辅助圆 例题精讲 【例1】如图， 的圆心 的坐标为 ，半径为1，直线的表达式为 ， 是直线上的动点， 是 上的动点，则 的最小值是 ． B． ． D． 【解答】解：过点 作 直线，交圆 于 点，此时 的值最小，连接 、 ， 作 于 ， 于 ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是正方形， ， ， ， 设 ， ，则 ， ， ， ， ， 解得， ， 的半径为1，

几何模型辅助线______-手拉手模型 一、方法突破 问题一：构成手拉手的必要条件． 当对一个几何图形记忆并不深刻的时候，可以尝试用文字取总结要点， 比如手拉手：四线共点，两两相等，夹角相等． 【专题说明】 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似 三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模 型。 条件：如图 短的线段中的一段, 证剩下的那一段等于另外一段较短的线段当条件或结论中出现+b=时，用截长补短． 【知识总结】 1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造 的线段和求证中那一条线段相等； 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证 明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条 于是BF=BK+KF=G+DF 上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt BD △ 和△KDF。 【类型】二、补短 “补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解 题突破，根据辅助线作法的不同也涉及四种不同的方法。 方法五： 如图4 所示，延长G 至，使=DF， 易证△DF B ≌△（SS）， 可得F=FG=B，∠DF= B=135° ∠ ， 又知∠FG=45°，可证B

常见全等辅助线添加秘籍—精准解读 《学习目标分解》 1.会添加倍长中线模型、截长补短模型的辅助线构造三角形全等； 2.会利用全等三角形的性质和判定进行相关的计算和证明 《重难点精准分析》 1.全等辅助线的添加； 2.全等三角形的性质和判定的综合应用 《专题精准分析》 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容， 本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中 本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题 分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用 “倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造 出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题 已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 倍长中线型辅助线 倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类： 倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线其中后 两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相 关的辅助线主要是倍长中线型辅助线（这里的中线指的是过中点的任意线段），此种模型 的本质都是构造“8

的最小值为2 2 ﹣． 17．（1）【学习心得】 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆 的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△B 中，B＝，∠B＝90°，D 是△B 外一点，且D＝，求∠BD 的度数．若 以点为圆心，B 为半径作辅助⊙，则点、D 必在⊙上，∠B 是⊙的圆心角，而∠BD 是圆周 角，从而可容易得到∠BD＝ 45

的最小值为2 2 ﹣． 17．（1）【学习心得】 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆 的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△B 中，B＝，∠B＝90°，D 是△B 外一点，且D＝，求∠BD 的度数．若 以点为圆心，B 为半径作辅助⊙，则点、D 必在⊙上，∠B 是⊙的圆心角，而∠BD 是圆周 角，从而可容易得到∠BD＝ 45

为的中点，求PQ 的最小值． 17．（1）【学习心得】 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆 的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△B 中，B＝，∠B＝90°，D 是△B 外一点，且D＝，求∠BD 的度数．若 以点为圆心，B 为半径作辅助⊙，则点、D 必在⊙上，∠B 是⊙的圆心角，而∠BD 是圆周 角，从而可容易得到∠BD＝ °． （2）【问题解决】

四边形中的辅助线问题 1、如图1，已知正方形BD，E 是线段B 上一点，是线段B 延长线上一点，以E 为边在直 线B 的上方作正方形EFG． （1）连接GD，求证DG＝BE； （2）连接F，求t∠F 的值； （3）如图2，将图1 中正方形BD 改为矩形BD，B＝3，B＝8，E 是线段B 上一动点 （不含端点B，），以E 为边在直线B 的上方作矩形EFG，使顶点G 恰好落在射线D 上． 的中点位置时，QK 有最小值及最小值是1． 7、已知：矩形BD 中，点E、F 为对角线上两点，F＝E． （1）如图1，求证：BE∥DF； （2）如图2，当B＝BE＝ D 时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直 接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形BD 面积的 ． （1）证明：∵四边形BD 是矩形， ∴D＝B，D∥B， ∴∠DF＝∠BE， 在△FD 和△EB 中，

为的中点，求PQ 的最小值． 17．（1）【学习心得】 于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆 的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在△B 中，B＝，∠B＝90°，D 是△B 外一点，且D＝，求∠BD 的度数．若 以点为圆心，B 为半径作辅助⊙，则点、D 必在⊙上，∠B 是⊙的圆心角，而∠BD 是圆周 角，从而可容易得到∠BD＝ °． （2）【问题解决】

四边形中作辅助线造全等 1、已知：矩形BD 中，点E、F 为对角线上两点，F＝E． （1）如图1，求证：BE∥DF； （2）如图2，当B＝BE＝ D 时，连接DE、BF，在不添加任何辅助线的情况下，请直 接写出四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形BD 面积的 ． （1）证明：∵四边形BD 是矩形， ∴D＝B，D∥B， ∴∠DF＝∠BE， 在△FD 和△EB 中， ， ∴△FD≌△EB（SS），

专题03 与角平分线有关的辅助线的三种考 法 类型一、角平分线上的点向两边作垂线 例1．如图，已知 ，P 是 的平分线 上的任意一点， 交 于点 D， 于点E，如果 ，求 的长． 【变式训练1】如图， 中， ，点 分别在边 ， 上， ， ． 求证： 平分 ． 【变式训练2】图，已知E⊥B，F⊥．E＝B，F＝，BF 与E 相交于点M． (1)E＝BF； (2)E⊥BF； (3)连接M，求证：M