2025 年陕西省延安市延长县延安市延长县实验小学北师大版小学一 年级语文下学期期末考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. “ 下列词语中，哪个字的声母是b”？ A. 爸 B. 妈 C. 哥 D. 弟 2. “ ” 春字的拼音是？ A. chūn B. cūn C. chōng D. cōng 3. 下列哪个词语是表示动物的？ A. 苹果

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，则 边的取值范围 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长D 至E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三角形对应边相等 可得B=E，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出E 的取值范 围，即为B 的取值范围． 【详解】解：如图，延长D 至E，使DE=D， 知识点管理 归类探究 三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线 三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线 三角形边长的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边 倍长中线定义：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶 点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之 间的关系（通常用“SS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 ∵D 是△B 的中线， 变式训练 【变式1-1】（2021·全国）如图， 是 的边 上的中线， ，则 的取值范围为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长 至点E，使 ，连接 ，证明 ，可得 ，然后运用 三角形三边关系可得结果． 【详解】如图，延长 至点E，使 ，连接 ． ∵ 为 的 边上的中线， ∴ ， 在 和 中， ∴ ， ∴ ． 在 中， ， 即 ， ∴ ， 故选：．

年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的 一个重要定理。 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边B、B、或其延长线交于F、D、E 点，那 么 ．这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E 分别是 的三边B、B、或其延长线的三点，如果 ，则F、D、E 三点共线． 图1 塞瓦（G·Gev1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678 年发表了一个著名的定理，后 世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△B 内任取一点G，延长G、BG、G 分别交对边于D、E、F， 如图2，则 。 注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是 三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦 ．M 为B 边上的中线， 于点D，D 的延长线交B 于点E．求 ． 例3（2023 湖北九年级期中）如图，点D、E 分别在 的边、B 上， ， ，BD 与E 交 于点F， ．求 ． F D E C B A 例4（2023 江苏九年级月考）已知D 是 的高，点D 在线段B 上，且 ， ，作 于点E， 于点F，连接EF 并延长，交B 的延长线于点G，求G． 例5（2023 广东九年级专项训练）如图，在

..................20 模型1 倍长中线模型 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。 所谓倍长中线模型，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关 知识来解决问题的方法。（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 倍长中线在全等三角形的辅助线做法中，难度不是特别大，相对好理解和掌握。 为△B 的中线。 结论： 证明：延长D 至点E，使DE=D，连结E。 ∵D 为△B 的中线，∴BD=D，∵∠BD=∠DE，∴△BD △ ≌ED（SS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△B 中，D 为B 边的中点，E 为B 边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FD。 证明：延长ED，使DF=DE，连接F。 ∵D 为B 边的中点，∴BD=D， 条件：B∥D，E 为的中点，F 为B 边上一点（不同于端点）。结论：△FE≌△GE。 证明：延长FE，交D 的延长线于点G。 ∵E 为的中点，∴E=E，∵B∥D，∴∠=∠EG，∠FE=∠G，∴△FE≌△GE（S） 若“中点+平行线型”按“中点型”来倍长，则需证明点G在D 上，为了避免证明三点共线，点G 就直接 通过延长相交得到。因为有平行线，内错角相等，故根据“S”或“S”证明全等。这里“中点+平行线型”

与切线有关的证明与计算（专题训练） 1．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径， 是 延长线上一点，连接 ，且 ． (1)求证： 是 的切线； (2)若直径 ，求 的长． 2 如图， 内接于 ， 是 的直径， 为 上一点， ，延长 交 于点 ， ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 是 的直径， 是 上一点，过点 作 的切线 ，交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ． (1)若 ，求 的度数． (2)若 ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 5．（2023·辽宁·统考中考真题）如图， 是 的直径，点 在 上， ，点 在线段 的延长线上，且 ． (1)求证：EF 与 相切； 的直径，交 于点E，过点D 作 ，交 的延长线于点F，连接 ． （1）求证： 是 的切线； （2）已知 ， ，求 的长． 1 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 7．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图， 中，以 为直径的 交 于点E． 平分 ，过点E 作 于点D，延长 交 的延长线于点P． (1)求证： 是 的切线；

加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形B 中，D 为B 边上的中线 证明思路：延长D 至点E，使得D=DE 若连结BE，则 ；若连结E，则 ； 2、中点型:如图2， 为 的中点 证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，连结 ，则 ; 若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点 证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解： 如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围． 可以用如下方法：将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，在 中，利用三角形三边的关系 即可判断中线 的取值范围是______； 边关系即可得出答；（2）延长FD 至M，使DF=DM，连接BM，EM，可得出 ，根据垂直平分线 的性质可得出 ，利用三角形三边关系即可得出结论； （3）延长B 至，使B=DF，连接，可得 ，证明 ，得出 ， 利用角的和差关系可推出 ，再证明 ，得出 ，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 在 中根据三角形三边关系可得出： ，即 ∴ 故答为： ； （2）延长FD 至M，使DF=DM，连接BM，EM，

是将三角形的中线延长一倍，以便构造 出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题 已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形B 中，D 为B 边上的中线 证明思路：延长D 至点E，使得D=DE 若连结BE，则 ；若连结E，则 ； 2、中点型:如图2， 为 的中点 证明思路：若延长 至点 ，使得 ，连结 ，连结 ，则 ; 若延长 至点 ，使得 ，连结 ，则 3、中点+平行线型：如图3, ，点 为线段 的中点 证明思路：延长 交 于点 (或交 延长线于点 )，则 倍长中线型辅助线 倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类： 倍长中线（这里的中线指的是过中点的任意线段）、直角三角形斜边中线、中位线其中后 两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相 （1）倍长中线型——这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下： 已知：点D 为边的中点 作法：延长BD 至E，使得DE=BD，连结E （2）倍长过中点的任意线段型——这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下： 已知：点D 为边的中点 作法：延长FD 至E，使得DE=DF，连结E （3）平行线构造“8 字型”——中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：

三边所在直线B、B、于D、E、F 点时，则有E×BD×F＝ EB×D×F 塞瓦定理：塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长、B、分别交对边于D、E、F，则 BD×E×F＝D×E×FB． 声 考点一：梅涅劳斯定理 例题精讲 【例1】．如图，等边△B 的边长为2，F 为B 中点，延长B 至D，使D＝B，连接FD 交于 E，则四边形BEF 的面积为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，D、E、F 梅涅劳斯（Meelus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如 图（1），如果一条直线与△B 的三边B，B，或它们的延长线交于F、D、E 三点，那么 一定有 • • ＝1． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点作G∥B，交DF 的延长线于点G，则有 ＝ ． 任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在△B 中，B＝＝13，B＝10，点D 如图，塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边D，E，F 于，则 × × ＝1． 任务：（1）当点D，E 分别为边B，的中点时，求证：点F 为B 的中点； （2）若△B 为等边三角形，B＝12，E＝4，点D 是B 边的中点，求BF 的长． 【变式2-2】．请阅读下列材料，并完成相应任务 塞瓦定理 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边于D，E， F，则

三边所在直线B、B、于D、E、F 点时，则有E×BD×F＝ EB×D×F 塞瓦定理：塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长、B、分别交对边于D、E、F，则 BD×E×F＝D×E×FB． 声 考点一：梅涅劳斯定理 例题精讲 【例1】．如图，等边△B 的边长为2，F 为B 中点，延长B 至D，使D＝B，连接FD 交于 E，则四边形BEF 的面积为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，D、E、F 梅涅劳斯（Meelus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如 图（1），如果一条直线与△B 的三边B，B，或它们的延长线交于F、D、E 三点，那么 一定有 • • ＝1． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点作G∥B，交DF 的延长线于点G，则有 ＝ ． 任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在△B 中，B＝＝13，B＝10，点D 如图，塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边D，E，F 于，则 × × ＝1． 任务：（1）当点D，E 分别为边B，的中点时，求证：点F 为B 的中点； （2）若△B 为等边三角形，B＝12，E＝4，点D 是B 边的中点，求BF 的长． 【变式2-2】．请阅读下列材料，并完成相应任务 塞瓦定理 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边于D，E， F，则