2020年高考数学试卷（天津）（空白卷）

1/5 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟． 第Ⅰ卷1 至3 页，第Ⅱ卷4 至6 页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置 粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第I 卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9 小题，每小题5 分，共45 分． 参考公式： 如果事件 与事件 互斥，那么 ． 如果事件 与事件 相互独立，那么 ． 球的表面积公式 ，其中 表示球的半径． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2.设 ，则“ ”是“ ”的（ ） 1/5 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.函数 的图象大致为（ ） A B. C. . 2/5 D. 4.从一批零件中抽取80 个，测量其直径（单位： ），将所得数据分为9 组： ，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零 件中，直径落在区间 内的个数为（ ） A. 10 B. 18 C. 20 D. 36 5.若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6.设 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7.设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线为．若 的一 条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线 的方程为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数 ．给出下列结论： ① 的最小正周期为 ； 2/5 ② 是 的最大值；③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象． 3/5 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9.已知函数 若函数 恰有4 个零点，则 的取值范围 是（ ） A. B. C. D. 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11 小题，共105 分． 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．试题中包含两个空的，答对1 个的给 3 分，全部答对的给5 分． 10. 是虚数单位，复数 _________． 11.在 的展开式中， 的系数是_________． 12.已知直线 和圆 相交于 两点．若 ，则 的值为_______ __． 13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落 入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________． 3/5 14.已知 ，且 ，则 的最小值为_________． 15.如图，在四边形 中， ， ，且 ，则实 数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________． 4/5 三、解答题：本大题共5 小题，共75 分．解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤． 16.在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ． （Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）求 的值； （Ⅲ）求 的值． 17.如图，在三棱柱 中， 平面 ， ，点 分别在棱 和棱 上，且 为棱 的中点． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的正弦值； （Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值． 18.已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且 ，其中 为原 点． （Ⅰ）求椭圆 方程； 的 4/5 （Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相 切于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程． 19.已知 为等差数列， 为等比数列， ． 5/5 （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ； （Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和． 20.已知函数 ， 为 的导函数． （Ⅰ）当 时， （i）求曲线 在点 处的切线方程； （ii）求函数 的单调区间和极值； （Ⅱ）当 时，求证：对任意的 ，且 ，有 ．