模型14 截长补短模型（解析版）(1)

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系 这一 类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解 所谓“截长”，就是将三者中 最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与 已知的另一段的大小关系 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已 知的较短的长度相等 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系 有的是采取截长补 短后，使之构成某种特定的三角形进行求解 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段 如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS） ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS） 模型介绍 考点一：截长型 【例1】．如图，△B 中，∠B＝120°，D⊥B 于D，且B+BD＝D，则∠等于_______ 解：在D 上截取DE＝DB，连接E． 设∠B＝α， ∵B+BD＝D，DE＝DB， ∴E＝B． ∵D⊥B，DB＝DE， ∴直线D 是BE 的垂直平分线， ∴B＝E， ∴E＝E， ∴∠B＝∠E． ∵B＝E， ∴∠B＝∠EB． ∵∠EB 是△E 的一个外角， ∴∠EB＝∠B+∠E， ∴∠B＝∠EB＝2α， ∴∠B+∠B＝3α＝180° 120° ﹣ ＝60°， ∴α＝20°， ∴∠B＝20°． 变式训练 【变式1-1】．如图，△B 中，＝B，D 平分∠B，若+D＝B，求∠的度数． 例题精讲 解：在B 上截取＝E，设∠B＝x°， ∵＝B， ∴∠B＝∠B＝x° ∵D 平分∠B， ∴∠ED＝∠D， 在△ED 和△D 中 ， ∴△ED≌△D， ∴∠＝∠ED，D＝DE， + ∵D＝B，B﹣BE+E，E＝， ∴BE＝DE＝D， ∴∠B＝∠BDE＝x°， ∴∠＝∠ED＝∠B+∠BDE＝2x°， 在△B 中，x+x+2x＝180°， ∴x＝45， 即∠＝2x°＝90°． 【变式1-2】．如图，四边形BD 中，平分∠BD，E⊥B 于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE ＝3，E＝4，S△E＝14，则S△D＝________． 解：在E 上截取M＝D，连接M，∵平分∠BD，∴∠1＝∠2， 在△M 和△D 中， ，∴△M≌△D（SS），∴ ， ∵∠B＋∠D＝180°， ，∴ ， ∵E⊥B，∴ ， 在 和 中， ，∴△EM≌△EB（S），∴ME＝EB＝3， ∵E＝4，S△E＝14，∴ ，∴M＝E-EM=7-3=4， ∴ ，∴ ．故答为：８． 【变式1-3】．已知在△B 中，∠B＝2∠，∠B 的平分线D 交B 边于点D．求证：＝B+BD． 证明：在上截取E＝B，连接DE． ∵∠B 的平分线D 交B 边于点D， ∴∠BD＝∠D， 在△BD 与△ED 中， ， ∴△BD≌△ED（SS）， ∴BD＝DE，∠B＝∠ED， ∵∠B＝2∠，∠ED＝∠+∠ED， ∴∠ED＝2∠， ∴∠＝∠ED， ∴E＝DE， ∴E＝BD， ∴＝E+E＝B+BD． 考点二：补短型 【例2】．已知：如图，在△B 中，B＝，D 是△B 外一点，且∠BD＝60°，∠D＝60° 求证：BD+D＝B． 证明：延长BD 到F，使BF＝B，连接F，F， ∵∠BD＝60 度， ∴△BF 为等边三角形， ∴F＝B＝＝BF，∠FB＝60°， ∴∠F＝∠F， 又∵∠D＝60°， ∴∠FB＝∠D＝60° ∴∠DF＝∠DF， ∴D＝DF． ∴BD+D＝BD+DF＝BF＝B， 即BD+D＝B． 变式训练 【变式2-1】．如图，四边形BD 中，B∥D，点E 为D 上一点，连接BE，E，且BE、E 分 别平分∠B、∠BD．求证：B＝B+D． 证明：延长BE 交D 的延长线于点F， ∵BE 平分∠B， ∴∠BE＝∠BE， ∵B∥D， ∴∠F＝∠BE，∠＝∠FD， ∴∠F＝∠BE， ∴F＝B， ∵E 平分∠BD， ∴BE＝EF（三线合一）， 在△BE 和△DFE 中， ， ∴△BE≌△FDE（S）， ∴FD＝B， ∵F＝DF+D， ∴F＝B+D， ∴B＝B+D． 【变式2-2】．【问题背景】 如图1：在四边形 中， ， ， 、 分别是 、 上的点， 且 ，小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ， 再证明 ，可得出结论 ． 【探索延伸】如图2，若在四边形 中， ， 、 分别是 ， 上的点 ，上述结论是否仍然成立 【学以致用】 如图3，四边形 是边长为5 的正方形， ，求 的周长． 解：（1）【问题背景】如图1 在 和 中，∵ ，∴ ， ∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 在 和 中， ∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ；故答为： ． （2）【探索延伸】解：结论 仍然成立； 理由：如图2，延长 到点 ．连接 ， 在 和 中，∵ ，∴ ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 在 和 中，∵ ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ； （3）【学以致用】解：如图3，延长 到点 ，连接 ，在 与 中， ∵ ，∴ ，∴ ， ． ∵ ， ，∴ ，∴ ， 在 与 中，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ 的周长 ． 1．如图，在△B 中，BD 平分∠B，∠＝2∠DB，B＝12，D＝3，则△B 的周长为（ ） 实战演练 ．21 B．24 ．27 D．30 解：如图，在B 上截取BE＝B，连接DE， ∵BD 平分∠B，∴∠BD＝∠BD， 在△BD 和△EBD 中， ，∴△BD≌△EBD（SS），∴∠DB＝∠BDE，∠＝∠DEB， ∵∠＝2∠DB，∴∠DE＝∠DEB， ∴∠DE＝∠ED，∴D＝E， ∴△B 的周长＝D+E+BE+B+D＝B+B+D＝27，故选 ． 2．如图，D⊥B，B+BD＝D，∠B＝54°，则∠＝ 27° ． 解：在D 上截取DE＝BD，连接E， ∵D⊥B，DE＝BD， ∴D 是BE 的垂直平分线， ∴B＝E， ∴∠B＝∠EB＝54°， ∵B+BD＝D，DE+E＝D， ∴B＝E， ∴E＝E， ∴∠＝∠E， + ∵∠∠E＝∠EB＝54°， ∴∠＝∠E＝ ∠EB＝27°， 故答为：27°． 3．已知：如图，在△B 中，＝B，∠＝100°，D 平分∠B． 求证：D+D＝B． 证明：如图，在B 上截取E＝，延长D 到F 使F＝B，连接DE、BF． 又∵∠1＝∠2，D 是公共边BE， 在△D 和△DE 中， ， ∴△D≌△DE， ∴∠ED＝∠＝100°，则得∠DEB＝80° ∵＝B，D 平分∠B， 1 ∴∠＝∠2＝20°，∠3＝40° ∵F＝B，∠2＝20°， ∴∠F＝∠BF＝1/2（180° 2 ﹣∠）＝80°则∠F＝∠DEB 4 ∴∠＝80° 3 ﹣∠＝40°， 3 ∴∠＝∠4，∠F＝∠DE， 在△BDF 和△BDE 中， ， ∴△DBE≌△DBF（S） ∴DF＝DE＝D ∴B＝F＝D+DF＝D+D． 4．如图，△B 中，∠B＝60°，点D、E 分别在B、上，∠BD＝∠BE＝30°，BE、D 相交于点， G⊥B 于点G，求证：E+D＝2G． 证明：延长E 至点M，使M＝，连接M， ∵∠BD＝∠BE＝30°， ∴B＝，∠M＝30°+30°＝60°， ∵M＝， ∴△M 为等边三角形， ∴M＝＝B，∠M＝60°， ∴∠DB＝∠ME， 在△BD 和△ME 中， ， ∴△BD≌△ME， ∴D＝EM， ∴E+D＝M＝B， 在Rt△BG 中，∠BG＝30°，G⊥B， 2 ∴G＝B， ∴E+D＝2G． 5．如图，在△B 中，∠B＝60°，∠B＝40°，P、Q 分别在B、上，并且P、BQ 分别是∠B、 ∠B 的角平分线．求证： （1）BQ＝Q； （2）BQ+Q＝B+BP． 证明：（1）∵BQ 是∠B 的角平分线， ∴∠QB＝ ∠B． ∵∠B+∠B+∠B＝180°，且∠B＝60°，∠B＝40°， ∴∠B＝80°， ∴∠QB＝ ＝40°， ∴∠QB＝∠， ∴BQ＝Q； （2）延长B 至M，使得BM＝BP，连接MP． ∴∠M＝∠BPM， ∵△B 中∠B＝60°，∠＝40°， ∴∠B＝80°， ∵BQ 平分∠B， ∴∠QB＝40°＝∠， ∴BQ＝Q， ∵∠B＝∠M+∠BPM， ∴∠M＝∠BPM＝40°＝∠， ∵P 平分∠B， ∴∠MP＝∠P， 在△MP 和△P 中， ∵ ∴△MP≌△P， ∴M＝， ∵M＝B+BM＝B+BP，＝Q+Q＝Q+BQ， ∴B+BP＝Q+BQ． 6．如图，△B 两条角平分线BD，E 相交于点，∠＝60°，求证：D+BE＝B． 证明：在B 上找到F 使得BF＝BE， ， ∵∠＝60°，BD、E 是△B 的角平分线， ∴∠B＝180°﹣ （∠B+∠B）＝180°﹣ （180°﹣∠）＝120°， ∴∠BE＝∠D＝60°， 在△BE 和△BF 中， ， ∴△BE≌△BF，（SS） ∴∠BF＝∠BE＝60°， ∴∠F＝∠B﹣∠BF＝60°， 在△F 和△D 中， ， ∴△F≌△D（S）， ∴F＝D， ∵B＝BF+F， ∴B＝BE+D． 7．如图，梯形BD 中，B∥D，∠B 和∠BD 的平分线的交点E 在D 上． 求证： （1）点E 是D 的中点； （2）B＝B+D． 证明：延长E 交B 的延长线于点F． ∵E 和BE 分别是∠B 和∠BD 的平分线，即∠EB＝ ∠DB，∠EB＝ ∠B， 又∵B∥D， ∴∠DB+∠B＝180°， ∴∠EB+∠EB＝90°， ∴∠EB＝90°，即BE⊥E， ∵B∥D ∴∠DE＝∠F， 又∵∠DE＝∠EB， ∴∠F＝∠EB ∴BF＝B，E＝EF． 在△DE 和△FE 中， ， ∴△DE≌△FE， ∴DE＝E，即E 是D 的中点，D＝F， ∴B＝BF＝B+D． 8．已知，如图，BD 是△B 的角平分线，B＝， （1）若B＝B+D，请你猜想∠的度数，并证明； （2）若B＝B+D，求∠的度数？ （3）若∠＝100°，求证：B＝BD+D． 解：（1）答：∠＝90°．理由如下： 在B 上截取BE＝B，连接DE． ∵B＝B+D， ∴E＝D， ∵BD 是△B 的角平分线， ∴∠BD＝∠EBD， ∵B＝BE，BD＝BD， ∴△BD≌△EBD， ∴D＝DE＝E，∠＝∠DEB， ∴∠＝∠ED， ∴∠＝∠DEB＝∠+∠ED＝2∠， ∵B＝， ∴∠＝∠B， + ∵∠∠B+∠＝180°， 4 ∴∠＝180°， ∴∠＝45°，∠＝2∠＝90°， 即∠＝90°； （2）解：在B 上截取F＝D，连接DF． ∵B＝B+D， ∴BF＝B， ∵∠BD＝∠FBD，BD＝BD， ∴△BD≌△FBD， ∴∠＝∠DFB， ∵D＝F， ∴∠DF＝∠FD， +2 ∴∠ ∠DF＝180°， + ∵∠∠DF＝180°， 2 ∴∠∠＝180°， +2 ∵∠ ∠＝180°， 解得：∠＝108°，答：∠的度数是108°． （3）证明： 在B 上截取BQ＝BD，连接DQ，延长B 到使B＝BQ，连接D． ∵∠＝100°，＝B， ∴∠＝∠B＝40°， ∵BD 平分∠B， ∴∠DBQ＝20°， ∵BD＝BQ， ∴∠DQB＝∠BDQ＝ （180°﹣∠DBQ）＝80°， ∴∠DQ＝∠DQB﹣∠＝40°＝∠， ∴DQ＝Q， ∵在△BD 和△QBD 中 ， ∴△BD≌△QBD， ∴∠＝∠DQB＝80°，D＝DQ＝Q， ∵∠B＝100°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝180° 100° ﹣ ＝80°， 即∠D＝∠， ∴D＝D＝DQ＝Q， ∴B＝BD+D． 9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截 长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程：如图1，在△B 中，∠B＝2∠，D 平分∠B．求证：B+BD ＝．证明：在上截取E＝B，连接DE （2）如图2，D∥B，E，EB 分别平分∠DB，∠B，D 过点E，求证：B＝D+B． 证明：在上截取E＝B，连接DE，如图1： ∵D 平分∠B， ∴∠BD＝∠D， 在△BD 和△ED 中， ， ∴△BD≌△ED（SS）， ∴∠B＝∠ED，BD＝DE，又∠B＝2∠， ∴∠ED＝2∠， 而∠ED＝∠+∠ED＝2∠， ∴∠＝∠ED， ∴DE＝E， ∴B+BD＝E+E＝； （2）延长E、B 交于F， ∵B＝BF，BE 平分∠BF， ∴E＝EF， 在△DE 和△FE 中， ， ∴△DE≌△FE（S）， ∴D＝F， ∴B＝BF＝B+F＝B+D． 10．在菱形BD 中，∠BD＝60°，点E、F 分别在边B、D 上，且E＝DF，BF 与DE 交于点 G． （1）如图①，连接BD．求证：△DE≌△DBF； （2）如图②，连接G．求证：BG+DG＝G． 证明：（1）∵四边形BD 是菱形，∠BD＝60°， ∴B＝B＝D＝D，∠＝∠BD＝60°， ∴△BD 和△BD 都是等边三角形， ∴D＝DB，∠BDF＝∠DE＝60°， 在△DE 和△DBF 中， ， ∴△DE≌△DBF（SS）； （2）如图②，延长GB 到点，使B＝DG，连接、BD， 由（1）知△DE≌△DBF，△BD 是等边三角形， ∴∠DE＝∠DBF，∠BD＝∠BD＝60°， ∴∠DBF+∠B＝180°﹣∠BD＝120°， ∵四边形BD 是菱形，∠BD＝60°， ∴B＝D，∠D＝180°﹣∠BD＝120°， ∴∠DE+∠DG＝120°， ∴∠B＝∠DG， 在△B 和△DG 中， ， ∴△B≌△DG（SS）， ∴＝G，∠B＝∠DG， ∵∠BD＝∠DG+∠BG＝60°， ∴∠B+∠BG＝60°， 即∠G＝60°， ∴△G 是等边三角形， ∴G＝G， ∵G＝BG+B＝BG+DG， ∴BG+DG＝G． 11．如图，在四边形BD 中，B＝D，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别在直线B、D 上，且 ∠EF＝ ∠BD． （1）当点E、F 分别在边B、D 上时（如图1），请说明EF＝BE+FD 的理由； （2）当点E、F 分别在边B、D 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？ 若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD 之间的数量关系，并说明理由． 解：（1）EF＝BE+DF， 理由：延长EB 至G，使BG＝DF，连接G， ∵∠B+∠D＝180°，∠B+∠BG＝180°， ∴∠D＝∠BG， 在△BG 和△DF 中， ， ∴△BG≌△DF（SS）， ∴G＝F，∠BG＝∠DF， ∵∠EF＝ ∠BD， ∴∠BE+∠DF＝∠BE+∠BG＝∠EF， 即∠EG＝∠EF， 在△EG 和△EF 中， ， ∴△EG≌△EF（SS）， ∴GE＝EF， ∴EF＝BE+DF； （2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD， 在BE 上截取BM＝DF，连接M， ∵∠B+∠D＝180°，∠D+∠DF＝180°， ∴∠B＝∠DF， 在△BM 和△DF 中， ， ∴△BM≌△DF（SS）， ∴M＝F，∠BM＝∠DF， ∵∠BM+∠MD＝∠DF+∠MD， ∴∠BD＝∠MF， ∵∠EF＝ ∠BD， ∴∠EF＝ ∠MF， ∴∠EF＝∠EM， 在△ME 和△FE 中， ， ∴△ME≌△FE（SS）， ∴ME＝EF， ∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 12．如图，在锐角△B 中，∠＝60°，点D，E 分别是边B，上一动点，连接BE 交直线D 于 点F． （1）如图1，若B＞，且BD＝E，∠BD＝∠BE，求∠FE 的度数； （2）如图2，若B＝，且BD＝E，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转60°得到线段 M，连接MF，点是MF 的中点，连接．在点D，E 运动过程中，猜想线段BF，F，之间 存在的数量关系，并证明你的猜想． 解：（1）如图1 中，在射线D 上取一点K，使得K＝BE， 在△BE 和△BK 中， ， ∴△BE≌△BK（SS）， ∴BK＝E，∠BE＝∠BKD， ∵E＝BD， ∴BD＝BK， ∴∠BKD＝∠BDK＝∠D＝∠EB， ∵∠BE+∠EF＝180°， ∴∠DF+∠EF＝180°， + ∴∠∠EFD＝180°， ∵∠＝60°， ∴∠EFD＝120°， ∴∠FE＝180° 120° ﹣ ＝60°； （2）结论：BF+F＝2． 理由：如图2 中，∵B＝，∠＝60°， ∴△B 是等边三角形， ∴B＝B，∠＝∠BD＝60°， ∵E＝BD， ∴△BE≌△BD（SS）， ∴∠BF＝∠BE， ∴∠FB+∠BF＝60°， ∴∠BF＝120°， 如图2 中，延长到Q，使得Q＝，连接FQ， ∵M＝F，∠M＝∠FQ，＝Q， ∴△M≌△QF（SS）， ∴FQ＝M＝B， 延长F 到P，使得PF＝BF，则△PBF 是等边三角形， ∴∠PB+∠PB＝∠PB+∠FM＝120°， ∴∠PFQ＝∠FM＝∠PB， ∵PB＝PF， ∴△PFQ≌△PB（SS）， ∴PQ＝P，∠PB＝∠QPF＝60°， ∴△PQ 是等边三角形， ∴BF+F＝P＝Q＝2． 13．如图1，点和点B 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，且＝B，点和点D 分别在第三象 限和第二象限上，且⊥D，＝D，点的坐标为（m，），且满足（m 2 ﹣）2+|+2|＝0． （1）求点坐标； （2）求证：＝BD，⊥BD； （3）求∠BE 度数； （4）如图2，点P 在上，点Q 在B 上且P＝Q，直线⊥BP，交B 于点，M⊥Q 交BP 延 长线于点M，请猜想，M，BM 的数量关系并证明． 解：（1）∵（m 2 ﹣）2+|+2|＝0 又∵（m 2 ﹣）2≥0，|+2|≥0， ∴＝﹣2，m＝﹣4， ∴点坐标为（﹣4，﹣2）； （2）如图1 中，作⊥BD 于，F⊥于F． ∵＝B，D＝，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BD＝∠， ∴△BD≌△（SS）， ∴BD＝， ∴＝F（全等三角形对应边上的高相等）， ∴E 平分∠BE， ∵△BD≌△， ∴∠BD＝∠， 设BD 交y 轴于点R，则∠RE＝∠BR， ∴∠EB＝∠B＝90°， 即⊥BD； （3）由（2）知，⊥BD，则∠FE＝90°， ∴∠E＝∠FE＝∠FE＝90°， 故四边形EF 为矩形， 而＝F，故四边形EF 为正方形， 而E 为该正方形的对角线， ∴∠BE＝45°； （4）结论：BM＝M+． 理由：如图2 中，过点B 作B∥y 轴交M 的延长线于． ∵Q＝P，＝B，∠Q＝∠BP＝90°， ∴△Q≌△BP（SS）， ∴∠BP＝∠Q， ∵∠B＝∠B＝45°， ∴∠BP＝∠BQ， ∵M⊥Q