模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（解析版）(1)

R1．三角形的五心 三角形的五心定义 外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等． ③重心到三角形3 个顶点距离的和最小．（等边三角形） R3．三角形的外接圆与外心 （1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明： ①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角 三角形的外心在三角形的外部． ③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接 圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 模型介绍 R4．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心， 这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． R5 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心 考点一：三角形重心问题 【例1】．如图，△B 的中线BD、E 相交于点F，若四边形EFD 的面积为6，则△BF 的面积 为 ． 解：∵BD、E 是△B 的中线， ∴S△BD＝S△BE， ∴S△BD﹣S△BEF＝S△BE﹣S△BEF， 即S 四边形EFD＝S△BF＝6， 故答为：6． 变式训练 【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形B 中，∠B＝90°，＝B，⊥B 于点，中线E 与相交 于点F，则 的值为 ． 例题精讲 例题精讲 解：∵△B 是等腰直角三角形，⊥B， ∴是△B 斜边B 上的中线， ∴＝， ∵E 是△B 的中线， ∴点F 是△B 的重心， ∴F：＝1：3， ∴ ＝ ， 故答为： ． 【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣2，3），点在x 轴负半轴，B＝B， 点M 为△B 的重心，若将△B 绕着点旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为 ． 解：∵B＝B，点M 为△B 的重心， ∴BM⊥， ∴∠M＝90°， ∵点B（﹣2，3）， ∴点M（﹣2，1），即M＝1，＝2， ①△B 绕着点顺时针旋转90°，如图①， 过点M′作M′D⊥x 轴， ∴∠MM′＝∠M′D＝90°， ∴∠M+∠M′D＝∠M′+∠M′D＝90°， ∴∠M′＝∠M， ∵∠M＝∠M′D＝90°，M＝M′， ∴△M≌△M′D（S）， ∴D＝M＝1，M′D＝＝2 ∴M′（1，2）； ②△B 绕着点逆时针旋转90°，如图②， 过点M″作M′E⊥y 轴， 同理可得M″（﹣1，﹣2）， 综上所述：旋转后三角形的重心的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，2）． 故答为：（﹣1，﹣2）或（1，2）． 考点二：三角形外心问题 【例2】．如图，点是△B 的外心，连接B，若∠B＝17°，则∠的度数为 °． 解：连接，作△B 的外接圆⊙， ∵点是△B 的外心， ∴＝B， ∴∠B＝∠B＝17°， ∴∠B＝180° 2×17° ﹣ ＝146°， ∴∠＝ ∠B＝73°， 故答为：73． 变式训练 【变式2-1】．已知△B 的三边，b，满足| 4|+ ﹣ b+2 10 ﹣ ＝4 30 ﹣ ，则△B 的外接圆半径 的长为 ． 解：∵| 4|+ ﹣ b+2 10 ﹣ ＝4 30 ﹣ ， ∴（b+1 4 ﹣ +4）+（2 10 ﹣ b+25）+| 4| ﹣＝0， ∴（ ﹣2）2+（﹣5）2+| 4| ﹣＝0， ∴ 2 ﹣＝0，﹣5＝0，﹣4＝0， 解得，＝5，b＝3，＝4， ∴＝3，B＝5，B＝4， 5 ∵2＝32+42， ∴B2＝2+B2， ∴△B 是直角三角形，B 为斜边， ∴△B 的外接圆的半径为 B＝ ． 故答为： ． 【变式2-2】．如图，△B 的外接圆的圆心坐标为 ． 解：设圆心坐标为（x，y）； 依题意得， （4，6），B（2，4），（2，0） 则有 ＝ ＝ ， 即（4﹣x）2+（6﹣y）2＝（2﹣x）2+（4﹣y）2＝（2﹣x）2+y2， 化简后得x＝6，y＝2， 因此圆心坐标为（6，2）． 考点三：三角形内心问题 【例3】．如图，Rt△B 中，∠＝90°，＝6，B＝8．则△B 的内切圆半径r＝ ． 解：如图， 在Rt△B，∠＝90°，＝6，B＝8； 根据勾股定理B＝ ＝10； 四边形EF 中，E＝F，∠E＝∠F＝∠＝90°； ∴四边形EF 是正方形； 由切线长定理，得：D＝F，BD＝BE，E＝F； ∴E＝F＝ （+B﹣B）； 即：r＝ （6+8 10 ﹣ ）＝2． 变式训练 【变式3-1】．⊙是△B 的内切圆，且∠＝90°，切点为D，E，F，若F，BE 的长是方程x2﹣ 13x+30＝0 的两个根，则S△B的值为（ ） ．30 B．15 ．60 D．13 解：如图；解方程x2 13 ﹣ x+30＝0，得： x＝10，x＝3， ∴D＝F＝10，BD＝BE＝3； 设E＝F＝x，则＝10+x，B＝3+x； 由勾股定理，得： B2＝2+B2，即132＝（10+x）2+（3+x）2， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴＝12，B＝5； 因此S△B＝ •B＝ ×5×12＝30． 故选：． 【变式3-2】．如图所示，在矩形BD 中，BD＝10，△BD 的内切圆半径为2，切三边于E、 F、G，则矩形两边B＝ ，D＝ ． 解：Rt△BD 中，BD＝10，由勾股定理，得： B2+D2＝B2＝100…①； 设△BD 内切圆的半径为R，则有： R＝ ＝2， 即B+D＝14…②； 联立①②得： ，解得 ． 故B 的长为6，D 的长为8． 考点四：三角形垂心问题 【例4】．如图，是锐角△B 的垂心（3 条高的交点），若＝B，则∠B 的度数是 ． 解：∵BE 和D 为△B 的高， ∴∠E＝∠BD＝∠BE＝90°， ∵∠E＝∠BD， ∴∠E＝∠BE， 在△E 和△BE 中， ， ∴△E≌△BE（S）， ∴E＝BE， ∵∠EB＝90°， ∴△BE 为等腰直角三角形， ∴∠B＝45°， 故答为：45°． 变式训练 【变式4-1】．在△B 中，已知B＝5，＝7，B＝6，为垂心，则＝ ． 解：设E＝x，BD＝y，则E＝7﹣x，D＝6﹣y， 在Rt△BE 和Rt△BE 中，B2﹣E2＝B2﹣E2，即25﹣x2＝36﹣（7﹣x）2， 解得：x＝ ； 在Rt△BD 和Rt△D 中，B2﹣BD2＝2﹣D2，即25﹣y2＝49﹣（6﹣y）2， 解得：y＝1； 在Rt△BD 中，B2﹣BD2＝D2， ∴D＝2 ； 又∵△E∽△D， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：＝ ． 故答为： ． 【变式4-2】．如图，在△B 中M 为垂心，为外心，∠B＝60°，且△B 外接圆直径为10，则 M＝ ． 解：延长M 交B 于D，延长M 交B 于E，作直径BF，连接F，如图， ∵BF 为⊙的直径， ∴∠BF＝90°， s ∴F＝ ＝ ， ∴B＝10•sF＝10•s∠B， 又∵点M 为△B 的垂心， ∴D⊥B，E⊥B， ∴∠DB＝∠E＝90°， ∴△EM∽△DB， ∴ ＝ ，即M＝ ， 在Rt△E 中，∠E＝60°，＝2E，即E＝ ， 在Rt△D 中，s∠D＝ ，即D＝•s∠D， ∴M＝ ＝5． 故答为5． 1．如图，△B 中，∠B＝70°，∠B＝45°，点是△B 的外接圆的圆心，则∠B 等于（ ） ．65° B．90° ．130° D．140° 解：∵∠B＝70°，∠B＝45°， ∴∠＝180° 70° 45° ﹣ ﹣ ＝65°， ∴∠B＝2∠＝130°． 故选：． 2．如图，△B 中，B＝B＝＝3，是它的内心，以为中心，将△B 旋转180°得到△′B′′，则△B 与 △′B′′重叠部分的面积为（ ） ． B． ． D． 解：∵B＝B＝＝3， ∴S△B＝ ， ∵△B≌′ △B′′， ∴每个小三角形的边长与大三角形边长之比为：1：3，即相似比为：1：3， ∴小三角形与大三角形面积之比为：1：9， ∴每一个小三角形的面积是 ， ∴阴影部分的面积是 ． 故选：． 3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6m 的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上， 若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ） ．2 m B．4 m ．6 m D．8 m 解：由题意画图如下，则△B 为等边三角形，且内接于⊙， ∴B＝＝B＝6m，∠＝60°． 过点作D⊥B 于点D，则BD＝D＝ B＝3m， 连接B，，则B＝， ∵D⊥B， ∴∠DB＝ ∠B． ∵∠B＝2∠＝120°， ∴∠DB＝60°． 在Rt△BD 中， s ∵∠DB＝ ， ∴ ． ∴B＝2 ． 故选：． 4．如图所示，△B 的内切圆⊙与B、B、分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠的度 数是（ ） ．52° B．76° ．26° D．128° 解：连接D，F，则∠D＝∠F＝90°； 由圆周角定理知，∠DF＝2∠E＝104°； ∴∠＝180°﹣∠DF＝76°．故选：B． 5．如图，四边形BD 中，B＝D，B＝D，∠＝90°，∠＝60°．若B＝5 ．则△BD 外心与 △BD 内心的距离是（ ） ．5 B． ． D． 解：如图，连接交BD 于E，过点B 作BF⊥D 于G，交于点F， ∵B＝D，B＝D， ∴垂直平分BD， ∵∠BD＝90°， ∴∠BD＝∠DB＝45°， ∵∠BD＝60°，B＝D， ∴△BD 是等边三角形，△BD 是等腰直角三角形， ∴点E 是△BD 的外心，点F 是△BD 的内心， 在Rt△BD 中，∵B＝D＝5 ， ∴BD＝10 ， ∴BE＝DE＝5 ， 在Rt△BEF 中，∵∠BEF＝90°，∠EBF＝30°，BE＝5 ， ∴BF＝2EF， ∵BE2+EF2＝BF2， ∴（5 ）2+EF2＝（2EF）2， ∴EF＝5． ∴△BD 外心与△BD 内心的距离为5． 故选：． 6．如图，若正△1B11内接于正△B 的内切圆，则 的值为（ ） ． B． ． D． 解：∵△1B11和△B 都是正三角形，∴它们的内心与外心重合； 如图：设圆的半径为R； Rt△D 中，∠D＝30°，D＝R； D＝ ＝ R，即B＝2 R； 同理可求得1B1＝ R； ∴ ＝ ＝ ． 故选：． 7．如图，已知Rt△B 的直角边＝24，斜边B＝25，一个以点P 为圆心、半径为1 的圆在△B 内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P 一直保持与△B 的边相切，当点P 第一次回到 它的初始位置时所经过路径的长度是（ ） ． B．25 ． D．56 解：设三边分别为7，24，25， 则：（24+24）÷2+（7+7）÷2+（25+25）÷2+7×24÷2＝24×7÷2， 解得：＝ ， ∴构成的三角形的三边分别是 ，16， ， ∴周长＝ +16＝ ． 故选：． 8．如图，点G 是△B 的重心，且△DG 的面积为4，则△B 的面积为 ． 解：∵点G 是△B 的重心， ∴G：DG＝2：1，D 是B 边上的中线， ∴S△G：S△DG＝2：1， ∵△DG 的面积为4， ∴S△G＝8， ∴S△D＝4+8＝12， 又∵D 是B 边上的中线， ∴S△B＝2S△D＝2×12＝24． 故答为：24． 9．如图所示，△B 是⊙的内接三角形，D⊥B 于D 点，且＝5，D＝3，B＝ ，则⊙的直 径等于 ． 解：如图， 连接并延长到E，连接BE．设E＝2R，则 ∠BE＝90°，∠EB＝∠B； ∵D⊥B 于D 点，＝5，D＝3，B＝ ， ∴∠D＝90°，D＝ ＝ ＝4； 在Rt△BE 与Rt△D 中， ∠BE＝∠D＝90°，∠EB＝∠B， Rt ∴ △BE Rt ∽ △D， ∴ ＝ ， 即2R＝ ＝ ＝5 ； ∴⊙的直径等于 ． 10．如图，点D 是等腰Rt△B 的重心，其中∠B＝90°，将线段D 绕点逆时针旋转90°得到线 段E，连结DE．若△B 的周长为6 ，则△DE 的周长为 ． 解：延长D 交B 于，如图， ∵点D 是等腰Rt△B 的重心， ∴为斜边B 上的中线，D＝2D， ∴⊥B，＝ B， ∴D＝ ＝ B， ∵△B 为等腰直角三角形， ∴B＝ ， ∴D＝ ， ∵线段D 绕点逆时针旋转90°得到线段E， ∴△DE 为等腰直角三角形， ∴△DE∽△B， ∴△DE 的周长：△B 的周长＝D：， ∴△DE 的周长＝ ×6 ＝4． 故答为：4． 11．如图，⊙与△B 的边B、、B 分别切于E、F、D 三点，若⊙的半径是1，∠＝60°，B＝ 5，则△B 的周长为 ． 解：连接，E， ∵⊙与△B 的边B、、B 分别切于E、F、D 三点， ∴D＝F，E＝F，BD＝BE， ∵E＝1，∠＝60°， ∴∠E＝30°， ∴E＝ ，E＝1， ∴E+F＝2 ， ∴D+BD＝F+BE＝B＝5， ∴B+BE+F＝10， ∴△B 的周长为10+2 ． 12．如图，点P 是△B 的重心，过P 作B 的平行线DE，分别交于点D、交B 于点E；作 DF∥B，交B 于点F，若△B 的面积为36，则四边形BEDF 的面积为 ． 解：如图，延长P 交B 于G， ∵点P 是△B 的重心， ∴P：PG＝2：1， ∵DE∥B， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ED∥B，DF∥B， ∴△ED∽△B，△FD∽△B， ∴S ，S ＝4， ∴S 四边形BEDF＝S△B﹣S△ED﹣S△FD ＝36 16 4 ﹣ ﹣ ＝16， 故答为：16． 13．如图所示，是△B 的内心，∠B＝100°，则∠B＝ 度． 解：∵B、是∠B、∠B 的角平分线， ∴∠B+∠B＝180° 100° ﹣ ＝80°，而∠B+∠B＝ （∠B+∠B）＝80°， ∴∠B+∠B＝160°， ∴∠B＝180° 160° ﹣ ＝20°． 14．一个直角三角形的两条边长是方程x2 7 ﹣x+12＝0 的两个根，则此直角三角形外接圆的 半径等于 ． 解：解方程x2 7 ﹣x+12＝0，得x1＝3，x2＝4， 当4 为直角边长时，斜边长＝ ＝5， 则此直角三角形外接圆的半径为 ， 当4 为斜边长时，此直角三角形外接圆的半径为2， 综上所述：此直角三角形外接圆的半径等于 或2， 故答为： 或2． 15．如图，△B 中，已知B＝8，B＝5，＝7，则它的内切圆的半径为 ． 解：过点作D⊥B，垂足为D． 设D＝x，则BD＝8﹣x． 由勾股定理得：D2＝2﹣D2，D2＝B2﹣BD2． 7 ∴2﹣x2＝52﹣（8﹣x）2． 解得：x＝55． ∴D＝ ＝ ． 由△B 的面积＝ ×（B+B+）×r 可知： ． 解得：r＝ ． 故答为： ． 16．如图，G 为△B 的重心，点D 在B 延长线上，且BD＝ B，过D、G 的直线交于点E， 则 ＝ ． 解：如图所示，连接G 并延长，交B 于F，连接G 并延长，交B 于，连接F 交DE 于， 则F 是△B 的中位线， ∴F∥， ∵BD＝ B， ∴BD＝B＝， ∵∥E， ∴ ＝ ＝ ，即E＝ ， ∵∥E， ∴ ＝ ＝ ，即E＝2， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ． 故答为： ． 17．在半径为1 的⊙中内接有锐角△B，是△B 的垂心，角平分线L 垂直于，则B＝ ． 解：设L 与⊙交于点D，与交于点，连接D，交B 于点M，连接并延长交⊙于点G，连接 G、GB、，如图所示， ∵G 是⊙的直径，∴∠BG＝∠G＝90°， ∴BG⊥B，G⊥． ∵为△B 的垂心， ∴E⊥B，BF⊥， ∴E∥BG，G∥BF， ∴四边形GB 是平行四边形， ∴BG＝． ∵L 平分∠B，∴∠BD＝∠D， ∴ ＝ ， 根据垂径定理的推论可得：D⊥B． ∵E⊥B，∴D∥E， ∴∠D＝∠ED． ∵＝D，∴∠D＝∠D， ∴∠D＝∠ED． ∵L 垂直于， ∴∠＝∠＝90°． 在△和△中， ， ≌△ ∴△△（S）， ∴＝， ∴BG＝＝＝1． 在Rt△GB 中， ∵BG＝1，G＝2， ∴B＝ ＝ ． 故答为： ． 18．如图，⊙的半径为 ，△B 是⊙的内接等边三角形，将△B 折叠，使点落在⊙上，折痕 EF 平行B，则EF 长为 ． 解：连接， 设EF＝x ∵△B 是⊙的内接等边三角形 ∵EF∥B ∴∠EF＝∠FE＝60° ∴△EF 为等边三角形 ∴⊥EF ∴F＝ ＝1 ∴EF＝2F＝2． 19．如图，在矩形BD 中，B＝5，B＝12，⊙1 和⊙2 分别是△B 和△D 的内切圆，则12＝ ． 解：∵矩形BD 中，B＝5，B＝12； ∴＝13，△B≌△D，则⊙1和⊙2的半径相等． 如图，过1作B、B 的垂线分别交B、B 于、E，过2作B、D、D 的垂线分别交B、D、D 于F、G、； ∵∠B＝90°， ∴四边形1BE 是正方形； 设圆的半径为r，根据切线长定理5﹣r+12﹣r＝13，解得r＝2， ∴BE＝B＝2， 同理DG＝D＝F＝2， ∴G＝F2＝3，EF＝12 4 ﹣＝8； 过1作1M⊥F2于M，则1M＝EF＝8，FM＝B＝2， ∴2M＝1， 在Rt△12M 中，12＝ ＝ ． 20．如图，在△B 中，＝3，B＝4，若，B 边上的中线BE，D 垂直相交于点，则B＝ ． 解：∵D、BE 为，B 边上的中线， ∴BD＝ B＝2，E＝ ＝ ，点为△B 的重心， ∴＝2D，B＝2E， ∵BE⊥D， ∴B2+D2＝BD2＝4，E2+2＝E2＝ ， ∴B2+ 2＝4， B2+2＝ ， ∴ B2+ 2＝ ， ∴B2+2＝5， ∴B＝ ＝ ． 故答为 ． 21．若△B 的外接圆半径为2，是△B 垂心，则△B 的外接圆半径长是 解：如图， 延长F 交△B 的外接圆于M，连接BM