第17讲 全等三角形（讲义）（原卷版）

第17 讲 全等三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 全等三角形及其性质 题型01 利用全等三角形的性质求角度 题型02 利用全等三角形的性质求长度 题型03 根据全等的性质判断正误 题型04 利用全等三角形的性质求解 题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系 考点二 全等三角形的判定 题型01 添加一个条件使两个三角形全等 题型02 添加一个条件仍不能证明全等 题型03 灵活选用判定方法证明全等 题型04 结合尺规作图的全等问题 题型05 全等三角形模型-平移模型 题型06 全等三角形模型-对称模型 题型07 全等三角形模型-一线三等角模型 题型08 全等三角形模型-旋转模型 题型09 构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 题型10 构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 题型11 构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线 题型12 构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线 题型13 利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 考点三 角平分线的性质 题型01 利用角平分线的性质求长度 题型02 利用角平分线的性质求面积 题型03 角平分线的判定定理 题型04 利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题 题型05 三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法 考点四 全等三角形的应用 题型01 利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题 题型02 利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题 题型03 利用全等三角形的性质与判定解决动点问题 考点要求 新课标要求 命题预测 全等三角形 及其性质  理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、 对应角 在中考中，全等三角形 主要以选择题、填空题 和解答题的简单类型为 主．常结合四边形综合 考查． 全等三角形 的判定  掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；  掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；  掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等；  证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个 三角形全等；  探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 角平分线的 性质  探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边 的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的 平分线上 全等三角形 的应用  考点一 全等三角形及其性质 全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形 特征：①形状相同②大小相等③对应边相等、对应角相等④周长、面积相等 全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做 对应角 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置 上 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换 全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 题型01 利用全等三角形的性质求角度 【例1】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）已知△AEC ≌△ADB，若∠A=50° ,∠ABD=40°，则∠1 的度数为（ ） ．40° B．25° ．15° D．无法确定 【变式1-1】（2023·浙江金华·校联考三模）如图，已知△ABC ≌△AED，∠A=75°，∠B=30°，则 ∠ADE的度数为（ ） ．105° B．80° ．75° D．45° 【变式1-2】（2023·浙江台州·统考一模）如图，△ADE ≌△ABC，点D 在边AC上，延长ED交边BC于 点F，若∠EAC=35°，则∠BFD=¿ ． 1 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形 2 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形 题型02 利用全等三角形的性质求长度 【例2】（2023·广东·校联考模拟预测）如图，△ABC ≅△BAD，的对应顶点是B，的对应顶点是D，若 AB=8，AC=3，BC=7，则AD的长为（ ） ．3 B．7 ．8 D．以上都不对 【变式2-1】（2023·湖南长沙·校联考二模）如图，△ABC ≌△≝¿，DE=5，AE=2，则BE的长是（ ） ．5 B．4 ．3 D．2 【变式2-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨工业大学附属中学校校考一模）如图，△B≌△BD，点和点B， 点和点D 是对应点，如果B＝8m，BD＝7m，D＝6m，那么B 的长是（ ） ．5m B．6m ．7m D．8m 题型03 根据全等的性质判断正误 【例3】（2022·天津河西·统考二模）如图，将△ABC绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE，点的对应点为 D，AC交DE于点P，连结EC，AD，则下列结论一定正确的是（ ） ．ED=CB B．∠EBA=60° ．∠EPC=∠CAD D．△ABD是等边三角形 【变式3-1】（2018·内蒙古鄂尔多斯·统考一模）如图，M 在B 上，MB=1 2 M，如果△B 绕点M 按顺时针方 向旋转180°后与△FED 重合，则以下结论中不正确的是（ ） ．△B 和△FED 的面积相等 B．△B 和△FED 的周长相等 ．∠+∠B=∠F+∠FDE D．AC ∥DF，且=DF 【变式3-2】（2022·广东深圳·校考一模）如图，△B ′ ≌△B′，且点B′在B 边上，点 恰好在 ′ B 的延长线上， 下列结论错误的是( ) ．∠BB′＝∠′ B．∠B＝2∠B ．∠B′＝∠B′ D．B′平分∠BB′′ 【变式3-3】（2023·山东淄博·统考二模）如图，△ABC ≌△≝¿，点E 在AC上，B，F，，D 四点在同一 条直线上．若∠A=40° ,∠CED=35°，则下列结论正确的是（ ） ．EF=EC , AB=FC B．EF ≠EC , AE=FC ．EF=EC , AE≠FC D．EF ≠EC , AE≠FC 题型04 利用全等三角形的性质求解 【例4】（2023·广东深圳·统考二模）如图，，B 是反比例函数y= k x (x>0)图象上两点，C (−2,0)， D (4,0)，△ACO≌△ODB，则k=¿ ． 【变式4-1】（2022·北京海淀·校考模拟预测）图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点 Q可能是图中的 ． 【变式4-2】（2023·江苏扬州·统考二模）三个能够重合的正六边形的位置如图，已知点的坐标是(❑ √3,−3)， 则B 点的坐标是 ． 【变式4-3】（2023·广东广州·统考二模）如图，直线y=−2 x+2与x 轴和y 轴分别交于、B 两点，射线 AP⊥AB于点，若点是射线AP上的一个动点，点D 是x 轴上的一个动点，且以，D，为顶点的三角形与 △AOB全等，则AD的长为 ． 【变式4-4】（2023·河南三门峡·统考二模）如图，Rt △ABC ≌Rt △≝¿，∠C=∠F=90°，AC=2， BC=4，点D 为AB的中点，点E 在AB的延长线上，将△≝¿绕点D 顺时针旋转α度(0<α<180)得到 △D E ' F，当△BD E '是直角三角形时，A E '的长为 ． 【变式4-5】（2023·浙江·模拟预测）如图，已知Rt △ABC ≌Rt △≝¿，∠C=∠F=90°， AC=DF=3，BC=EF=4，△≝¿绕着斜边B 的中点D 旋转，DE、DF 分别交、B 所在的直线于点P、 Q．当△BDQ为等腰三角形时，P 的长为 ． 题型05 利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系 【例5】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，AB、EF相交于点G，且△AFG≌△BEG，D在AF上， C在EB延长上，连接DC，若AD=BC，证明：CD=2 AG． 【变式5-1】（2023 上·江西上饶校考阶段练习）如图，已知△ABE ≌△CDF，且B，E，F，D四点在同 一直线上，线段AE和线段CF在位置和数量上存在什么关系?并说明理由． 【变式5-2】（2023 上·山西吕梁阶段练习）如图，已知△ABF ≌△DEC，，F，，D 四点在同一条直线 上． (1)求证：AC=DF； (2)判断BF与EC的位置关系，并证明． 考点二 全等三角形的判定 一、全等三角形的判定 1 边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2 边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SS”）； 3 角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“S”）； 4 角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或 “S”）； 5 对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角 边”或“L”）． 二、判定两个三角形全等的思路 三、常见的全等三角形模型（基础） 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个 元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补 充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路 常见的全等三角形模型（基础） 平移模型 模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的 方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等． 对称模型 模型分析：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是 全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等． 一线三垂直/ 一线三等角 模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向 直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角 旋转模型 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这 两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况： ①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角； ②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角． 题型01 添加一个条件使两个三角形全等 【例1】（2022·北京·北京市第五中学分校校考模拟预测）如图，已知BE＝D，请添加一个条件，使得 △BE≌△D： ． 【变式1-1】（2023·福建龙岩·校考一模）如图，AC，BD相交于点O，OB=OD，要使△AOB≌ △COD，添加一个条件是 ．（只写一个） 若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、 截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目． 【变式1-2】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，RtΔABC和RtΔEDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅 助线的情况下，请你添加一个条件 ，使RtΔABC和RtΔEDF全等． 【变式1-3】（2022·江苏盐城·统考一模）如图，E//DF，AE=DF．添加下列条件中的一个：①AB=CD； ②EC=BF；③∠E=∠F；④E//BF．其中能证明△ACE≌△DBF的是 （只填序号）． 题型02 添加一个条件仍不能证明全等 【例2】（2023·广东珠海·统考二模）如图，在△ABC和△≝¿中，∠B=∠≝¿，AB=DE，添加一个条 件后，仍然不能证明△ABC ≅△≝¿，这个条件可能是（ ） ．∠A=∠D B．AC ∥DF ．BE=CF D．AC=DF 【变式2-1】（2022·广东河源·统考二模）如图，点B、F、、E 在同一条直线上，AC ∥DF，AC=DF， 添加以下条件，仍不能使△B≌△DEF 的是（ ） ．∠A=∠D B．AB=DE ．AB∥DE D．BF=EC 【变式2-2】（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形ABCD是菱形，E、F 分别是BC、CD两边上的点， 不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是（ ） ．∠BAF=∠DAE B．EC=FC ．AE=AF D．BE=DF 题型03 灵活选用判定方法证明全等 【例3】（2023·江西抚州·统考一模）如图，点，D，，F 在同一条直线上，B＝DE，B＝EF．有下列三个 条件：①＝DF，②∠B＝∠DEF，③∠B＝∠DFE． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△B≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一 个条件，多选不得分），你判定△B≌△DEF 的依据是______（填“SSS”或“SS”或“S”或“S”）； (2)利用（1）的结论△B≌△DEF．求证：B DE ∥ ． 【变式3-1】（2022·湖北宜昌·统考模拟预测）如图，在Δ ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D 作 DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为点E、F． (1)求证：DE=DF； (2)若∠BDE=50°，求∠BAC的度数． 【变式3-2】（2018·江苏·无锡市第一女子中学校考中考模拟）如图，在△ACB和△DCE中，AC=BC， CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N． 试判断AE、BD之间的关系，并说明理由． 【变式3-3】（2023·江苏南京·校考三模）如图，在▱ABCD中，点E、F 分别是边AD、BC的中点． (1)求证：△ABF ≌△CDE； (2)若∠AFC=2∠D，求证：四边形AFCE是菱形． 【变式3-4】（2020·北京朝阳·三模）如图，在△ABE中，，D 是边BE上的两点，有下面四个关系式： （1）AB=AE，（2）BC=DE，（3）AC=AD，（4）∠BAC=∠EAD请用其中两个作为已知条件， 余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明． 已知： 求证： 证明： 【变式3-5】（2023·上海嘉定·模拟预测）如图，△ABC中，AB=AC，点D 在BC边上，CE⊥AD延长 线于E，且BC=2 AE． (1)求证：AD=CD； (2)求证：A B 2=AD⋅BC． 题型04 结合尺规作图的全等问题 【例4】（2022·江西赣州·统考一模）已知锐角∠B，如图， （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作´ PQ， 交射线B 于点D，连接D；（2）分别以点，D 为 圆心，D 长为半径作弧，交´ PQ于点M，； （3）连接M，M． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） ．M＝D B．△M≌△D ．若M＝M．则∠B＝20° D．M＝3D 【变式4-1】（2022·湖北襄阳·统考一模）如图，在△B 中，∠B＝ ， ∠ D 为边B 上一点，D＝，连接D． (1)用尺规作∠DE＝∠B，射线DE 交线段于点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若B＝5，BD＝3，求E 的长． 【变式4-2】（2022·湖南长沙·长沙市北雅中学校考二模）如图，▱ABCD的对角线与BD 相交于点，小雅 按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，B 于点M，；②以点为圆心，以M 长为 半径作弧，交于点M '；③以点M '为圆心，以M 长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N '；④过 点N '作射线ON '交B 于点E． (1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下： 由作图可知，在△M 和△ M ' ON ' 中， ， ∴△MAN≌△M ' ON '（_____________）（此处填理论依据）， ∴∠COE=∠OAB． (2)若AB=6，求线段E 的长． 【变式4-3】（2022·湖南长沙·模拟预测）人版初中数学科书上册第35-36 页告诉我们作一个三角形与已知 三角形全等的方法： 已知：△ABC． 求作：△A ' B 'C '，使得△A ' B 'C '≌△ABC． 作法：如图． （1）画B 'C '=BC； （2）分别以点B '，C '为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A ' ； （3）连接线段A ' B '，A 'C '，则△A ' B 'C '即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在△A ' B 'C '和△ABC中， ¿ ∴△A ' B 'C ' ______ ≌ ． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ① S；②S；③SS；④SSS 题型05 全等三角形模型-平移模型 【例5】（2023·陕西西安·模拟预测）如图，已知点、D、、F 在同一条直线上，AB=DE， ∠ABC=∠≝¿．给出下列三个条件：①AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF． (1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC ≌△≝¿．你选取的条件序号为______，你判定 △ABC ≌△≝¿的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）； (2)请用（1）中所选条件证明△ABC ≌△≝¿； (3)△≝¿可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B 作BM ⊥AC于M，当AB=10，BM=8， △ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD的长． 【变式5-1】（2020·江苏常州·统考一模）如图，将Rt B △ 沿B 所在直线平移得到△DEF． (1)如图①，当点E 移动到点处时，连接D，求证：△D B ≌△ ； (2)如图②，当点E 移动到B 中点时，连接D、E、D，请你判断四边形ED 的形状，并说明理由． 【变式5-2】（2019·河北石家庄·统考一模）如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB=∠DBC=90°， AB=6，AC=4如图2，将△DBC沿射线BC方向平移得到△D1B1C1，连接A C1∥A C1 （1）求证：B D1=A C1且B D1∥A C1； （2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于__________时，点A与点D1之间的距离最小 图1 图2 题型06 全等三角形模型-对称模型 【例6】（2023·湖南衡阳·校考一模）如图，平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D． (1)求证：△ABC ≌△ADC； (2)若AB=4，CD=3，求四边形BD 的面积． 【变式6-1】（2021·西藏拉萨·校考一模）如图，已知 ＝ ∠ ∠F＝90°，＝DF，E＝DB，B 与EF 交于点