专题24.5 圆内接四边形【六大题型】（原卷版）

专题245 圆内接四边形【六大题型】 【人版】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.........................................................................................................1 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】..................................................................................................2 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.........................................................................................................3 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】..........................................................................................4 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】.....................................................................................................5 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】..............................................................................7 【知识点1 圆内接四边形】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】 【例1】（2022•自贡）如图，四边形BD 内接于⊙，B 是⊙的直径，∠BD＝20°，则∠BD 的 度数是（ ） ．90° B．100° ．110° D．120° 【变式1-1】（2022•云州区一模）如图，四边形BD 内接于⊙，连接B，D．当四边形BD 是菱形时，则∠B+∠D 的度数是（ ） 圆的内接四边形对角互补 四边形 是 的内接四边形 E D C B A 1 ．65° B．60° ．55° D．50° 【变式1-2】（2022•蜀山区校级三模）如图，四边形BD 是⊙的内接四边形，BE 是⊙的直 径，连接E．若∠BD＝2∠BD，若连接D，则∠DE 的度数是 ． 【变式1-3】（2022 秋•包河区期末）如图，四边形BD 内接于⊙，∠1+ 2 ∠＝64°，∠3+ 4 ∠＝ °． 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 【例2】（2022•碑林区校级四模）如图所示，四边形BD 是圆的内接四边形，∠＝45°，B＝ 4，D＝2❑ √2，则弦BD 的长为（ ） ．2❑ √5 B．3❑ √5 ．❑ √10 D．2❑ √10 【变式2-1】（2022•延边州二模）如图，四边形BD 内接于⊙，过B 点作B⊥D 于点，若 1 ∠BD＝135°，B＝4，则B 的长度为（ ） ．❑ √2 B．2❑ √2 ．3❑ √2 D．不能确定 【变式2-2】（2022•宁津县模拟）如图，在平面直角坐标系xy 中，点在x 轴负半轴上，点 B 在y 轴正半轴上，⊙D 经过，B，，四点，∠＝120°，B＝4，则圆心点D 的坐标是（ ） ．(❑ √3，1) B．(−❑ √3，1) ．(−1，❑ √3) D．(−2，2❑ √3) 【变式2-3】（2022 秋•汉川市期中）已知M 是弧B 的中点，MP 垂直于弦B 于P，若弦的 长度为x，线段P 的长度是x+1，那么线段PB 的长度是 ．（用含有x 的代数式表 示） 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】 【例3】（2022•贺州模拟）如图，四边形BD 内接于⊙，∠B：∠D＝2：1，B＝2，点为^ BD 的中点，延长B、D 交于点E，且∠E＝60°，则⊙的面积是（ ） ．π B．2π ．3π D．4π 1 【变式3-1】（2022 秋•青山区期中）如图，四边形BD 为⊙的内接四边形，∠D+∠B＝ 180°．若D＝2，B＝6，则△B 的面积为（ ） ．3 B．6 ．9 D．12 【变式3-2】（2022•鹿城区模拟）如图，圆内接四边形BD 中，∠BD＝90°，B＝D，点E 在 D 的延长线上，且DE＝B，连接E，若E＝4，则四边形BD 的面积为 ． 【变式3-3】（2022•碑林区校级一模）如图，已知＝2❑ √2，以为弦的⊙上有B、D 两点，且 ∠B＝∠D，则四边形BD 的面积最大值为 ． 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】 【例4】（2022•银川模拟）如图，圆内接四边形BD 的对角线，BD 把它的4 个内分角成8 个角，用下列关于角的等量关系不一定成立的是（ ） ．∠1＝∠4 B．∠1+ 2+ 3+ 5 ∠ ∠ ∠＝180° ．∠4＝∠7 D．∠D＝∠2+ 5 ∠ 1 【变式4-1】（2022 秋•西湖区校级期中）若四边形BD 为圆内接四边形，则下列哪个选项 可能成立（ ） ．∠：∠B：∠：∠D＝1：2：3：4 B．∠：∠B：∠：∠D＝2：3：1：4 ．∠：∠B：∠：∠D＝3：1：2：4 D．∠：∠B：∠：∠D＝4：3：2：1 【变式4-2】（2022•南皮县模拟）如图，已知四边形BE 内接于⊙，点D 在的延长线上，E 平分∠BD 交⊙于点E，则下列结论中一定正确的是（ ） ．B＝E B．B＝BE ．E＝BE D．B＝ 【变式4-3】（2022•碑林区校级模拟）如图，，P，B，是⊙上的四个点，∠P＝∠PB＝60°， P 交B 于点E．（1）判断△B 的形状，证明你的结论；（2）①若P 是^ AB的中点，求证： P＝P+PB；②若点P 在^ AB上移动，判断P＝P+PB 是否成立，证明你的结论 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】 【例5】（2022•思明区校级一模）已知四边形BD 内接于⊙，∠D＝90°，P 为^ CD上一动点 （不与点，D 重合）． （1）若∠BP＝30°，B＝3，求⊙的半径； （2）若∠＝90°，^ AD=^ AB，求证：PB﹣PD¿ ❑ √2P． 【变式5-1】（2022 秋•陵城区期末）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻 的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． 如图1，∠E 是△B 中∠的遥望角，如图2，四边形BD 内接于⊙，^ AD=^ BD，四边形BD 的外角平分线DF 交⊙于点F，连接BF 并延长交D 的延长线于点E． 求证：∠BE 是△B 中∠B 的遥望角． 1 【变式5-2】（2022•龙岩模拟）如图，四边形BD 内接于⊙，平分∠BD，延长D 交B 的延 长线于点E． （1）若∠D＝86°，求∠BE 的度数； （2）若＝E，求证：D＝BE． 【变式5-3】（2022•天津）如图，⊙和⊙′都经过、B 两点，过B 作直线交⊙于，交⊙′于D， G 为圆外一点，G 交⊙于E，GD 交⊙′于F． 求证：∠EF+∠G＝180°． 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】 【例6】（2022 春•涟水县校级期末）如图1，已知△B，B＝，以边B 为直径的⊙交B 于点 D，交于点E，连接DE． （1）求证：DE＝D． （2）如图2，连接E，将∠ED 绕点D 逆时针旋转，使∠ED 的两边分别交E 的延长线于 点F，的延长线于点G．试探究线段DF、DG 的数量关系． 1 【变式6-1】（2022•赤峰）如图，四边形BD 为⊙的内接四边形，B＝． （1）若∠B＝40°，求∠D 的度数； （2）若BD⊥交于点E，请判断∠B 和∠D 之间的数量关系，并证明． 【变式6-2】（2022 秋•香洲区校级期中）画∠，在∠的两边分别取点B，点，在∠的内部取 一点P，连接PB，P．探索BP 与∠，∠B，∠之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式6-3】（2022•阜宁县二模）我们学过圆内接四边形，学会了它的性质；圆内接四边 形对角互补．下面我们进一步研究． （1）在图（1）中．∠ED 是圆内接四边形BD 的一个外角．请你探究∠DE 与∠的关系． 并说明理由． （2）请你应用上述结论解答下题：如图（2）已知BD 是圆内接四边形，F、E 分别为 BD，D 延长线上的点．如果DE 平分∠FD．求证：B＝． 1