专题26 最值模型之费马点模型（原卷版）

专题26 最值模型之费马点模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之 外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三 个顶点距离之和最小的点。 【模型解读】 结论1：如图，点M 为△B 内任意一点，连接M、BM、M，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时， M+MB+M 的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△B 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是 最大角的顶点。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 【模型证明】以B 为一边向外作等边三角形△BE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E． ∵△BE 为等边三角形，∴B＝BE，∠BE＝60°．而∠MB＝60°，∴∠BM＝∠EB． 在△MB 与△EB 中，∵ ，∴△MB≌△EB（SS）． 连接M．由△MB≌△EB 知，M＝E．∵∠MB＝60°，BM＝B，∴△BM 为等边三角形． ∴BM＝M．∴M+BM+M＝E+M+M．∴当E、、M、四点共线时，M+BM+M 的值最小． 此时，∠BM＝180°﹣∠MB＝120°；∠MB＝∠EB＝180°﹣∠BM＝120°； ∠M＝360°﹣∠BM﹣∠MB＝120°． 费马点的作法：如图3，分别以△B 的B、为一边向外作等边△BE 和等边△F，连接E、BF，设交点为M，则 点M 即为△B 的费马点。 【最值原理】两点之间，线段最短。 结论2：点P 为锐角△B 内任意一点，连接P、BP、P，求xP+yBP+zP 最小值。（加权费马点） 【模型证明】第一步，选定固定不变线段；第二步，对剩余线段进行缩小或者放大。 如：保持BP 不变，xP+yBP+zP= ，如图，B、P、P2、2四点共线时，取得最小值。 模型特征：P+PB+P（P 为动点） ①一动点，三定点；②以三角形的三边向外作等边三角形的，再分别将所作等边三角形最外的顶点与已知 三角形且与所作等边三角形相对的顶点相连，连线的交点即为费马点；③同时线段前可以有不为1 的系数 出现，即：加权费马点。 例1．（2023·湖北随州·统考中考真题）1643 年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在 同一条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学 家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡 营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择 填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④ 处填写该三角形的某个顶点） 当 的三个内角均小于 时， 如图1，将 绕，点顺时针旋转 得到 ，连接 ， 由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，故 ， 由 ② 可知，当B，P， ，在同一条直线上时， 取最小值，如图2，最小值为 ，此时的 P 点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若 ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已知点P 为 的 “费马点”，求 的值； (3)如图5，设村庄，B，的连线构成一个三角形，且已知 ．现欲建一 中转站P 沿直线向，B，三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄，B，的铺设成本分别为元/ ，元/ ， 元/ ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含的式子 表示） 例2．（2023·广东深圳·二模）如图， 是等边三角形，M 是正方形BD 对角线BD（不含B 点）上任意 一点， ， （点在B 的左侧），当M+BM+M 的最小值为 时，正方形的边长为____ __． 例3．（2023 春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任 一点，连接M，BM，M，则M+BM+M 的最小值为________． 例4．（2023 春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点M 是矩形 内一点，且 ， ，为 边 上一点，连接 、 、 ，则 的最小值为______． 例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形 中，点E 在边 上，连 ，点F 在线段 上，连 ，连 ． (1)如图1，已知 ，点E 为 中点， ．若 ，求 的长度； (2)如图2，已知 ，将射线 沿 翻折交 于，过点作 交 于点 G．若 ，求证： ； (3)如图3，已知 ，若 ，直接写出 的最小值． 例6．（2023 河南四模）阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之 王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题．1643 年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利 的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：给定不在 一条直线上的三个点，B，，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P 的位置．托里拆利成功地解决了 费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点，B，距离之和最小的点称为 B 的费马-托里 拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．问题解决： （1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将 BP 绕点B 顺时针 旋转60°得到 BDE，连接PD，可得 BPD 为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=P，因 P+PB+P=P+PD+DE，由 可知，P+PB+P 的最小值与线段 的长度相等； （2）如图2，在直角三角形B 内部有一动点P，∠B=90°，∠B=30°，连接P，PB，P，若B=2，求P+PB+P 的最小值；（3）如图3，菱形BD 的边长为4，∠B=60°，平面内有一动点E，在点E 运动过程中，始终有 ∠BE=90°，连接E、DE，在 DE 内部是否存在一点P，使得P+PD+PE 最小，若存在，请直接写出 P+PD+PE 的最小值；若不存在，请说明理由． 例7．（2023·江苏·校考三模）如图，四个村庄坐落在矩形BD 的四个顶点上， 公里， 公里， 现在要设立两个车站E，F，则 的最小值为______公里． 例8．（2023 下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题探究 将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种 基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之 间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化． 问题提出：如图1， 是边长为1 的等边三角形，P 为 内部一点，连接 、 、 ，求 的最小值． 方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为 折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）． 问题解决：如图2，将 绕点 逆时针旋转 至 ，连接 ，记 与 交于点 ，易 知 ．由 ，可知 为正三角形， 有 ． 故 ．因此，当 共线时， 有最小值是 ． 学以致用：(1)如图3，在 中， 为 内部一点，连接 ， 则 的最小值是________．(2)如图4，在 中， 为 内部一点，连接 ，求 的最小值． 课后专项训练 1（2022·宜宾·中考真题）如图， 和 都是等腰直角三角形， ，点D 是B 边 上的动点（不与点B、重合），DE 与交于点F，连结E．下列结论：① ；② ；③ 若 ，则 ；④在 内存在唯一一点P，使得 的值最小，若点D 在P 的延 长线上，且P 的长为2，则 ．其中含所有正确结论的选项是（ ） ．①②④ B．①②③ ．①③④ D．①②③④ 2．（2023·成都实外九年级阶段练习）如图，在 中， ，P 是 内一点， 求 的最小值为______． 3．（2023·广东广州·一模）如图，在Rt△B 中，∠B=90°，B=，点P 是B 边上一动点，作PD⊥B 于点D，线 段D 上存在一点Q，当Q+QB+Q 的值取得最小值，且Q=2 时，则PD=________． 4．（2019·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图，将 绕点 逆时针旋转60°得到 ， 与 交于点 ，可推出结论： 问题解决：如图，在 中， ， ， ．点 是 内一点，则点 到 三个顶点的距离和的最小值是___________ 5．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，△B 中，∠B＝30°且B＝，P 是底边上的高上一点．若P+BP+P 的最 小值为2 ，则B＝_____． 6．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，四边形 是菱形， B=6，且∠B=60° ，M 是菱形内任一点， 连接M，BM，M，则M+BM+M 的最小值为________． 7．（2023·陕西·二模）已知，如图在 中， ， ， ，在 内部有一点D， 连接D、DB、D．则 的最小值是__________． 8．（2023·山东·九年级专题练习）已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如 果 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足 ． （例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若 ，P 为 的费马点， 则 _________；若 ，P 为 的费马点，则 _____ ____． 9．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在ABC  中， 90 ACB   ， 30 BAC   ， 2 AB ．若点P 是 ABC  内一点，则PA PB PC   的最小值为____________． 10．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如 果ABC  是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足 120 APB BPC CPA     ． （例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若 7, 2 3 AB AC BC    ，P 为ABC  的费马点， 则PA PB PC   _________；若 2 3, 2, 4 AB BC AC   ，P 为ABC  的费马点，则PA PB PC   _____ ____． 11．（2023·江苏·九年级阶段练习）探究题 (1)知识储备：①如图1，已知点P 为等边△B 外接圆的弧B 上任意一点．求证：PB+P=P． ②定义：在△B 所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△B 的费马点， 此时P+PB+P 的值为△B 的费马距离． (2)知识迁移：我们有如下探寻△B(其中∠，∠B，∠均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△B 的外部以B 为边长作等边△BD 及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△B 的费马距离． (3)知识应用：①如图3 所示的△B（其中 均小于 ）， ，现取一 点P，使点P 到 三点的距离之和最小，求最小值； ②如图4，若三个村庄 构成Rt△B，其中 ．现选取一点P 打水井， 使P 点到三个村庄 铺设的输水管总长度最小，画出点P 所对应的位置，输水管总长度的最小值为__ ______．（直接写结果） 12．（2020·重庆中考真题）如图，在Rt ABC  中， 90 BAC    ，AB AC  ，点D 是B 边上一动点，连 接D，把D 绕点逆时针旋转90°，得到E，连接E，DE．点F 是DE 的中点，连接F． （1）求证： 2 2 CF AD  ；（2）如图2 所示，在点D 运动的过程中，当 2 BD CD  时，分别延长F，B， 相交于点G，猜想G 与B 存在的数量关系，并证明你猜想的结论； （3）在点D 运动的过程中，在线段D 上存在一点P，使PA PB PC   的值最小．当PA PB PC   的值 取得最小值时，P 的长为m，请直接用含m 的式子表示E 的长． 13．（2023·河北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系xy 中，点B 的坐标为(0，2)，点 在 轴的正 半轴上， ，E 为△BD 的中线，过B、 两点的抛物线 与 轴相交于 、 两点 （ 在 的左侧）（1）求抛物线的解析式；（2）等边△ 的顶点M、在线段E 上，求E 及 的长； （3）点 为△ 内的一个动点，设 ，请直接写出 的最小值,以及 取得最小值时， 线段 的长 14．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，△B 中，∠B＝45°，B＝6，＝4，P 为平面内一点，求 最小值 15．（2023·福建三明·八年级期中）【问题背景】17 世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德· 费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为 “费马点”． 如图，点 是 内的一点，将 绕点 逆时针旋转60°到 ，则可以构造出等边 ，得 ， ，所以 的值转化为 的值，当 ， ， ， 四点共线时， 线段 的长为所求的最小值，即点 为 的“费马点”． (1)【拓展应用】如图1，点 是等边 内的一点，连接 ， ， ，将 绕点 逆时针旋转 60°得到 ．①若 ，则点 与点 之间的距离是___；②当 ， ， 时，求 的大小；(2)如图2，点 是 内的一点，且 ， ， ，求 的最小值． 16．（2023·江苏·苏州八年级期中）背景资料：在已知 所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶 点的距离之和最小这个问题是法国数学家费马1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被 人们称为“费马点”．如图1，当 三个内角均小于120°时，费马点P 在 内部，当 时，则 取得最小值． (1)如图2，等边 内有一点P，若点P 到顶点、B、的距离分别为3，4，5，求 的度数，为了解 决本题，我们可以将 绕顶点旋转到 处，此时 这样就可以利用旋转变换，将三 条线段 、 、 转化到一个三角形中，从而求出 _______； 知识生成：怎样找三个内角均小于120°的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三 角形并连接等边三角形的顶点与 的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下 问题．(2)如图3， 三个内角均小于120°，在 外侧作等边三角形 ，连接 ，求证： 过 的费马点．(3)如图4，在 中， ， ， ，点P 为 的费马 点，连接 、 、 ，求 的值．(4)如图5，在正方形 中，点E 为内部任意一点， 连接 、 、 ，且边长 ；求 的最小值．