专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角 ....................2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................................................... 2 模型2 等直+高分线模型...................... ...................................................................................15 模型1 等直内接等直模型 等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为 原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。 条件：已知如图，等腰直角三角形B，∠B=90°，P

专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角 ....................2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................................................... 2 模型2 等直+高分线模型...................... ...................................................................................15 模型1 等直内接等直模型 等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为 原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。 条件：已知如图，等腰直角三角形B，∠B=90°，P

专题245 圆内接四边形【六大题型】 【人版】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.........................................................................................................1 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】...................... ........................5 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.........................................................................................................9 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】..................... .........................13 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】...................................................................................................16 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】....................

专题245 圆内接四边形【六大题型】 【人版】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.........................................................................................................1 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】...................... ........................2 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.........................................................................................................3 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】..................... .........................4 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】.....................................................................................................5 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】....................

专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客， 并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系 统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .......................................... ..........................................................................................8 模型3 等边内接等边................................................................................................. 模型3 等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形B 中，点D，E，F 分别在边B，B，上运动，且满足D=BE=F； 结论：三角形DEF 也是等边三角形。 证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ． ∵ ，∴ ． 在 和 中， ∴ （ ）， ∴ ．同理 ，∴ ，∴ 是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型）

专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客， 并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系 统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .......................................... ..........................................................................................3 模型3 等边内接等边................................................................................................. 模型3 等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形B 中，点D，E，F 分别在边B，B，上运动，且满足D=BE=F； 结论：三角形DEF 也是等边三角形。 证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ． ∵ ，∴ ． 在 和 中， ∴ （ ）， ∴ ．同理 ，∴ ，∴ 是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型）

情感科普短视频文案 标题：直男和直男癌的区别是什么？ 直男是不解风情，直男癌是活在过去。 直男的直接表现可能就是看不懂女朋友的口红色号，听不懂女朋友拐弯抹角的 画外音。虽然不能精准的get 到女朋友的想法，但他们还是表现出对女朋友的 关怀和努力去理解女朋友心思的行为。 然而直男癌则会出于对女朋友的控制欲和占有欲，对女朋友的行为有所规定， 不让女朋友出于自身意愿选择自己想要做的事。也有可能是一些刻板的大男子 可能是一些刻板的大男子 主义的思想，比如认为女性天经地义应该做贤妻良母等等。 总而言之，直男在某些时候会显露出可爱的一面，而直男癌只会让人感到厌恶。

重难点突破09 相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平 ，点E 在边D 上，点F 在边D 的延长线上， ∠FEG= EB=90° ∠ ，且EF EG = AE EB ，连接BG 交D 于点．求证：B=G． 【拓展】（3）如图③，点E 在四边形BD 内，∠EB+ DE=180° ∠ ，且AE EB = DE EC ，过E 作EF 交D 于点F，若 ∠EF= EB ∠ ，延长FE 交B 于点G．求证：BG=G． 33．（2021·浙江衢州·统考中考真题）【推理】 分别交AD 、AE和AC于点L、M和N， 求 LM MN 的值． 【拓展提高】 (3)如图3， 点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点， AB=3， 延长CD至点F， 使 DF=2 DE， 连 接CG， 求CG的最小值． 37．（2022·浙江宁波·统考中考真题） (1)如图1，在△ABC中，D，E，F 分别为AB , AC ,BC上的点，DE∥BC ,BF=CF , AF交DE于点G，

重难点突破09 相似三角形8 种模型 （字、8 字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模型、 手拉手模型） 目 录 题型01 字模型 题型02 8 字模型 题型03 射影定理 题型04 一线三等角模型 题型05 线束模型 题型06 三角形内接矩形模型 题型07 三平行模型 题型08 手拉手模型（旋转模型） 相似三角形的判定方法： 1）平 ∴△PCB∽△PAD， ∴ PC PA = PB PD ，即4 ❑ √2 3r = r 6 ❑ √2 ， ∴r=4， 即B=4 故答为：4 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两 个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻 找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作 ，点E 在边D 上，点F 在边D 的延长线上， ∠FEG= EB=90° ∠ ，且EF EG = AE EB ，连接BG 交D 于点．求证：B=G． 【拓展】（3）如图③，点E 在四边形BD 内，∠EB+ DE=180° ∠ ，且AE EB = DE EC ，过E 作EF 交D 于点F，若 ∠EF= EB ∠ ，延长FE 交B 于点G．求证：BG=G． 【答】（1）见解析 （2）见解析

勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， ∴∠FB＞∠EB， ∵∠FB＝∠PB， ∴∠PB＞∠EB， 故点P 位于D 的中点时，∠PB 最大： （3）如图3，过点E 作E∥DF 交D 于点，作线段B 的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂 直平分线上取点，使＝Q， 以点为圆心，长为半径作圆，则⊙切E 于点G，连接G，并延长交DF 于点P，此时点P 即为小刚所站的位置， 由题意知DP＝Q＝ ， ∵＝Q＝BD+QB﹣D＝BD+ B﹣D， ﹣ ＝13 米， ∴DP＝ 米， 即小刚与大楼D 之间的距离为4 米时看广告牌效果最好． 9．如图，在平面直角坐标系xy 中，点与点B 的坐标分别是（1，0），（7，0）． （1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠PB＝45°，那么称点P 为线段B 的“完美点”． ①设、B、P 三点所在圆的圆心为，则点的坐标是 （ 4 ， 3 ） ，⊙的半径是