模型14 截长补短模型（原卷版）

有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或"差”及其比例关系 这一 类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解 所谓“截长”，就是将三者中 最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与 已知的另一段的大小关系 所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已 知的较短的长度相等 然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系 有的是采取截长补 短后，使之构成某种特定的三角形进行求解 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段 如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS） ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS） 例题精讲 模型介绍 考点一：截长型 【例1】．如图，△B 中，∠B＝120°，D⊥B 于D，且B+BD＝D，则∠等于_______ 变式训练 【变式1-1】．如图，△B 中，＝B，D 平分∠B，若+D＝B，求∠的度数． 【变式1-2】．如图，四边形BD 中，平分∠BD，E⊥B 于点E，且∠B＋∠D＝180°，若BE ＝3，E＝4，S△E＝14，则S△D＝________． 【变式1-3】．已知在△B 中，∠B＝2∠，∠B 的平分线D 交B 边于点D．求证：＝B+BD． 考点二：补短型 【例2】．已知：如图，在△B 中，B＝，D 是△B 外一点，且∠BD＝60°，∠D＝60° 求证：BD+D＝B． 变式训练 【变式2-1】．如图，四边形BD 中，B∥D，点E 为D 上一点，连接BE，E，且BE、E 分 别平分∠B、∠BD．求证：B＝B+D． 【变式2-2】．【问题背景】 如图1：在四边形 中， ， ， 、 分别是 、 上的点， 且 ，小王同学探究此问题的方法是：延长 到点 ，使 ，连接 ， 再证明 ，可得出结论 ． 【探索延伸】如图2，若在四边形 中， ， 、 分别是 ， 上的点 ，上述结论是否仍然成立 【学以致用】 如图3，四边形 是边长为5 的正方形， ，求 的周长． 1．如图，在△B 中，BD 平分∠B，∠＝2∠DB，B＝12，D＝3，则△B 的周长为（ ） ．21 B．24 ．27 D．30 2．如图，D⊥B，B+BD＝D，∠B＝54°，则∠＝ ． 3．已知：如图，在△B 中，＝B，∠＝100°，D 平分∠B． 求证：D+D＝B． 4．如图，△B 中，∠B＝60°，点D、E 分别在B、上，∠BD＝∠BE＝30°，BE、D 相交于点， G⊥B 于点G，求证：E+D＝2G． 实战演练 5．如图，在△B 中，∠B＝60°，∠B＝40°，P、Q 分别在B、上，并且P、BQ 分别是∠B、 ∠B 的角平分线．求证： （1）BQ＝Q； （2）BQ+Q＝B+BP． 6．如图，△B 两条角平分线BD，E 相交于点，∠＝60°，求证：D+BE＝B． 7．如图，梯形BD 中，B∥D，∠B 和∠BD 的平分线的交点E 在D 上． 求证： （1）点E 是D 的中点； （2）B＝B+D． 8．已知，如图，BD 是△B 的角平分线，B＝， （1）若B＝B+D，请你猜想∠的度数，并证明； （2）若B＝B+D，求∠的度数？ （3）若∠＝100°，求证：B＝BD+D． 9．阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截 长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明． （1）请完成下题的证明过程：如图1，在△B 中，∠B＝2∠，D 平分∠B．求证：B+BD ＝．证明：在上截取E＝B，连接DE （2）如图2，D∥B，E，EB 分别平分∠DB，∠B，D 过点E，求证：B＝D+B． 10．在菱形BD 中，∠BD＝60°，点E、F 分别在边B、D 上，且E＝DF，BF 与DE 交于点 G． （1）如图①，连接BD．求证：△DE≌△DBF； （2）如图②，连接G．求证：BG+DG＝G． 11．如图，在四边形BD 中，B＝D，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别在直线B、D 上，且 ∠EF＝ ∠BD． （1）当点E、F 分别在边B、D 上时（如图1），请说明EF＝BE+FD 的理由； （2）当点E、F 分别在边B、D 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？ 若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD 之间的数量关系，并说明理由． 12．如图，在锐角△B 中，∠＝60°，点D，E 分别是边B，上一动点，连接BE 交直线D 于 点F． （1）如图1，若B＞，且BD＝E，∠BD＝∠BE，求∠FE 的度数； （2）如图2，若B＝，且BD＝E，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转60°得到线段 M，连接MF，点是MF 的中点，连接．在点D，E 运动过程中，猜想线段BF，F，之间 存在的数量关系，并证明你的猜想． 13．如图1，点和点B 分别在y 轴正半轴和x 轴正半轴上，且＝B，点和点D 分别在第三象 限和第二象限上，且⊥D，＝D，点的坐标为（m，），且满足（m 2 ﹣）2+|+2|＝0． （1）求点坐标； （2）求证：＝BD，⊥BD； （3）求∠BE 度数； （4）如图2，点P 在上，点Q 在B 上且P＝Q，直线⊥BP，交B 于点，M⊥Q 交BP 延 长线于点M，请猜想，M，BM 的数量关系并证明． 14．如图所示：△B 是等腰直角三角形，B＝，直角顶点在x 轴上，一锐角顶点B 在y 轴上 （1）如图1 所示，若的坐标是（2，0），点的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B 的坐标； （2）如图2，若y 轴恰好平分∠B，与y 轴交于点D，过点作E⊥y 轴于E，问BD 与E 有 怎样的数量关系，并说明理由； （3）如图3 角边B 在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作F⊥y 轴于F，在滑 动的过程中，两个结论① 为定值；② 为定值，只有一个结论成立，请你 判断正确的结论加以证明，并求出定值．