2024 届高考语文思辨性作文 写作指导13：二元思辨性“自修处求强”与“胜人处求 强” 作文话题+题目+素材运用+金句+范文展示 真题回放 阅读下面的材料，根据要求写作。（60 分） 材料一：在刚刚落幕的东京奥运会上，我们致敬“勇夺首金”的杨倩，为 她备赛阶段不断稳定心态、专注于提高自身而动容；我们亦致敬“无冕之 王”的苏炳添，为他持续改进技术、执着于超越自我而喝彩；而此届奥运会 中金牌榜的比拼更是激烈：中国代表队一度以34 金领跑奥运金牌榜首，“中 国第一”的求胜强音奏起；比赛收官之日，当美国队在金牌榜首以39：38 反超中国时，“功亏一篑”的失落声阵阵。 材料二：《曾国藩家书》云：“吾辈在自修处求强则可，在胜人处求强则 不可”。 对于以上材料，你有何看法？请结合材料写一篇文章，体现你的感悟与思 考。 要求：选准角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭； 不得泄露个人信息；不少于 此层材料呈现的是当下社会热点内容：“勇夺首金”的杨倩、“无冕之 王”的苏炳添，我们致敬他们自修处求强，在自胜处求强。在奥运会金牌榜 的比拼中，“中国第一”的求胜强音奏起与“功亏一篑”的失落声阵阵则体 现了国人“胜人处求强”之心。 材料第二层： 《曾国藩家书》云：“吾辈在自修处求强则可，在胜人处求强则不可”。 此是曾国藩在给弟弟曾国荃的信中语，曾国荃受其母亲影响，生性刚直倔 强，处处想胜

胡不归求最小值 内容导航 方法点拨 从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他得知在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日 夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径--B（如图所示：是出发地，B 是目的地， 是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他赶到父亲眼前时，老人已去世了，邻舍 告诉小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归 M N C B A ，记 ， 即求B+k 的最小值． 构造射线D 使得s∠D=k，/=k，=k． CH=kAC sinα= CH AC =k H D α A B C N M 将问题转化为求B+最小值，过B 点作B⊥D 交M 于点，交D 于点，此时B+取到最小值，即B+k 最 小． M N C B A α D H 在求形如“P+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 例1．如图①，已知抛物线y＝﹣ x2+ x+2 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，抛物线 的顶点为Q，连接B． （1）求直线B 的解析式； （2）点P 是直线B 上方抛物线上的一点，过点P 作PD⊥B 于点D，在直线B 上有一动点M，当 线段PD 最大时，求PM+ MB 最小值； 【解答】解：（1）令y＝0，﹣ x2+ x+2 ＝0，解得x＝﹣1 和4， ∴（﹣1，0），B（4，0），

阿氏圆求最小值 内容导航 方法点拨 点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题； 点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平 面上两点 、B，则所有满 足 P=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希 腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。 如图 1 所示，⊙ 的半径为 r，点 、B 都在⊙ =k·r，则可说 明△BP 与△P 相似，即 k·PB=P。故本题求 “P+k·PB”的最小值可以转化为 “P+P”的最小值，其中与 与 为定点,P 为动点，故当 、 P、 三点共线时， “P+P”值最小。如图3 所示： 【破解策略详细步骤解析】 例题演练 例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x 的顶点为点 （1）求点的坐标； （2）点B 为抛物线上横坐标等于﹣6 的点，点M 的点，点M 为线段B 的中点，点P 为直线B 下方抛物线上 的一动点．当△PM 的面积最大时，过点P 作P⊥y 轴于点，若在坐标平面内有一动点Q 满足PQ ＝ ，求Q+ Q 的最小值； 【解答】解：（1）∵y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4， ∴（﹣2，﹣4）； （2）如图1，过P 作P⊥x 轴交B 于，作PG⊥B 于G，过M 作MD⊥y 轴交y 轴于D， ∵点B 为抛物线上横坐标等于﹣6

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P 中，B＝2，将△B 绕点B 顺时针旋转60°得到△′B′′，则′＝ ； 问题探究 （2）如图②，在△B 中，B＝B＝3，∠B＝30°，点P 为△B 内一点，连接P、PB、P，求P+PB+P 的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形BD 中，D∥B，B＝6，D＝4，∠B＝∠BD＝60°．在四边形BD 内部有一点， 满足∠PD＝120°，连接BP、P，点Q 的坐标为（0，2），点D 在x 轴的正半轴上，∠DB＝ 30°，E 为△BD 的中线，过B、E 两点的抛物线 与x 轴相交于、F 两点（在F 的 左侧）． （1）求抛物线的解析式； （2）等边△M 的顶点M、在线段E 上，求E 及M 的长； （3）点P 为△B 内的一个动点，设m＝P+PB+P，请直接写出m 的最小值，以及m 取得最小值时， 线段P 的长． 【解答】解：（1）过E 作EG⊥D

我奉劝你， 离“画大饼”的人远点， 他大笔挥斥方遒的时候， 搞不好会戳到你的眼。 戳到肋骨也不行啊， 疼。 小马还在考虑怎么过河呢， 老骥伏在枥边，嘴里嚼着上等的草料， 跟小马说， 不要被眼前滔滔江水所蒙蔽，都是幻觉， 你要想想千里之外，有一片大草原， 任你驰骋。 不要对眼前的三根胡萝卜沾沾自喜， 你有才能只是缺机会， 你要有格局，有视野，有高度， 只要你敢拼敢闯，

将军饮马求最值1--对称 内容导航 方法点拨 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析： （一）、已知两个定点： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P+PB 最小； （1）点、B 在直线m 两侧： （2）点、B 在直线同侧： 、’ 是关于直线m 的对称点。 2、在直线m、上分别找两点P、Q，使P+PQ+QB 最小。 变式一：已知点、B 位于直线m, 的内侧，在直线、m 分别上求点D、E 点，使得围成的四边 形DEB 周长最短 变式二：已知点位于直线m, 的内侧, 在直线m、分别上求点P、Q 点P+PQ+Q 周长最短 二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析： 1、在一条直线m 上，求一点P，使P 与PB 的差最大； （1）点、B 例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3 与x 轴交于点，在抛物线第一象限的图象上存在一点 B，x 轴上存在一点，使∠B＝90°，＝B，抛物线的顶点为D． （1）求直线B 的解析式； （2）如图2，若点E 是B 上一动点（点、B 除外），连接E，E，当E+E 的值最小时，求△BDE 的面积； 【解答】解：（1）由题意（﹣1，0），B（3，0），（0，﹣3） m B A m A B m A B

将军饮马求最值2--平移 内容导航 方法点拨 已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上 要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解) （1）点、B 在直线m 两侧： 过点作∥m,且长等于PQ 长，连接B,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 作DE∥交抛物线于点E，交y 轴于点P． （1）点F 是直线下方抛物线上点一动点，连DF 交于点G，连EG，当△EFG 的面积的最大值时， 直线DE 上有一动点M，直线上有一动点，满足M⊥，连GM，，求GM+M+的最小值； 【解答】解：（1）如图1 中，作F∥y 轴交DE 于．设F（m， m2+ m+2 ）． 由题意可知（﹣6，0），B（﹣2，0），（0，2 ）， ∵抛物线的对称轴x＝﹣4，，D （1）点G 是直线B 上方抛物线上一动点（不与B、重合），过点G 作y 轴的平行线交直线B 于 点E，作GF⊥B 于点F，点M、是线段B 上两个动点，且M＝EF，连接DM、G．当△GEF 的周 长最大时，求DM+M+G 的最小值； 【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4 ∴抛物线与x 轴交于点（﹣1，0）、点B（3，0），与y 轴交于点（0，3），顶点D（1，4），

四边形周长求最值问题 1．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于和B（－3，0）两 点，与y 轴交于（0，－3），对称轴为直线 ，直线y＝－2x＋m 经过点，且与y 轴交 于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F． （1）求抛物线的解析式和m 的值； （2）在y 轴上是否存在点P，使得以D、E、P 为顶点的三角形与△D 相似，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，试说明理由； 2．（2021·新疆沙依巴克·中考三模）如图，抛物线 经过点 ，与 轴交 于点 和点 （点 在点 的右边），且 ． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图1，点 、 在直线 上的两个动点，且 ，点 在点 的上方，求四边 形 的周长的最小值； （3）如图2，点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为3：5 两部 分，求点 的坐标． 【答】（1） ，顶点坐标为（1，4）； （2）四边形 的周长的最小值为 本题考查二次函数综合题、涉及待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与 性质，勾股定理、轴对称、一次函数等知识，灵活掌握相关知识是解题的关键 3．（2021·山东曹县·九年级期中）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若 是抛物线上任意一点，过点 作 轴的平行线，交直线 于点 ，若 ， 求点 的坐标． （3）设点 ，

四边形面积求最值问题 1．（2021·广西·中考一模）如图，已知抛物线y＝﹣ x2+bx+与x 轴交于原点和点(6， 0)，抛物线的顶点为B． （1）求该抛物线的解析式和顶点B 的坐标； （2）若动点P 从原点出发，以每秒1 个长度单位的速度沿线段B 运动，同时有一动点M 从 点出发，以每秒2 个长度单位的速度沿线段运动，当P、M 其中一个点停止运动时另一个 点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t 点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t 为何值时，四边形BPM 的面积最小？并求此最小值． （3）在（2）的条件下，当t 为何值时， PM 是直角三角形？ 【答】（1） ，B ， ；（2） ， ；（3） 秒或 秒 【分析】 （1）根据点 ， 的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析 式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点 的坐标； （2）当运动时间为时， ， ， ， ，结合点 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、待定系数法求一次函数解析式、 三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出 二次函数解析式，同时注意分类讨论． 2．（2021·重庆巴蜀中学中考二模）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左侧），其中 ，并且抛物线过点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点