高中物理新教材同步必修第二册 第7章 专题强化 卫星变轨问题和双星问题

专题强化 卫星变轨问题和双星问题 [学习目标] 1.会分析卫星的变轨问题，知道卫星变轨的原因和变轨前后卫星速度的变化.2.掌握双星运动 的特点，会分析求解双星运动的周期和角速度. 一、人造卫星的变轨问题 1.变轨问题概述 (1)稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G＝m. (2)变轨运行 卫星变轨时，先是线速度大小v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发 生变化. ①当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做 近心运动，向低轨道变轨. ②当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力， 卫星将做离心运动，向高轨道变轨. 2.实例分析 (1)飞船对接问题 ①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动， 追上高轨道空间站完成对接(如图1 甲所示). ②若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离 心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适 当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示. 图1 (2)卫星的发射、变轨问题 如图2，发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q 点点火加速做离心运动进入椭圆 轨道2，在P 点点火加速，使其满足＝m，进入圆轨道3 做圆周运动. 图2 (2019·通许县实验中学期末)如图3 所示为卫星发射过程的示意图，先将卫星发射至 近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2 运行，最后再一次点火，将卫星送入同步圆 轨道3.轨道1、2 相切于Q 点，轨道2、3 相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3 轨道上正常 运行时，以下说法中正确的是( ) 图3 A.卫星在轨道3 上的速率大于在轨道1 上的速率 B.卫星在轨道3 上的周期大于在轨道2 上的周期 C.卫星在轨道1 上经过Q 点时的速率大于它在轨道2 上经过Q 点时的速率 D.卫星在轨道2 上经过P 点时的加速度小于它在轨道3 上经过P 点时的加速度 答案 B 解析 卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时有： G＝m，可得v＝ 因为r1＜r3，所以v1＞v3，A 项错误； 由开普勒第三定律知T3>T2，B 项正确； 在Q 点从轨道1 到轨道2 需要做离心运动，故需要加速， 所以在Q 点v2Q>v1Q，C 项错误； 在同一点P，由＝man知，卫星在轨道2 上经过P 点的加速度等于它在轨道3 上经过P 点的 加速度，D 项错误. 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断. 2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心 天体越远，速度越小. 3.判断卫星由圆轨道进入椭圆轨道或由椭圆轨道进入圆轨道时的速度大小如何变化时，可根 据离心运动或近心运动的条件进行分析. 4.判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G 判断. 针对训练 (多选)(2019·定远育才实验学校期末)航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任 务后，在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B 为轨道Ⅱ上的一点，如图4 所示.关于航天飞 机的运动，下列说法中正确的有( ) 图4 A.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于经过B 点的速度 B.在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度 C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.在轨道Ⅱ上经过A 的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的加速度 答案 ABC 解析 在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点，由开普勒第二定律可知，经过A 的速度小于经过B 的速度，A 正确；从轨道Ⅰ的A 点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做 近心运动，所以在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度，B 正确；根据开普 勒第三定律＝k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道Ⅱ上运动的周期小于在 轨道Ⅰ上运动的周期，C 正确；在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ上通过A 点时所受的万有引力相等， 根据牛顿第二定律，加速度相等，D 错误. 二、双星或多星问题 1.双星模型 (1)如图5 所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远， 其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定 点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”. 图5 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同. ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供. ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比. (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2. 2.多星系统 在宇宙中存在类似于“双星”的系统，如“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中： (1)各个星体做圆周运动的周期、角速度相同. (2)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的. 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O 为圆心各自 做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图6 所 示.已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨 道半径r1和r2及运行周期T. 图6 答案 解析 双星间的万有引力提供了各自做圆周运动的向心力，对m1：＝m1r1ω2 对m2：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L 解得r1＝，r2＝ 由G＝m1r1及r1＝得周期T＝. 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图7 所示，三 颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为L，忽略其他星体对它们的 引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O 做匀速圆周运动，引力常量为G，下列说法 正确的是( ) 图7 A.每颗星做圆周运动的角速度为 B.每颗星做圆周运动的加速度大小与三星的质量无关 C.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2 倍，则周期变为原来的2 倍 D.若距离L 和每颗星的质量m 都变为原来的2 倍，则线速度变为原来的4 倍 答案 C 解析 任意两星间的万有引力F＝G，对任一星受力分析，如图所示，由图中几何关系知r ＝L，F 合＝2Fcos 30°＝F，由牛顿第二定律可得F 合＝mω2r，联立可得ω＝，an＝ω2r＝，选 项A、B 错误；由周期公式可得T＝＝2π，L 和m 都变为原来的2 倍，则周期T′＝2T，选项 C 正确；由速度公式可得v＝ωr＝，L 和m 都变为原来的2 倍，则线速度v′＝v，大小不变， 选项D 错误. 1.(卫星变轨问题)(2019·启东中学高一下学期期中)2019 年春节期间，中国科幻电影里程碑的 作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机， 使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程如图8 所示，地球在椭圆轨道 Ⅰ 上运行到远日点 B 变轨，进入圆形轨道 Ⅱ.在圆形轨道 Ⅱ 上运行到B 点时再次加速变轨，从而最终摆脱太阳 束缚.对于该过程，下列说法正确的是( ) 图8 A.沿轨道 Ⅰ 运动至B 点时，需向前喷气减速才能进入轨道 Ⅱ B.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期 C.沿轨道 Ⅰ 运行时，在A 点的加速度小于在B 点的加速度 D.在轨道 Ⅰ 上由A 点运行到B 点的过程，速度逐渐增大 答案 B 2.(卫星、飞船的对接问题)如图9 所示，我国发射的“神舟十一号”飞船和“天宫二号”空 间实验室于2016 年10 月19 日自动交会对接成功.假设对接前“天宫二号”与“神舟十一 号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( ) 图9 A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接 B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接 C.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者 速度接近时实现对接 D.飞船先在比空间实验室轨道半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者 速度接近时实现对接 答案 C 解析 飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞 船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A 错误；空间实验室在同一轨道上 减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能 实现对接，选项B 错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运 动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C 正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨 道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D 错误. 3.(双星问题)冥王星与其附近的另一星体卡戎可视为双星系统，冥王星与星体卡戎的质量之 比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动，由此可知，冥王星绕O 点运动的( ) A.轨道半径约为卡戎的 B.角速度约为卡戎的 C.线速度大小约为卡戎的7 倍 D.向心力大小约为卡戎的7 倍 答案 A 解析 双星系统内的两颗星运动的角速度相等，B 错误；双星的向心力为二者间的万有引力， 所以向心力大小相等，D 错误；根据m1ω2r1＝m2ω2r2，得＝＝，A 正确；根据v＝ωr，得＝ ＝，C 错误. 4.(双星问题)(多选)宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统.它们以相互间的万有 引力彼此提供向心力，从而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知某双星系统 的运转周期为T，两星到共同圆心的距离分别为R1和R2，引力常量为G，那么下列说法正确 的是( ) A.这两颗恒星的质量必定相等 B.这两颗恒星的质量之和为 C.这两颗恒星的质量之比m1∶m2＝R2∶R1 D.其中必有一颗恒星的质量为 答案 BCD 解析 两星有共同的周期T，由牛顿第二定律得G＝m1R1＝m2R2，所以两星的质量之比 m1∶m2＝R2∶R1，故A 错误，C 正确；由上式可得m1＝，m2＝，m1＋m2＝，故B、D 正确. 一、选择题 1.(2019·江苏卷)1970 年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今 仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图1 所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近 地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则( ) 图1 A.v1＞v2，v1＝ B.v1＞v2，v1＞ C.v1＜v2，v1＝ D.v1＜v2，v1＞ 答案 B 解析 根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，由＝可知，过近地点做 匀速圆周运动的速度为v＝，由于“东方红一号”在椭圆轨道上运动，所以v1>，故B 正确. 2.(2019·北京市石景山区一模)两个质量不同的天体构成双星系统，它们以二者连线上的某一 点为圆心做匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A.质量大的天体线速度较大 B.质量小的天体角速度较大 C.两个天体的向心力大小一定相等 D.两个天体的向心加速度大小一定相等 答案 C 解析 双星系统的结构是稳定的，故它们的角速度相等，故B 项错误；两个星球间的万有 引力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，两个天体的向心力大小相等，而天体质量不一定 相等，故两个天体的向心加速度大小不一定相等，故C 项正确，D 错误；根据牛顿第二定律 有： G＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，其中r1＋r2＝L 故r1＝L，r2＝L，故＝＝ 故质量大的天体线速度较小，故A 错误. 3.(2019·定州中学期末)如图2，“嫦娥三号”探测器经轨道 Ⅰ 到达P 点后经过调整速度进 入圆轨道 Ⅱ，再经过调整速度变轨进入椭圆轨道Ⅲ，最后降落到月球表面上.下列说法正确 的是( ) 图2 A.“嫦娥三号”在地球上的发射速度大于11.2 km/s B.“嫦娥三号”由轨道Ⅰ经过P 点进入轨道Ⅱ时要加速 C.“嫦娥三号”在轨道Ⅲ上经过P 点的速度大于在轨道Ⅱ上经过P 点的速度 D.“嫦娥三号”稳定运行时，在轨道Ⅱ上经过P 点的加速度与在轨道Ⅲ上经过P 点的加速度 相等 答案 D 4.(2019·长丰县二中期末)如图3 所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火使其沿椭圆轨道2 运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2 相 切于Q 点，轨道2、3 相切于P 点，则当卫星分别在1、2、3 轨道正常运行时，下列说法中 不正确的是( ) 图3 A.卫星在轨道3 上的周期小于在轨道1 上的周期 B.卫星在轨道3 上的速率小于在轨道1 上的速率 C.卫星在轨道2 上运行时，经过Q 点时的速率大于经过P 点时的速率 D.卫星在轨道2 上运行时，经过Q 点时加速度大于经过P 点的加速度 答案 A 解析 根据开普勒第三定律＝k 知，卫星的轨道半径越大，则周期也越大，故卫星在轨道3 上的周期大于在轨道1 上的周期，故A 不正确；由卫星运行时所受万有引力提供向心力， 即＝m，可知v＝，因此卫星的轨道半径越大，运行速率越小，则卫星在轨道3 上的速率小 于在轨道1 上的速率，故B 正确；根据开普勒第二定律知，卫星在轨道2 上运行时，从Q 点 向P 点运动，速度逐渐减小，经过Q 点时的速率大于经过P 点时的速率，故C 正确；卫星 离地面越远，万有引力越小，根据牛顿第二定律，加速度也越小，故卫星在轨道2 上运行时 经过Q 点时加速度大于经过P 点的加速度，故D 正确. 5.(2019·杨村一中期末)如图4 所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下， 绕其连线上的O 点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为 m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是( ) 图4 A.m1、m2做圆周运动的线速度大小之比为3∶2 B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2 C.m1做圆周运动的半径为L D.m2做圆周运动的半径为L 答案 C 解析 设双星m1、m2 距转动中心O 的距离分别为r1、r2，双星绕O 点转动的角速度均为 ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2，解 得r1＝L，r2＝L m1、m2运动的线速度大小分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω 故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3.综上所述，选项C 正确. 6.(2019·榆树一中期末)如图5 所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭 圆轨道上，其近地点M 距地面200 km，远地点N 距地面340 km.进入该轨道正常运行时， 通过M、N 点时的速率分别是v1和v2，加速度大小分别为a1和a2.当某次飞船通过N 点时， 地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，加速度大小为a3，比较 飞船在M、N、P 三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率和加速度大小，下列结论正 确的是( ) 图5 A.v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2 B.v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3 C.v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3 D.v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3 答案 D 解析 根据万有引力提供向心力，即＝man得：an＝，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝ a3；当某次飞船通过N 点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间 内加速后进入离地面340 km 的圆形轨道，所以v3＞v2，假设飞船在半径为r1的圆轨道上做 匀速圆周运动，经过M 点时的速率为v1′，根据＝得：v＝，又因为r1＜r3，所以v1′＞v3，飞 船在圆轨道M 点时需加速才能进入椭圆轨道，则v1>v1′，故v1＞v3＞v2，故选D. 7.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站.如图6 所示，关闭发动机的航天飞 机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B 处与空间站对接.已 知空间站C 绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转. 那么以下选项正确的是( ) 图6 A.月球的质量为 B.航天飞机到达B 处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速 C.航天飞机从A 处到B 处做减速运动 D.月球表面的重力加速度为 答案 A 解析 设空间站质量为m，在圆轨道上，由G＝m，得M＝，A 正确；要使航天飞机在椭圆 轨道的近月点B 处与空间站C 对接，必须在B 点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动， B 错误；航天飞机飞向B 处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C 错误； 月球表面物体重力等于月球对物体的引力，则有mg 月＝G，可得g 月＝＝，D 错误. 8.(多选)如图7 所示，在嫦娥探月工程中，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0.飞 船在半径为4R 的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨 道的近月点B 时，再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，忽略月球的自转，则( ) 图7 A.飞船在轨道Ⅲ上的运行速率大于 B.飞船在轨道Ⅰ上的运行速率小于在轨道Ⅱ上B 处的运行速率 C.飞船在轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度 D.飞船在轨道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝4∶1 答案 BC 解析 由＝mg0知，v＝，即飞船在轨道Ⅲ上的运行速率等于，A 错误；由v＝知，vⅠ<vⅢ， 而飞船在轨道Ⅱ上的B 点做离心运动，有vⅡB>vⅢ，则有vⅡB>vⅠ，B 正确；由an＝知，飞船在 轨道Ⅰ上的向心加速度小于在轨道Ⅱ上B 处的向心加速度，C 正确；由T＝2π 知，飞船在轨 道Ⅰ、轨道Ⅲ上运行的周期之比TⅠ∶TⅢ＝8∶1，D 错误. 9.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周 期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可 能发生变化.若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星 总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时匀速圆周运动的周期为( ) A.T B.T C.T D.T 答案 B 解析 设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L， 双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G＝m1r1 G＝m2r2 并且r1＋r2＝L 解得T＝2π 当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时 T′＝2π＝T 故选项B 正确. 10.(多选)(2019·雅安中学高一下学期期中)国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了 一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动，如图8 所示，此双星系统中 体积较小成员能