模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理（原卷版）(1)

梅涅劳斯定理：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三 条线段之积．当直线交三角形B 三边所在直线B、B、于D、E、F 点时，则有E×BD×F＝ EB×D×F 塞瓦定理：塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长、B、分别交对边于D、E、F，则 BD×E×F＝D×E×FB． 声 考点一：梅涅劳斯定理 例题精讲 【例1】．如图，等边△B 的边长为2，F 为B 中点，延长B 至D，使D＝B，连接FD 交于 E，则四边形BEF 的面积为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，D、E、F 内分正△B 的三边B、B、均为1：2 两部分，D、BE、F 相 交成的△PQR 的面积是△B 的面积的（ ） ． B． ． D． 【变式1-2】．梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Meelus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如 图（1），如果一条直线与△B 的三边B，B，或它们的延长线交于F、D、E 三点，那么 一定有 • • ＝1． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点作G∥B，交DF 的延长线于点G，则有 ＝ ． 任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在△B 中，B＝＝13，B＝10，点D 为B 的中点，点F 在B 上，且BF＝ 2F，F 与D 交于点E，则E＝ ． 考点二：塞瓦定理 【例2】．如图：P，Q，R 分别是△B 的B，，B 边上的点．若P，BQ，R 相交于一点M， 求证： ． 变式训练 【变式2-1】．请阅读下列材料，并完成相应任务 如图，塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边D，E，F 于，则 × × ＝1． 任务：（1）当点D，E 分别为边B，的中点时，求证：点F 为B 的中点； （2）若△B 为等边三角形，B＝12，E＝4，点D 是B 边的中点，求BF 的长． 【变式2-2】．请阅读下列材料，并完成相应任务 塞瓦定理 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边于D，E， F，则 ． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来 进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基 本定理，具有重要的作用． 任务解决： （1）如图2，当点D，E 分别为边B，的中点时，求证：点F 为B 的中点； （2）若△B 为等边三角形（如图3），B＝12，E＝4，点D 是B 边的中点，求BF 的长， 并直接写出△BF 的面积． 1．如图，在△B 中，M 是的中点，E 是B 上一点，E＝ B，连接EM 并延长，交B 的延长 线于D，则 ＝（ ） ． B．2 ． D． 2．如图，在△B 中，D、E 分别是B、上的点，D 与BE 相交于点G，若G：GD＝4：1， BD：D＝2：3，则E：E 的值是（ ） ． B． ． D． 3．如图，在△B 中，D 是B 边上的中线，F 是D 边上一点．射线F 交B 于点E，且 ， 则 等于 ． 4．如图，在△B 中，点D 是B 边上的一点，且D＝3BD，连接D 并取D 的中点E，连接 BE，若∠D＝∠BED＝45°，且D＝6 ，则B 的长为 ． 5．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝8 ，B＝16，D 是边B 的中线，过点作E⊥D 于点E， 连接BE 并延长交于点F，则D 的长是 ，EF 的长是 ． 6．如图，△B 中，D、E 是B 边上的点，BD：DE：E＝3：2：1，M 在边上，M：M＝1： 2，BM 交D、E 于、G，则B：G：GM 等于 ． 7．如图，▱BD 的对角线相交于点，在B 的延长线上任取一点E，连接E 交B 于点F．若B ＝，D＝，BE＝b，则BF＝ ． 8．在△B 中，∠B＝90°，＝B，M 为B 边上的中线，D⊥M 于点D，D 的延长线交于点，求 的值． 9．如图，在△B 中，M 是的中点，E、F 是B 上的两点，且BE＝EF＝F，求B：Q：QM 的 值． 10．如图，△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，E 为B 上一点，E 交D 于点F，E⊥B 于点，若 F＝2FD，E＝ ，求E•BE 的值． 11．如图，△B 中，D⊥B 于点D，E 是B 上一点，连接DE，2 + ∠∠BDE＝180°． （1）求证：∠BDE＝2∠D； （2）若＝BD，∠ED＝∠B，求证BE＝2D； （3）若E＝kBE，BD＝mD，则 的值为 ． （用含m，k 的式子表示）． 12．如图1，Rt△B 中，∠B＝90°，D 是中线，BE⊥D，垂足为E，点F 在D 上，∠F＝ ∠DBE． （1）求证：∠BD＝∠FD； （2）探究线段F，DE 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，延长BE 交F 于点P，B＝ F，求 的值． 13．如图1，△B 中，B＝，点D 在B 的延长线上，点E 在B 上，DE＝D，点F 是DE 与的 交点，且DF＝FE． （1）图1 中是否存在与∠BDE 相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在， 说明理由； （2）求证：BE＝E； （3）若将“点D 在B 的延长线上，点E 在B 上”和“点F 是DE 与的交点，且DF＝ FE”分别改为“点D 在B 上，点E 在B 的延长线上”和“点F 是ED 的延长线与的交点， 且DF＝kFE”，其他条件不变（如图2）．当B＝1，∠B＝时，求BE 的长（用含k、的式 子表示）． 14．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 塞瓦（Gvev，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678 年发表的 《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边于 D，F，E，则 ． 下面是该定理的部分证明过程： 如图2，过点作B 的平行线分别交BE，F 的延长线于点M，．则∠＝∠FB，∠F＝∠FB． ∴△F∽△BF． ∴ ①． 同理可得△∽△D． ∴ ②． 任务一： （1）请分别写出与△M，△ME 相似的三角形； （2）写出由（1）得到的比例线段； 任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明； 任务三：如图3，△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝3，D⊥B，垂足为D，点E 为D 的中点， 连接E 并延长，交B 于点F，连接BE 并延长，交于点G．小明同学自学了上面定理之 后解决了如图3 所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF 与F 的比是25：16，请 你直接写出△EG 与△EG 面积的比． 15．问题提出 如图（1），在△B 中，B＝，D 是的中点，延长B 至点E，使DE＝DB，延长ED 交B 于 点F，探究 的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当∠B＝60°时，直接写出 的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在△B 中，B＝，D 是的中点，G 是边B 上一点， ＝ （＜2），延长B 至点E，使DE＝DG，延长ED 交B 于点F．直接写出 的值（用含的式子表示）． 16．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题 数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△B 中，∠B＝90°，点D、E 在B 上，D＝ B，B＝kBD（其中 ＜k＜1）∠B＝∠B+∠BE，∠E 的平分线与B 相交于点F，BG⊥F， 垂足为G，探究线段BG 与的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想 法： 小明：“通过观察和度量，发现∠BE 与∠D 相等．” 小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG 与的数量关系．” …… 老师：“保留原题条件，延长图1 中的BG，与相交于点（如图2），可以求出 的 值．” （1）求证：∠BE＝∠D； （2）探究线段BG 与的数量关系（用含k 的代数式表示），并证明； （3）直接写出 的值（用含k 的代数式表示）．