题型02 函数的4 大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘ ③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘， 1 f ( x) 为↘ ④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ 减函数（↘）=未知（导数） 2. 复合函数的单调性 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合 函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查 C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减 【答案】C 【分析】首先确定 定义域关于原点对称，又有 ，可知 为偶函数；利用复合函数单 调性的判定方法可确定 时， 单调递减，由对称性可知 时， 单调递增， 由此得到结果. 【详解】由 得： ， 定义域为 ； 又 ， 为定义域内的偶函数，可排除BD； 当 时， ， 在 上单调递减， 单调递增， 在 上单调递减，可排除A；

题型02 函数的4 大基本性质解题技巧 （单调性、奇偶性、周期性、对称性） 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 知识迁移 1. 同一定义域内 ①增函数（↗）+ 增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+ 减函数（↘）=减函数↘ ③f ( x)为↗，则−f ( x)为↘， 1 f ( x) 为↘ ④增函数（↗）−减函数（↘）=增函数↗ ⑤减函数（↘）−增函数（↗）=减函数↘ 减函数（↘）=未知（导数） 2. 复合函数的单调性 技法01 函数单调性的应用及解题技巧 技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧 技法03 函数周期性的应用及解题技巧 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 技法05 函数4 大性质的综合应用及解题技巧 在考查函数单调性时，如果能掌握同一定义域内，单调性的运算，可以快速判断函数的单调性；同时复合 函数单调性的相关计算也是高考重点，常以小题形式考查 2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域为R，且 ， 则 （ ） A． B． C．0 D．1 3．（2023·全国·模拟预测）若函数 的定义域为 ，且 ， ， 则 ． 技法04 函数对称性的应用及解题技巧 知识迁移 轴对称 ①若f (x+a)=f (−x ) ，则f (x ) 的对称轴为 x=a 2 ②若f (x+a)=f (−x+b) ，则f (x ) 的对称轴为 x=a+b

题型06 5 类函数选填压轴题解题技巧 （对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切 线） 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 例1．（全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 A． B． C． D． 反解 的解析式，可得 ，即 ， 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 技法03 整数解的应用及解题技巧 整数解的应用及解题技巧 技法04 零点的应用及解题技巧 技法05 切线与公切线的应用及解题技巧 本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式 考查. 因为 ，所以 ，解得解得 ，故选C 1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称， 且满足 ，则 （ ） A．4 B．2 C．1 D． 2．（2023·全国·高三专题练习）若函数

题型06 5 类函数选填压轴题解题技巧 （对称性、解不等式（含分段函数）、整数解、零点、切线与公切 线） 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 例1．（全国·高考真题）设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 A． B． C． D． 反解 的解析式，可得 ，即 ， 技法01 函数对称性的应用及解题技巧 技法02 解不等式（含分段函数）的应用及解题技巧 技法03 整数解的应用及解题技巧 切线与公切线的应用及解题技巧 本题型通常由对称性考查参数值及解析式的求解，灵活运用对称性反解函数是解题的关键，常以小题形式 考查. 因为 ，所以 ，解得解得 ，故选C 1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称， 且满足 ，则 （ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据图象的对称性得点 ， 在函数 的图象上，列方程组求解即可得 在 单调递增， 所以 ， 所以 关于直线 对称，且在 单调递增． 所以 ， 两边平方，化简得 ，解得 ． 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数 ，然后根据函数的单调性及对称性化 简不等式进而即得. 技法03 整数解的应用及解题技巧 例3．（2024·全国·模拟预测）已知关于x 的不等式 恰有一个整数解，则实数k 的取值范 围为（ ） A． B． C．

下列哪个图形不是轴对称图形？（） A. 五角星B. 平行四边形C. 心形D. 雪花 4. 图形旋转180 度后，与原图形重合，这个图形具有（）。 A. 旋转对称性B. 轴对称性C. 中心对称性D. 平移对称性 5. 一个等边三角形旋转多少度后能与自身重合？（） A. 60 度B. 90 度C. 120 度D. 180 度 6. 下列图形中，对称轴数量最多的是（）。 关于轴对称图形，以下说法正确的是（）。 A. 对称轴是直线B. 图形对折后两部分重合C. 一个图形可以有多个对 称轴D. 所有图形都是轴对称的 2. 下列图形中，具有中心对称性的是（）。 A. 正方形B. 圆形C. 等边三角形D. 平行四边形 3. 图形旋转后可能发生的变化包括（）。 A. 位置改变B. 形状改变C. 大小改变D 中心D. 对称轴数量有限 8. 下列哪些操作可以使图形回到原位置？（） A. 旋转360 度B. 旋转180 度C. 平移一段距离D. 反射一次 9. 图形对称性在日常生活中的应用包括（）。 A. 建筑设计B. 艺术图案C. 机械零件D. 食物烹饪 10. 下列图形中，没有对称轴的是（）。 A. 任意三角形B.

大小均匀D. 下大上小 4. 下列选项中，笔画间距均匀对对称性影响最大的是： A. 一B. 十C. 田D. 人 5. “ ” “ ” 门字框结构的字（如闪），书写时应确保： A. 左竖短于右竖B. 两竖平行等长C. 右竖略向内斜D. 左竖略向 外斜 6. 下列汉字中，对称性最弱的是： A. 中B. 王C 居中偏右D. 紧贴左侧 8. “ ” 米字的交叉点位于： A. 横竖交点居中B. 交点偏上C. 交点偏下D. 无固定要求 9. 下列部件组合中，对称性最稳定的是： A. 点+ 提B. 横+ 竖C. 撇+ 捺D. 竖钩+斜钩 10. “ ” 观察凹凸二字，其对称关系属于： A. 镜像对称B. 人字是严格的轴对称汉字。（） 2. 所有独体字都具有对称性。（） 3. “ ” 马字的竖折折钩决定了其对称中心。（） 4. “ ” 书写雨字时，四个点需保持绝对均匀分布。（） 5. “ ” 心字的卧钩弧度对称是书写难点。（） 6. “ ” 鼎字属于中心对称结构。（） 7. “ ” 半包围结构的字（如同）不具备对称性。（） 8. “ ” 水字的竖钩与左右笔画间距相等。（）

在研究和解决物理问题时，从对称性的角度去考查过程的物理实质，可以避免繁冗的数学推导，迅速而准 确地解决问题。 对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。它表明物理规律 在某种变换下具有不变的性质。用这种思维方法来处理问题可以开拓思路，使复杂问题的解决变得简捷。 如，一个做匀减速直线运动的物体在至运动停止的过程中，根据运动的对称性，从时间上的反演，就能看 滑斜面上滑的物体运动等具有对称性等，总之物理问题通常有多种不同的解法，利用对称性解题不失为一- 种科学的思维方法。 利用对称法解题的思路:①领会物理情景，选取研究对象;②在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背景、 设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的某-过 程或某一-状态;③透析研究对象的属性、运动特点及规律;④寻找研究对象的对称性特点。⑤利用对称性 特点，依物理规律，对题目求解。 点处产生的电场强度为E2，电势为φ2。根据 对称性可知φ1等于φ2，E1沿OD 方向，E2沿OB 方向。而F 在D 点产生的电场强度方向沿OD 方向，H 在 B 点产生的电场强度沿OB 方向，根据对称性以及电场的叠加可知B、D 两点电场强度大小相同、方向不同。 而F 在D 点产生的电势与H 在B 点产生的电势相等，则根据电势的叠加可知B、D 两点电势相等，故A 正 确，C 错误； BD．根据对称性可知A、C 两点在M

C. 梯形 D. 平行四边形 6. 如果一个图形沿某直线折叠后两部分完全重合，则该直线是？ A. 中心线 B. 对称轴 C. 对角线 D. 边线 7. 下列日常物品中，通常具有轴对称性的是？ A. 书本 B. 剪刀 C. 杯子 D. 所有以上 8. 一个图形有两条互相垂直的对称轴，它可能是？ A. 长方形 B. 正方形 C. 圆形 D. 三角形 9. 下列几何图形中，对称轴只有一条的是？ 它可能有多条对称轴 D. 它一定是规则图形 3. 下列哪些图形的所有对称轴都通过图形中心？ A. 正方形 B. 长方形 C. 等边三角形 D. 圆形 4. 在生活中，下列哪些物品通常具有对称性？ A. 汽车 B. 飞机 C. 书本 D. 树木 5. 下列哪些是轴对称图形的例子？ A. 英文字母A B. 数字8 C. 表情笑脸 D. 所有以上 6. 如果一个图形是轴对称的，那么？ 下列几何图形中，对称轴数量大于2 的是？ A. 等边三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 长方形 8. 关于圆形的对称性，正确的是？ A. 有无数条对称轴 B. 所有对称轴都通过圆心 C. 是中心对称图形 D. 没有对称轴 9. 下列哪些操作不会改变轴对称图形的对称性？ A. 平移 B. 旋转90 度 C. 反射 D. 均匀缩放 10. 下列图形中，既有轴对称又有中心对称的是？

在研究和解决物理问题时，从对称性的角度去考查过程的物理实质，可以避免繁冗的数学推导，迅速而准 确地解决问题。 对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。它表明物理规律 在某种变换下具有不变的性质。用这种思维方法来处理问题可以开拓思路，使复杂问题的解决变得简捷。 如，一个做匀减速直线运动的物体在至运动停止的过程中，根据运动的对称性，从时间上的反演，就能看 滑斜面上滑的物体运动等具有对称性等，总之物理问题通常有多种不同的解法，利用对称性解题不失为一- 种科学的思维方法。 利用对称法解题的思路:①领会物理情景，选取研究对象;②在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背景、 设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的某-过 程或某一-状态;③透析研究对象的属性、运动特点及规律;④寻找研究对象的对称性特点。⑤利用对称性 特点，依物理规律，对题目求解。

旋转对称图形最少旋转多少度后能重合？ A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 10. 下列图形中，不具有旋转对称性的是？ A. 正方形 B. 等边三角形 C. 长方形 D. 一般三角形 二、多项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 下列哪些图形具有旋转对称性？ A. 正方形 B. 等边三角形 C. 圆形 D. 梯形 2. 旋转一个图形时，保持不变的性质有？ A. 7. 等边三角形具有120 度旋转对称性。（） 8. 旋转后图形的对应边长度可能改变。（） 9. 圆形是旋转对称图形。（） 10. 旋转应用仅限于几何学。（） 四、简答题（共4 题，每题5 分） 1. 描述如何将一个三角形绕一个顶点旋转90 度。 2. 解释为什么正方形具有90 度旋转对称性。 3. 举例说明生活中图形旋转的应用。 4