2022年高考数学试卷（天津）（解析卷）

1/19 2022 年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）2022．06． 一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1. 设全集 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出 ，再根据交集的定义可求 . 【详解】 ，故 ， 故选：A. 2. “ 为整数”是“ 为整数”的（ ） A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不允分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】依据充分不必要条件的定义去判定“ 为整数”与“ 为整数”的逻辑关系即可. 【详解】由题意，若 为整数，则 为整数，故充分性成立； 当 时， 为整数，但 不为整数，故必要性不成立； 所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数 的图像为（ ） 1/19 A. B. C. 2/19 D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数 的定义域、奇偶性、单调性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出 合适的选项. 【详解】函数 的定义域为 ， 且 ， 函数 为奇函数，A 选项错误； 又当 时， ，C 选项错误； 当 时， 函数单调递增，故B 选项错误； 故选：D. 4. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位： ）的分 组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， …，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20 人，第三组中没有 2/19 疗效的有6 人，则第三组中有疗效的人数为（ ） 3/19 A. 8 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】结合已知条件和频率分布直方图求出志愿者的总人数，进而求出第三组的总人数，从而可以求得 结果. 【详解】志愿者的总人数为 ＝50， 所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12． 故选：B. 5. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系. 【详解】因为 ，故 . 故答案为：C. 6. 化简 的值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式 ， 故选：B 3/19 7. 已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦点，抛物线的准线过双曲 线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为（ ） 4/19 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的 方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ， 不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ， 因为 且 ，则 为等腰直角三角形， 且 ，即 ，可得 ， 所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 . 故选：C. 8. 如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ） 4/19 A. 23 B. 24 C. 26 D. 27 【答案】D 【解析】 5/19 【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积. 【详解】该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图， 因为 ，所以 ， 因为重叠后的底面为正方形，所以 , 在直棱柱 中， 平面BHC，则 , 由 可得 平面 ， 设重叠后的EG 与 交点为 则 则该几何体的体积为 . 故选：D.9. 已知 ，关于该函数有下列四个说法： ① 的最小正周期为 ； 5/19 ② 在 上单调递增； ③当 时， 的取值范围为 ； ④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） 6/19 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假． 【详解】因为 ，所以的 最小正周期为 ，①不正确； 令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为 ， ，所以 ，③不正确； 由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平 移 个单位长度得到，④不正确． 故选：A． 第II 卷 二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分．试题中包含两个空的，答对1 个的给 3 分，全部答对的给5 分．10. 已知是虚数单位，化简 的结果为_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出． 【详解】 ． 6/19 故答案为： ． 11. 的展开式中的常数项为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合二项式定理可得 的展开式的通项为 ，令 ， 代入即可得解. 7/19 【详解】由题意 的展开式的通项为 ， 令 即 ，则 ， 所以 的 展开式中的常数项为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 12. 若直线 与圆 相交所得的弦长为 ，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于 的等式，即可解得 的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ， 圆心到直线 的 距离为 ，由勾股定理可得 ，因为 ，解得 . 故答案为： . 13. 52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A 的概率为____________；已知第一次 抽到的是A，则第二次抽取A 的概率为____________ 【答案】 ①. . ② 【解析】 【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A 的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽 到A 的条件下，第二次抽到A 的概率. 【详解】由题意，设第一次抽到A 的事件为B,第二次抽到A 的事件为C, 7/19 则 . 故答案为： ； . 14. 在 中， ，D 是AC 中点， ，试用 表示 为___________，若 ，则 的最大值为____________ 8/19 【答案】 ①. . ② 【解析】 【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由 可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出． 法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的 轨迹为以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且 仅当 与 相切时， 最大，即求出． 【详解】方法一： ， ， ，当且仅当 时取等号，而 ，所以 ． 故答案为： ； ． 方法二：如图所示，建立坐标系： 8/19 ， 9/19 ， ，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ． 故答案为： ； ． 15. 设 ，对任意实数x，记 ．若 至少有3 个零点，则实数 的取值范围为______.【答案】 【解析】 【分析】设 ， ，分析可知函数 至少有一个零点，可得出 ， 求出 的取值范围，然后对实数 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 的不等式，综合 可求得实数 的取值范围. 【详解】设 ， ，由 可得 . 要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ， 解得 或 . ①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示： 9/19 此时函数 只有两个零点，不合乎题意； ②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ， 要使得函数 至少有 个零点，则 ， 10/19 所以， ，解得 ； ③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示： 由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意； ④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ， 要使得函数 至少有 个零点，则 ， 可得 ，解得 ，此时 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 故答案为： . 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象， 利用数形结合的方法求解. 10/19 三、解答题：本大题共5 小题，共75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在 中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c.已知 . （1）求 的值； （2）求 的值； （3）求 的值. 11/19 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理 以及 解方程组即可求出； （2）由（1）可求出 ，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出 ，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1 详解】 因为 ，即 ，而 ，代入得 ，解得： ． 【小问2 详解】 由（1）可求出 ，而 ，所以 ，又 ，所以 ． 【小问3 详解】 因为 ，所以 ，故 ，又 ， 所以 ， ，而 ，所以 ， 11/19 故 ． 17. 直三棱柱 中， ，D 为 的中点，E 为 12/19 的中点，F 为 的中点． （1）求证： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求平面 与平面 所成二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量法可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线 与平面 夹角的正弦值； （3）利用空间向量法可求得平面 与平面 夹角的余弦值. 【小问1 详解】 证明：在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，则 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 12/19 13/19 则 、 、 、 、 、 、 、 、 ，则 ， 易知平面 的一个法向量为 ，则 ，故 ， 平面 ，故 平面 . 【小问2 详解】 解： ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 取 ，可得 ， . 因此，直线 与平面 夹角的正弦值为 . 【小问3 详解】 解： ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ， 取 ，可得 ，则 ， 因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 . 18. 设 是等差数列， 是等比数列，且 ．（1）求 与 的通项 公式； 13/19 （2）设 的前n 项和为 ，求证： ； （3）求 ． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 14/19 【解析】 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n 项和的关系结合分析法即可得证； （3）先求得 ，进而由并项求和可得 ， 再结合错位相减法可得解. 【小问1 详解】 设 公差为d， 公比为 ，则 ， 由 可得 （ 舍去）， 所以 ； 【小问2 详解】 证明：因为 所以要证 ， 即证 ，即证 ， 即证 ， 而 显然成立，所以 ； 【小问3 详解】 因为 ，所以 ， 14/19 设 所以 ， 则 ， 15/19 作差得 ， 所以 ， 所以 . 19. 椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足 ． （1）求椭圆的离心率； （2）直线l 与椭圆有唯一公共点M，与y 轴相交于N（N 异于M）．记O 为坐标原点，若 ， 且 的面积为 ，求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值； （2）由（1）可知椭圆的方程为 ，设直线的方程为 ，将直线的方程与椭圆方程 联立，由 可得出 ，求出点 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求 得 的值，即可得出椭圆的方程. 【小问1 详解】 15/19 解： ， 离心率为 . 【小问2 详解】 解：由（1）可知椭圆的方程为 ， 16/19 易知直线的斜率存在，设直线的方程为 ， 联立 得 ， 由 ，① ， ， 由 可得 ，② 由 可得 ，③ 联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ． 20. 已知 ，函数 （1）求函数 在 处的切线方程； （2）若 和 有公共点， （i）当 时，求 的取值范围； （ii）求证： ． 【答案】（1） （2）（i） ；（ii）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出 可求切线方程； （2）（i）当 时，曲线 和 有公共点即为 在 上有零点， 16/19 求导后分类讨论结合零点存在定理可求 . （ii）曲线 和 有公共点即 ，利用点到直线的距离得到 ，利用导数可证 ，从而可得不等式成立. 【小问1 详解】 ，故 ，而 ， 17/19 曲线 在点 处的切线方程为 即 . 【小问2 详解】 （i）当 时， 因为曲线 和 有公共点，故 有解， 设 ，故 ，故 在 上有解， 设 ，故 在 上有零点， 而 ， 若 ，则 恒成立，此时 在 上无零点， 若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为增函数， 而 ， ，故 在 上无零点， 故 ， 设 ，则 ， 故 在 上为增函数， 而 ， ， 故 在 上存在唯一零点 ， 且 时， ； 时， ； 故 时， ； 时， ；所以 在 上为减函数，在 上为增函数， 故 ， 因为 在 上有零点，故 ，故 ， 17/19 而 ，故 即 ， 设 ，则 ， 故 在 上为增函数， 18/19 而 ，故 . （ii）因为曲线 和 有公共点， 所以 有解 ，其中 ， 若 ，则 ，该式不成立，故 . 故 ，考虑直线 ， 表示原点与直线 上的动点 之间的距离， 故 ，所以 ， 下证：对任意 ，总有 ， 证明：当 时，有 ，故 成立. 当 时，即证 ， 设 ，则 （不恒为零）， 故 在 上为减函数，故 即 成立. 综上， 成立. 下证：当 时， 恒成立， ，则 ，故 在 上为增函数，故 即 恒成立. 下证： 在 上恒成立，即证： ， 18/19 即证： ，即证： ， 而 ，故 成立. 故 ，即 成立. 【点睛】 19/19 思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的 成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式.