截长补短模型证明问题 【专题说明】 截长补短法在初中几何学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿 着整个几何学的始终那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短截长就是在 较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段当条 件或结论中出现+b=时，用截长补短． 【知识总结】 1、补短法： 线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使 之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是 常用 如图1，若证明线段B,D,EF 之间存在EF=B+D,可以考虑截长补短法 截长法：如图2，在EF 上截取EG=B,在证明GF=D 即可； 补短法：如图3，延长B 至点，使B=D ，∠DF= KFG ∠ ， 于是△DF KGF ≌△ （S），DF=KF， 于是BF=BK+KF=G+DF 上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt BD △ 和△KDF。 【类型】二、补短 “补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破，根据辅 助线作法的不同也涉及四种不同的方法。 方法五： 如图4 所示，延长G 至，使=DF， 易证△DF B

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系 这一 类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解 所谓“截长”，就是将三者中 最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与 已知的另一段的大小关系 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已 知的较短的长度相等 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系 有的是采取截长补 有的是采取截长补 短后，使之构成某种特定的三角形进行求解 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段 如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS） ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS） 模型介绍 考点一：截长型 【例1】．如图，△B 中，∠B＝120°，D⊥B 于D，且B+BD＝D，则∠等于_______ ∴△BD≌△ED（SS）， ∴BD＝DE，∠B＝∠ED， ∵∠B＝2∠，∠ED＝∠+∠ED， ∴∠ED＝2∠， ∴∠＝∠ED， ∴E＝DE， ∴E＝BD， ∴＝E+E＝B+BD． 考点二：补短型 【例2】．已知：如图，在△B 中，B＝，D 是△B 外一点，且∠BD＝60°，∠D＝60° 求证：BD+D＝B． 证明：延长BD 到F，使BF＝B，连接F，F，

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系 这一 类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解 所谓“截长”，就是将三者中 最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与 已知的另一段的大小关系 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已 知的较短的长度相等 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系 有的是采取截长补 有的是采取截长补 短后，使之构成某种特定的三角形进行求解 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段 如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS） ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS） 模型介绍 考点一：截长型 【例1】．如图，△B 中，∠B＝120°，D⊥B 于D，且B+BD＝D，则∠等于_______ ∴△BD≌△ED（SS）， ∴BD＝DE，∠B＝∠ED， ∵∠B＝2∠，∠ED＝∠+∠ED， ∴∠ED＝2∠， ∴∠＝∠ED， ∴E＝DE， ∴E＝BD， ∴＝E+E＝B+BD． 考点二：补短型 【例2】．已知：如图，在△B 中，B＝，D 是△B 外一点，且∠BD＝60°，∠D＝60° 求证：BD+D＝B． 证明：延长BD 到F，使BF＝B，连接F，F，

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系 这一 类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解 所谓“截长”，就是将三者中 最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与 已知的另一段的大小关系 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已 知的较短的长度相等 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系 有的是采取截长补 有的是采取截长补 短后，使之构成某种特定的三角形进行求解 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段 如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS） ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS） 例题精讲 模型介绍 考点一：截长型 【例1】．如图，△B 中，∠B＝120°，D⊥B 于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE ＝3，E＝4，S△E＝14，则S△D＝________． 【变式1-3】．已知在△B 中，∠B＝2∠，∠B 的平分线D 交B 边于点D．求证：＝B+BD． 考点二：补短型 【例2】．已知：如图，在△B 中，B＝，D 是△B 外一点，且∠BD＝60°，∠D＝60° 求证：BD+D＝B． 变式训练 【变式2-1】．如图，四边形BD

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系 这一 类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解 所谓“截长”，就是将三者中 最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与 已知的另一段的大小关系 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已 知的较短的长度相等 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系 有的是采取截长补 有的是采取截长补 短后，使之构成某种特定的三角形进行求解 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段 如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS） ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS） 例题精讲 模型介绍 考点一：截长型 【例1】．如图，△B 中，∠B＝120°，D⊥B 于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE ＝3，E＝4，S△E＝14，则S△D＝________． 【变式1-3】．已知在△B 中，∠B＝2∠，∠B 的平分线D 交B 边于点D．求证：＝B+BD． 考点二：补短型 【例2】．已知：如图，在△B 中，B＝，D 是△B 外一点，且∠BD＝60°，∠D＝60° 求证：BD+D＝B． 变式训练 【变式2-1】．如图，四边形BD

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 造全等三角形的基础上， 综合运用相关知识是解题的关键． 模型2 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截 于另一短线段。 例：如图，求证BE+D=D 方法：①在D 上取一点F，使得F=BE，证DF=D；②在D 上取一点F，使DF=D，证F=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+D=D 方法：①延长D 至点M 处，使M=BE，证DM=D；②延长D 至点M 处，使DM=D，证M=BE 例1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知D∥B，∠PB

专题13 全等模型-倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 的中点，连接DF，F．请你判断线段DF 与D 的数量关系，并 给出证明； 模型2 截长补短模型 【模型解读】 截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 【常见模型及证法】 （1）截 于另一短线段。 例：如图，求证BE+D=D 方法：①在D 上取一点F，使得F=BE，证DF=D；②在D 上取一点F，使DF=D，证F=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例：如图，求证BE+D=D 方法：①延长D 至点M 处，使M=BE，证DM=D；②延长D 至点M 处，使DM=D，证M=BE 例1．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，已知D∥B，∠PB

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 ......................................................................................... 2 模型2 截长补短模型................................................................................................. 模型2 截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过 辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两 角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线

专题18 全等三角形模型之倍长中线与截长补短模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 ......................................................................................... 2 模型2 截长补短模型................................................................................................. 模型2 截长补短模型 截长补短模型分为截长模型和补短模型：适用于求证线段的和差倍分关系，截长补短的关键在于通过 辅助线构造出全等三角形、等腰三角形。该类题目条件中常出现等腰三角形（两边相等）、角平分线（两 角相等）等关键词句，可采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程（往往需证2 次全等）。 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线

重难点突破08 全等三角形8 种模型 （一线三等角、手拉手模型、倍长中线、截长补短、婆罗摩笈多、半角模型、 平行线中点模型与雨伞模型） 目 录 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 题型02 手拉手模型 题型03 倍长中线模型 题型04 平行线中点模型与雨伞模型 题型05 截长补短模型 题型06 婆罗摩笈多模型 题型07 半角模型 题型01 一线三等角模型（含一线三垂直模型） 角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 题型05 截长补短模型 模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指 将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。 图解：已知线段B、D、EF，简述利用截长补短法证明B=D+EF 的方法 截长法：在线段B 上，截取G=D，判断线段GB 上，截取G=D，判断线段GB 和线段EF 长度是否相等 补短法：延长线段D 至点，使D=EF，判断线段B 和线段G 长度是否相等 33．（2020 上·山东济南·八年级统考期末）【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的 添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另 一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，△B 是等边三角形，点D