2,5)和点A(4−a,−2a−3)，可知点、B 的纵坐标相等， 从而即可求得的值，进而得到点的坐标； (2)利用平移中点的变化规律求解即可平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减； 纵坐标上移加，下移减，本题可采用逆向思维进行求解． 14. 已知1 x + 1 y =5，求2 x−3 xy+2 y x+2 xy+ y 的值． 【答】解：由题意得，1 x + 1 y =5可转化为x+ y=5 xy ; ∴2 x−3 xy+2 y x+2 xy+ y ¿ 2( x+ y)−3 xy ( x+ y)+2 xy ¿ 10 xy−3 xy 5 xy+2 xy ¿1 【解析】 【分析】 这类题考察学生关于分式化简的技巧的掌握，多练习，多看，积累经验.可以通过变化已知 条件，已达到消元目的． 【解答】 解：由题意得，1 x + 1 y =5可转化为x+ y=5 xy ; ∴2 x−3 xy+2 y x+2 xy+ y ¿ 2( x+ y)−3 xy ( x+ y)+2 xy ¿ 10 xy−3 xy 5 xy+2 xy ¿1 15. (1)若3 n=2,3 m=5，求3 2m−3n+1值. (2)已知为正整数，且x 2n=4，求( x 3n) 2−2( x 2) 2n值． 【答】解：(1) ∵3 n=2,3 m=5， ∴3 2m−3n+1=(3 m) 2÷(3 n) 3×3 ¿ 25×3 8 ¿ 75 8 (2)∵x 2n=4， ∴( x 3n) 2−2( x 2) 2n ¿ x 6n−2 x 4 n ¿( x 2n) 3−2( x 2n) 2 ¿64−2×16 ¿64−32 ¿32 【解析】本题考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法，和幂的乘方的法则，以及整体代 入法的应用， (1)本题考查了同底数幂的乘法和同底数幂的除法和幂的乘，利用同底数幂的乘法和同底 数幂的除法和幂的乘的计算法则解决此题； (2)本题考查了幂的乘方的法则，以及整体代入法的应用，利用幂的乘方的法则先化简， 再整体代入求值即可； 16. 由幂的运算逆向思维可以得到a m+n=a m⋅a n，a mn=(a m) n，a mb m=(ab) m，在解题过程 中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问 题巧妙获解，收到事半功倍的效果.请解决以下问题： (1)计算：5 2020×( 1 5 ) 2018; (2)若3×9 m×27 m=3 11，求m 的值; (3)比较大小：a=2 55，b=3 44，c=5 33，d=6 22，请确定，b，，d 的大小关系.(提示： 如果a>b>0，为正整数，那么a n>b n) 【答】解：(1)5 2020×( 1 5 ) 2018=(5× 1 5 ) 2018×5 2=1×25=25； (2)3×9 m×27 m=3×(3 2) m×(3 3) m=3×3 2m×3 3m=3 1+5m=3 11， ∴1+5m=11， 解得：m=2； (3)a=2 55=(2 5) 11=32 11， b=3 44=(3 4) 11=81 11， c=5 33=(5 3) 11=125 11， d=6 22=(6 2) 11=36 11， ∵32<36<81<12