高中物理新教材同步必修第二册 第8章 4　机械能守恒定律

4 机械能守恒定律 [学习目标] 1.了解人们追寻守恒量和建立“能量”概念的漫长过程.2.知道什么是机械能，知道物体的动 能和势能可以相互转化.3.能够推导出机械能守恒定律.4.会判断一个过程机械能是否守恒，能 运用机械能守恒定律解决有关问题. 一、追寻守恒量 伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图1 所示. 图1 将小球由斜面A 上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B 上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低 一点.这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的. 二、动能与势能的相互转化 1.重力势能与动能的转化 只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势 能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化 为重力势能. 2.弹性势能与动能的转化 只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹 簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动 能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能. 3.机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能. 三、机械能守恒定律 1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保 持不变. 2.表达式：mv2 2＋mgh2＝mv1 2＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1. 3.应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程 的细节，即可以简化计算. 1.判断下列说法的正误. (1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化.( √ ) (2)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用.( × ) (3)合力为零，物体的机械能一定守恒.( × ) (4)合力做功为零，物体的机械能一定保持不变.( × ) (5)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒.( √ ) 2.如图2 所示，桌面高为h，质量为m 的小球从离桌面高为H 处自由落下，不计空气阻力， 设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为________. 图2 答案 mgH 一、机械能守恒定律 导学探究 如图3 所示，质量为m 的物体沿光滑曲面滑下的过程中，下落到高度为h1的A 处时速度为 v1，下落到高度为h2的B 处时速度为v2，重力加速度为g，不计空气阻力，选择地面为参考 平面. 图3 (1)求从A 至B 的过程中重力做的功； (2)求物体在A、B 处的机械能EA、EB； (3)比较物体在A、B 处的机械能的大小. 答案 (1)W＝mgΔh＝mg(h1－h2)＝mgh1－mgh2① (2)EA＝mgh1＋mv1 2② EB＝mgh2＋mv2 2③ (3)由动能定理：W＝mv2 2－mv1 2④ 由①④得：mv2 2＋mgh2＝mv1 2＋mgh1 即EB＝EA. 知识深化 1.对机械能守恒条件的理解 (1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化. (2)只有弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化. (3)只有重力和弹力做功，发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化. (4)除受重力或弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和为零.如物体在沿斜面的拉力 F 的作用下沿斜面运动，若已知拉力与摩擦力的大小相等，方向相反，在此运动过程中，其 机械能守恒. 2.判断机械能是否守恒的方法 (1)利用机械能的定义直接判断：若动能和势能中，一种能变化，另一种能不变，则其机械 能一定变化. (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械 能守恒. (3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的 能的转化，则物体系统机械能守恒. (多选)如图4 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( ) 图4 A.甲图中，物体将弹簧压缩的过程中，物体和弹簧组成的系统机械能守恒(不计空气阻力) B.乙图中，物体在大小等于摩擦力的沿斜面向下的拉力F 作用下沿斜面下滑时，物体机械能 守恒 C.丙图中，物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体机械能守恒 D.丁图中，斜面光滑，物体在斜面上下滑的过程中，物体机械能守恒 答案 ABD 解析 弄清楚机械能守恒的条件是分析此问题的关键.表解如下： 选项 结论 分析 A √ 只有重力和弹力对系统做功，系统机械能守恒 B √ 物体沿斜面下滑过程中，除重力做功外，其他力做功的代数和始终 为零，所以物体机械能守恒 C × 物体沿斜面匀速下滑的过程中动能不变，重力势能减小，所以物体 机械能不守恒 D √ 物体沿斜面下滑过程中，只有重力对其做功，所以物体机械能守恒 针对训练1 (2018·厦门市高一下学期期末)以下物体运动过程 ，满足机械能守恒的是( ) A.在草地上滚动的足球 B.从旋转滑梯上滑下的小朋友 C.竖直真空管内自由下落的硬币 D.匀速下落的跳伞运动员 答案 C 解析 在草地上滚动的足球要克服阻力做功，机械能不守恒，故A 错误；小朋友从旋转滑 梯上滑下时，受阻力作用，阻力做负功，机械能减小，故B 错误；真空管内自由下落的硬 币只有重力做功，重力势能转化为动能，机械能守恒，故C 正确；匀速下落的跳伞运动员 受重力和空气阻力而平衡，阻力做负功，故机械能减少，D 错误. (多选)(2018·鹤壁市高一下学期期末)如图5，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上. 其上方A 位置有一小球，小球从静止开始下落到B 位置接触弹簧的上端，在C 位置小球所 受弹力大小等于重力，在D 位置小球速度减小到零.不计空气阻力，则小球( ) 图5 A.下落至C 处速度最大 B.由A 至D 下落过程中机械能守恒 C.由B 至D 的过程中，动能先增大后减小 D.由A 至D 的过程中重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量 答案 ACD 解析 小球从B 至C 过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速运动，小球从C 至D 过程， 重力小于弹力，合力向上，小球减速运动，所以动能先增大后减小，在C 点动能最大，故 A、C 正确；由A 至B 下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B→D 过程，小球和弹 簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B 错误；在D 位置小球速度减小到 零，小球的动能为零，则从A→D 的过程中，根据机械能守恒知，小球重力势能的减少量等 于弹簧弹性势能的增加量，故D 正确. 二、机械能守恒定律的应用 1.机械能守恒定律常用的三种表达式 (1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2) 此式表示系统两个状态的机械能总量相等. (2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp 此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量. (3)从能的转移角度看：ΔEA 增＝ΔEB 减 此式表示系统A 部分机械能的增加量等于系统剩余部分，即B 部分机械能的减少量. 2.机械能守恒定律的应用步骤 首先对研究对象进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，分析是否符合机械能守恒的条 件.若机械能守恒，则根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程进行求解. (2018·山师大附中高一下学期期末)如图6 是一个设计“过山车”的试验装置的原理 示意图，斜面AB 与竖直面内的圆形轨道在B 点平滑连接，斜面AB 和圆形轨道都是光滑的， 圆形轨道半径为R，一个质量为m 的小车(可视为质点)在A 点由静止释放沿斜面滑下，小车 恰能通过圆形轨道的最高点C.已知重力加速度为g.求： 图6 (1)A 点距水平面的高度h； (2)运动到B 点时小车对轨道压力的大小. 答案 (1)2.5R (2)6mg 解析 (1)小车恰能通过最高点C，则有：mg＝ 解得：vC＝ 由A 运动到C，根据机械能守恒定律得： mgh＝mg·2R＋mvC 2 解得：h＝2.5R (2)由A 运动到B，根据机械能守恒定律得： mgh＝mvB 2 解得：vB＝ 小车在B 点，由牛顿第二定律得：FN－mg＝ 解得：FN＝6mg 由牛顿第三定律可知，运动到B 点时小车对轨道的压力大小为6mg. 针对训练2 如图7 所示，质量m＝50 kg 的跳水运动员从距水面高h＝10 m 的跳台上以v0＝ 5 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中，若忽略运动员的身高，取g＝10 m/s2，不计空气 阻力.求： 图7 (1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为零势能参考平面)； (2)运动员起跳时的动能； (3)运动员入水时的速度大小；入水时的速度大小与起跳时的方向有关吗？ 答案 (1)5 000 J (2)625 J (3)15 m/s 无关 解析 (1)以水面为零势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为 Ep＝mgh＝5 000 J. (2)运动员起跳时的速度为v0＝5 m/s， 则运动员起跳时的动能为 Ek＝mv0 2＝625 J. (3)运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，则 mgh＋mv0 2＝mv2， 解得v＝15 m/s. 此速度大小与起跳时的方向无关. 1.(机械能是否守恒的判断)(2018·郑州市高一下学期期末)下列说法正确的是( ) A.拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升时，物体的机械能守恒 B.物体做竖直上抛运动时，机械能守恒 C.物体从置于光滑水平面的光滑斜面体上自由下滑时，机械能守恒 D.合外力对物体做功为零时，物体机械能一定守恒 答案 B 解析 拉着一个物体沿着光滑的斜面匀速上升时，动能不变，重力势能变大，物体的机械能 增大，选项A 错误；物体做竖直上抛运动时，只有重力做功，机械能守恒，选项B 正确； 物体从置于光滑水平面的光滑斜面体上自由下滑时，物体和斜面体组成的系统机械能守恒， 但是物体的机械能不守恒，选项C 错误；例如匀速上升的物体，合外力对物体做功为零， 但物体机械能不守恒，选项D 错误. 2.(机械能守恒定律的应用)以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上 抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图8 所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3， 不计空气阻力，则( ) 图8 A.h1＝h2＞h3 B.h1＝h2＜h3 C.h1＝h3＜h2 D.h1＝h3＞h2 答案 D 解析 竖直上抛的物体和沿斜面运动的物体，上升到最高点时，速度均为0，由机械能守恒 定律得mgh＝mv0 2，所以h＝；斜上抛的物体在最高点速度不为零，设为v1，则mgh2＝mv0 2 －mv1 2，所以h2＜h1＝h3，D 正确. 3.(机械能守恒定律的应用)如图9 所示，由距离地面h2＝1 m 的高度处以v0＝4 m/s 的速度斜 向上抛出质量为m＝1 kg 的物体，当其上升的高度为h1＝0.4 m 时到达最高点，最终落在水 平地面上，现以过抛出点的水平面为零势能面，取重力加速度g＝10 m/s2，不计空气阻力， 则( ) 图9 A.物体在最大高度处的重力势能为14 J B.物体在最大高度处的机械能为16 J C.物体在地面处的机械能为8 J D.物体在地面处的动能为8 J 答案 C 解析 物体在最高点时具有的重力势能Ep1＝mgh1＝1×10×0.4 J＝4 J，A 错误；物体在最高 点时具有的机械能等于刚抛出时的动能，即8 J，B 错误；物体在下落过程中，机械能守恒， 任意位置的机械能都等于8 J，C 正确；物体落地时的动能Ek＝E－Ep2＝E－mgh2＝8 J－ 1×10×(－1) J＝18 J，D 错误. 4.(机械能守恒定律的应用)如图10 所示，在竖直平面内有由圆弧AB 和圆弧BC 组成的光滑 固定轨道，两者在最低点B 平滑连接.AB 弧的半径为R，BC 弧的半径为.一小球在A 点正上 方与A 相距处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动(不计空气阻力). 图10 (1)求小球在B、A 两点的动能之比； (2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点. 答案 (1)5∶1 (2)见解析 解析 (1)设小球的质量为m，小球在A 点的动能为EkA，由机械能守恒定律得EkA＝mg① 设小球在B 点的动能为EkB，同理有EkB＝mg② 由①②式得EkB∶EkA＝5∶1③ (2)若小球能沿轨道运动到C 点，则小球在C 点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④ 设小球在C 点的速度大小为vC，由牛顿第二定律有 FN＋mg＝m⑤ 由④⑤式得：vC应满足mg≤m⑥ 由机械能守恒定律得mg＝mvC 2⑦ 由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C 点. 考点一 机械能守恒的判断 1.(2018·重庆市江津中学、合川中学等七校高一下学期期末)下列描述中，机械能守恒的是( ) A.沿斜面匀速上行的汽车 B.被匀速向上吊起的集装箱 C.在真空中水平抛出的石块 D.物体以g 的加速度竖直向上做匀减速运动 答案 C 2.(多选)(2018·三明市高一下学期期末)如图1 所示，一轻弹簧一端固定于O 点，另一端系一 重物，将重物从与悬点O 在同一水平面且弹簧保持原长的A 点无初速度地释放，让它自由 摆下，不计空气阻力，在重物由A 点摆到最低点的过程中( ) 图1 A.重物的机械能减少 B.重物与弹簧组成的系统的机械能不变 C.重物与弹簧组成的系统的机械能增加 D.重物与弹簧组成的系统的机械能减少 答案 AB 解析 重物自由摆下的过程中，弹簧拉力对重物做负功，重物的机械能减少，选项A 正确； 对重物与弹簧组成的系统而言，除重力、弹力外，无其他外力做功，故系统的机械能守恒， 选项B 正确. 3.(多选)(2018·白水中学高一下学期期末)如图2 所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧 上，在将弹簧压缩到最短的整个过程中，下列关于小球和弹簧的能量叙述中正确的是( ) 图2 A.重力势能和动能之和减小 B.重力势能和弹性势能之和总保持不变 C.动能和弹性势能之和增大 D.重力势能、弹性势能和动能之和总保持不变 答案 ACD 考点二 机械能守恒定律的应用 4.(多选)如图3 所示，在地面上以速度v0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h 的海平面上.若以地面为零势能面，且不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法中正确的 是( ) 图3 A.重力对物体做的功为mgh B.物体在海平面上的重力势能为mgh C.物体在海平面上的动能为mv0 2－mgh D.物体在海平面上的机械能为mv0 2 答案 AD 5.(多选)(2018·石嘴山三中高一下期中)如图4 所示，质量为m 的物体，以水平速度v 离开高 为H 的桌面，当它落到距地面高为h 的A 点时，在不计空气阻力的情况下，下列判断正确 的是(重力加速度为g)( ) 图4 A.若取地面为零势能面，物体在A 点具有的机械能是mv2＋mgH B.若取桌面为零势能面，物体在A 点具有的机械能是mv2 C.物体在A 点具有的动能是mv2＋mg(H－h) D.物体在A 点具有的动能与零势能面的选取有关，因此是不确定的 答案 ABC 解析 物体在运动的过程中机械能守恒，若取地面为零势能面，在抛出点机械能为mv2＋ mgH，平抛过程中机械能守恒，在平抛轨迹上任何一点的机械能均为mv2＋mgH，故A 正确； 若取桌面为零势能面，物体在抛出点机械能为mv2，平抛过程中机械能守恒，在平抛轨迹上 任何一点的机械能均为mv2，故B 正确；从抛出点到A 点，根据动能定理得mg(H－h)＝ mvA 2－mv2，解得物体在A 点的动能mvA 2＝mv2＋mg(H－h)，故C 正确；物体在A 点具有的 动能与零势能面的选取无关，动能是确定的，故D 错误. 6.如图5 所示，质量为1 kg 的小物块从倾角为30°、长为2 m 的光滑固定斜面顶端由静止开 始下滑，若选初始位置为零势能点，重力加速度g 取10 m/s2，则它滑到斜面中点时具有的 机械能和动能分别是( ) 图5 A.5 J,5 J B.10 J,15 J C.0,5 J D.0,10 J 答案 C 解析 物块的机械能等于物块动能和重力势能的总和，选初始位置为零势能点，则物块在初 始位置的机械能E＝0，在运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，所以物块滑到斜面中 点时的机械能为0，故有－mg×Lsin 30°＋＝0，所以动能是5 J，C 正确. 7.(多选)质量相同的小球A 和B 分别悬挂在长为L 和2L 的不同长绳上，先将小球A、B 拉至 同一水平高度(如图6 所示)从静止释放，当两绳竖直时，不计空气阻力，则( ) 图6 A.两球的速率一样大 B.两球的动能一样大 C.两球的机械能一样大 D.两球所受的拉力一样大 答案 CD 解析 两球在下落过程中机械能守恒，开始下落时，重力势能相等，动能都为零，所以机械 能相等，下落到最低点时的机械能也一样大，选项C 正确；以小球A 为研究对象，设小球 到达最低点时的速度大小为vA，动能为EkA，小球所受的拉力大小为F A，则mgL＝mvA 2，F A －mg＝，可得vA＝，EkA＝mgL，F A＝3mg；同理可得vB＝2，EkB＝2mgL，FB＝3mg，故选项 A、B 错误，D 正确. 8.(多选)(2018·平顶山市高一下学期期末)蹦极是一项有趣的极限运动，轻质弹性绳的一端固 定，另一端和运动员相连，运动员经一段自由下落后绳被拉直，整个过程中空气阻力不计， 绳的形变是弹性形变，绳处于原长时的弹性势能为零.则在运动员从静止开始自由下落，直 至最低点的过程中，下列表述正确的是( ) A.运动员的机械能守恒 B.弹性绳的弹性势能先增大后减小 C.运动员与弹性绳的总机械能守恒 D.运动员动能最大时弹性绳的弹性势能不为零 答案 CD 解析 运动员开始自由下落，从弹性绳开始伸直到最低点的过程中，先是拉力增加但还是小 于重力，合外力向下，运动员向下做加速度减小的加速运动，当加速度为零时，速度最大， 动能最大，此后拉力大于重力且拉力继续增加，合外力向上，运动员开始做加速度增大的减 速运动，速度减小，动能减小，所以运动员的机械能不守恒，但运动员与弹性绳的总机械能 守恒，故A 错误，C 正确；运动员开始自由下落，弹性绳的弹性势能不变，从弹性绳开始伸 直到最低点的过程中，弹性绳的弹性势能增大，故B 错误；当加速度为零时，速度最大， 动能最大，弹性绳的弹性势能不为零，故D 正确. 9.(多选)(2018·哈尔滨六校高一下学期期末联考)如图7 所示，将物体P 用长度适当的轻质细 绳悬挂于天花板下方，两物体P、Q 用一轻弹簧相连，物体Q 在力F 的作用下处于静止状态， 弹簧被压缩，细绳处于伸直状态.已知该弹簧的弹性势能仅与其形变量有关，且弹簧始终在 弹性限度内，现将力F 撤去，轻绳始终未断，不计空气阻力，则( ) 图7 A.弹簧恢复原长时，物体Q 的速度最大 B.撤去力F 后，弹簧和物体Q 组成的系统机械能守恒