最大角——米勒问题 一、方法突破 【问题描述】 1471 年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点、B 直线l 的同一侧，在直线l 上取一点P，使得∠PB 最大，求P 点位置． P B A l 【问题铺垫】 圆外角：如图，像∠PB 这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． C D A B O P 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半． 【问题解决】 结论：当点P 不与、B 共线时，作△PB 的外接圆，当圆与直线l 相切时，∠PB 最大． l A B O P M 证明：在直线l 上任取一点M（不与点P 重合），连接M、BM， ∠MB 即为圆的圆外角， ∴∠PB>∠MB，∠PB 最大． ∴当圆与直线l 相切时，∠PB 最大． 特别地，若点、B 与P 分别在一个角的两边，如下图，则有 ．（切割线定 理） A B O 二、典例精析 例一：练习：如图，在平面直角坐标系中，（1，0）、B（5，0）直线l 经过点（-1， 2），点P 是直线l 上的动点，若∠PB 的最大值为45°，求直线l 的解析式． l x y A B C 【分析】 考虑到直线l 未知但∠PB 的最大值已知为45°，故构造圆． 记△BP 外接圆圆心为M 点，则∠MB=2∠PB=90°， 故可确定M 点位置． M C B A y x

线段周长面积最大值 内容导航 方法点拨 例题演练 题组 1 ：线段的最大值 例1．如图，抛物线y＝ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对称轴交x 轴于 点D，已知（﹣1，0），（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）线段B 上有一动点P，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ 的最大值． 的最大值． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，（﹣1，0）， （0，2）． ∴ ， 解得： ， 故抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+2； （2）令y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， ∴ ，解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， 设P（m，﹣ m+2）；则Q（m，﹣ m2+2m＝﹣ （m﹣2） 2+2， 此时PQ 的最大值为2． 练11 如图所示，二次函数y＝x2﹣ x+的图象经过点（0，1），B（﹣3， ），点在y 轴上，过 点B 作B⊥x 轴，垂足为点． （1）求直线B 的解析式和二次函数的解析式； （2）点是二次函数图象上一点（点在B 上方），过作P⊥x 轴，垂足为点P，交B 于点M，求M 的最大值； 【解答】解：（1）设直线B 的解析式为：y＝kx+b，

P-PB 最大值模型 一、方法突破： 1．口诀：同侧差最大 2．图形：如图 1 所示，、B 为定点，P 为 l 上一动点，试求 的最大值与最小值． 解析 1：“最大值” ① 两边只差小于第三边， ≤B，当 、B、P 三点共线时，取等号 ② 所以连接 B 并延长与 l 的交点即为所求点 解析 2：“最小值” ① 绝对值具有非负性 ≥0，当 P＝PB 时成立 是x 轴上任意一点，求证：P﹣PB≤B； （3）当P﹣PB 最大时，求点P 的坐标． 【分析】（1）把抛物线解析式的一般式写成顶点式，可求顶点坐标，令x＝0，y＝2， 可得B 点坐标； （2）当、B、P 三点共线时，P﹣PB＝B，当三点不共线时，根据“三角形的两边之差 小于第三边”可证结论； （3）通过分析可知，P﹣PB 最大时，、B、P 三点共线，求直线B 解析式，令y＝0， 可得P P﹣PB＝B． 当点P 在x 轴上又异于B 的延长线与x 轴的交点时， 在点P、、B 构成的三角形中，P﹣PB＜B． 综合上述：P﹣PB≤B （3）解：作直线B 交x 轴于点P，由（2）可知：当P﹣PB 最大时，点P 是所求的点 作⊥P 于． ∵B⊥P， ∴△BP∽△P ∴ 由（1）可知：＝3、＝2、B＝2， ∴P＝4， 故P（4，0）． 注：求出B 所在直线解析式后再求其与x 轴交点P（4，0）等各种方法只要正确也相应

垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， ∠PB＝∠B， 例题精讲 ' ∴∠B＜∠B， ∴⊙M 与y 轴相切于点时，∠B 最大． 如图②，作M⊥B，连接M、M、MB， ∵⊙M 与y 轴相切于点， ∴∠M＝90°，

垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ ． 【变式1-2】．如图，∠B＝60°，M，是B 上的点，M＝4，M＝

垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， ∠PB＝∠B， 例题精讲 ' ∴∠B＜∠B， ∴⊙M 与y 轴相切于点时，∠B 最大． 如图②，作M⊥B，连接M、M、MB， ∵⊙M 与y 轴相切于点， ∴∠M＝90°，

垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ ． 【变式1-2】．如图，∠B＝60°，M，是B 上的点，M＝4，M＝

如图，已知抛物线 经过 ， 两点，与 轴的另一个交点为 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）点 为该抛物线上一动点（与点 、 不重合），设点 的横坐标为m．当点 在 直线 的下方运动时，求 的面积的最大值． x y A B C O P 【分析】 （1） ， （2）取B 两点之间的水平距离为水平宽，过点P 作PQ⊥x 轴交直线B 于点Q，则PQ 即为 铅垂高． Q P O 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=x+1， 设P 点坐标为（m，m²+6m+5），则点Q（m，m+1）， 得PQ=-m²-5m-4， 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积就最大． 当 时，△BP 面积最大，最大值为 ． 【小结】选两个定点作水平宽，设另外一个动点坐标来表示铅垂高． 例二、 在平面直角坐标系中，将二次函数 的图像向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 在一次函数的图像下方，求 面积的最大值，并求出此时点 的坐标． E D C B A y x 【分析】 （1）抛物线解析式： ； 一次函数解析式： ． （2）显然，当△E 面积最大时，点E 并不在之间． 已知（-1,0）、 ， 设点E 坐标为 ，过点E 作EF⊥x 轴交直线D 于F 点， F 点横坐标为m，代入一次函数解析式得 可得 考虑到水平宽是定值，故铅垂高最大面积最大． F

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 问题在初中最值的考 问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大。 M O N A B C B A O N M C 【模型证明】如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角，∠B 是圆周 角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 D

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 问题在初中最值的考 问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大。 M O N A B C B A O N M C 【模型证明】如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角，∠B 是圆周 角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 D