2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值． 【分析】（Ⅰ）题根据已知条件，作DH⊥AC，根据面面垂直， 可得DH⊥BC，进一步根据直角三角形的知识可判断出△BHC 是直角三角形，且∠HBC ＝90°，则HB⊥BC，从而可证出BC⊥面DHB，最后根据棱台的定义有EF∥BC，根据 平行线的性质可得EF⊥DB； （Ⅱ）题先可设BC＝1，根据解直角三角形可得BH＝1，HC＝ 于点H， ∵面ADFC⊥面ABC，DH⊂面ADFC，∴DH⊥BC， ∴在Rt△DHC 中，CH＝CD•cos45°＝ CD， ∵DC＝2BC，∴CH＝ CD＝ •2BC＝ •BC， ∴ ＝ ，即△BHC 是直角三角形，且∠HBC＝90°， 10/16 ∴HB⊥BC，∴BC⊥面DHB，∵BD⊂面DHB，∴BC⊥BD， 11/16 ∵在三棱台DEF﹣ABC 中，EF∥BC，∴EF⊥DB． （Ⅱ）设BC＝1，则BH＝1，HC＝

【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图， 因为 ，所以 ， 因为重叠后的底面为正方形，所以 , 在直棱柱 中， 平面BHC，则 , 由 可得 平面 ， 设重叠后的EG 与 交点为 则 则该几何体的体积为 . 故选：D.9. 已知 ，关于该函数有下列四个说法： ① 的最小正周期为 ； 5/19 ② 在 上单调递增；

∵∠ECD=∠ECF， ∴△EFC ∽△DEC， ∴EC DC = FC EC ， ∴EC 2=CD⋅CF，故②正确； 设正方形边长为， ∵∠GHB+∠BHC =45°，∠GHB+∠HGB=45°， ∴∠BHC =∠HGB=∠DEC， ∵∠GBH=∠EDC =135°， ∴△GBH ∽△EDC， ∴DC HB = EC HG ，即EC=CD⋅HG HB =3a 2

（2）当点D在线段BA延长线上时，在BA的延长线上截取MH=BH，连接CM，DC， 由题意可证△BHC ≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由题意可得∠B=∠AED，即可 证△DMC ≌△DEC，可得DE=DM，则可得DH=BH−DE；当点D在线段AB延长 线上时，在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD，由题意可证△BHC ≌△CHM， 可得∠B=∠CMB，由题意可得∠B=∠AED，即可证△DMC ≌△DEC，可得 ，DC 1 ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∵BD=BC ∴∠BDC=∠DCB ∵DE // BC ∴∠E=∠ACB=∠B=∠EDB ∵CH =CH，BH=MH，∠BHC=∠CHM ∴△BHC ≌△CHM ∴∠B=∠M ∴∠E=∠M ∵∠MDC=∠B+∠DCB，∠EDC=∠BDC+∠EDB ∴∠MDC=∠EDC 又∵∠E=∠M，DC=CD ∴△DEC ≌△DMC 当点D在线段AB延长线上时，DE=DH +BH 如图3：当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD ∵BH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90° ∴△MHC ≌△BHC 1 ∴∠ABC=∠BMC ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB ∵BD=BC ∴∠BDC=∠BCD ∵BC // DE ∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED ∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD

【分析】连接PB，交于E，依据轴对称的性质以及三角形内角和定理，即可得到垂直平分 BP，∠APB=90 °，即可得到AP∥HE，进而得出∠BAP=∠BHE，依据Rt ΔBCH中， tan∠BHC= BC BH = 4 3 ，即可得出tan∠HAP= 4 3 ． 【详解】如图，连接PB，交于E， 由折叠可得，垂直平分BP，BH=PH， 又∵为B 的中点， ∴AH=BH， ∴AH=PH=BH， 又∵∠HAP+∠HPA+∠HBP+∠HPB=180 °， ∴∠APB=90 °， ∴∠APB=∠HEB=90 °， ∴AP∥HE， ∴∠BAP=∠BHE， 又∵Rt ΔBCH中，tan∠BHC= BC BH = 4 3 ， ∴tan∠HAP= 4 3 ， 故答为4 3 ． 1 【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于 轴对称，折叠前

的长，再利用Rt △DEG中，∠EGD=60°， 求出EG 及DE，再利用勾股定理求出DF 即可得到答； ②过点作CH ⊥BF于，证明△BAD≌△CHF ( AAS )，得到FH=AD，证明△BHC ∽△CHF，得到 BH CH =CH FH ，设GH=x，得到C H 2=2 (2−x )，利用勾股定理得到C G 2=G H 2+C H 2 ，求得 C G 2=x 2+2(2−x)=( ∴FH=AD， ∵AD=BG， ∴FH=BG． ∵∠BCF=90°， ∴∠BCH +∠HCF=90°． ∵∠BCH +∠HBC=90°， ∴∠HCF=∠HBC， ∵∠BHC=∠CHF=90°， ∴△BHC ∽△CHF， ∴BH CH =CH FH ． 设GH=x， ∴BH=2−x， ∴C H 2=2 (2−x )． 在Rt △GHC中，C G 2=G H 2+C

【变式5-1】（2021·山东威海·统考模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直 线）交于一点，该点叫三角形的垂心． 【问题解决】如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，为△ABC的垂心，则∠BHC的度数 为（ ） ．120° B．115° ．102° D．108° 【变式5-2】（2022·浙江绍兴·统考一模）在学习三角形高线时，发现三角形三条高线交于一点，我们把这 个交点叫做三

【分析】（1）通过证明△ABE≌△ACD即可得到结论； （2）通过证明△ACD∽△ABE计算得出CD BE = AC AB = ❑ √3 2 即可； （3）先证明△AHB∽△GHC，再证明△BHC ∽△AHG，得出BH AH = BC AG ，分两种情况计算即可． 【详解】（1）解：∵∠ACB=∠ADE=α=60°，∠ABC=∠AED=60°， ∴△ABC与△AED均为等边三角形， 由（2）知：∠ABH=∠ACG， 又∵∠AHB=∠GHC， ∴△AHB∽△GHC， ∴AH GH = HB HC ， ∴AH HB =GH HC ， 又∵∠AHG=∠BHC， ∴△BHC ∽△AHG， ∴BH AH = BC AG ， 当AH=1 3 AC，即AH=3时，则CH=AC−AH=6， 在Rt △ABC中，BC=AC ⋅tan30°=9× ❑ √3

∴∠BDM=∠MAC=45 ° 取AB的中点H，以H为圆心，HB为半径作⊙H，连接CH． ∵CA=CB ,∠ACB=90 ° ∴CH ⊥AB ,CH=BH=AH，∠BHC=90 ° ∴∠BDC=1 2 ∠BHC ∴点D的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当D 是该圆的直径时D 最大, 故CD=AB时， CD的值最大，此时CD=2❑ √2 故答为2❑ √2 【点睛】本题综合考