固定边的直角三角形与二次函数问题 1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板B 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点为 (－1， 0)．如图17 所示，B 点在抛物线 2 1 1 2 2 2 y x x    图象上，过点B 作BD⊥x 轴，垂足为D，且B 点横坐标 为－3． （1）求证：△BD≌△； （2）求B 所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△P

固定边的等腰三角形与二次函数问题 1、如图1，已知抛物线y= x ﹣ 2 4x+5 ﹣ 交x 轴于点、B 两点（点在点B 的左侧），交y 轴于点，点D 为 抛物线的顶点，连接D． （1）求直线D 的解析式． （2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x 轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣35）EE′、FF′分别平行于y 轴， 交抛物线于点E′和F′，交D 于点M、，当ME′+F′的值最大时，在y

2025 年陕西省榆林市定边县陕西省榆林市定边县实验小学北师大版 小学四年级语文上学期期中考试卷带答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 下列词语中，加点字的读音全部正确的一项是（） A. 模(mó)样 B. 兴(xīng)奋 C. 重(chóng)复 D. 着(zháo)急 2. “ ” 树字的笔画数是（） A. 8 画 B. 9 画 C. 10

∵∠DP＝90°，∴∠MP+∠DP＝180°， ∴，M，P，D 四点共圆，故④正确．故答为：①②③④． 隐形圆及最值问题 本文主要从以下四个方面去介绍： 一、从圆的定义构造圆（折叠类问题） 二、定边对直角 三、定边对定角 四、四点共圆 一、从圆的定义构造圆（折叠类问题） 圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合． 构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧． 时，点 到 的距离最小） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 到边 距离的最小值是12． 故答为12． 二、定边对直角 知识回顾：直径所对的圆周角是直角． 构造思路：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 图形释义： P P A B O P 例：若B 是一条定线段，且∠PB=90°，则P 点轨迹是以B 为直径的圆． ，∠QBD＝45°， ∴∠DQ＝90°， ∴ 为⊙的 周长， ∴线段BM 的中点运动的路径长为： π， 故选：． 三、定边对定角 在“定边对直角”问题中，依据“直径所对的圆周角是直角”，关键性在于寻找定边、直 角，而根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．定边必不可少， 而直角则可一般为定角．例如，B 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆． P P A B P

为动点，但B==P，则B、、P 三点共圆， 则动点P 是以圆心，B 半径的圆或圆弧。 模型1-4 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P 是以B 为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB 为定值，则动点P

是边 上一动点，连接 ，若点Q 是 的中点，连 接 ， ，则 的最小值为 ． 模型2、定边对直角模型（直角对直径） 固定线段B 所对动角∠恒为90°，则、B、三点共圆，B 为直径 寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，点E 在线段 上运动，点F 中，＝B＝4，∠B＝90°，点P 为上的动点，连BP，过点作 M⊥BP 于M．当点P 从点运动到点时，线段BM 的中点运动的路径长为（ ） ． π B． π ． π D．2π 模型3、定边对定角模型（定弦定角模型） 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相． 寻找隐圆技巧：B 为定值，∠P 为定角，则P

半径的圆或圆弧。 P P A B O P P P A B P （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB=90°，则动点P 是以B 为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P 为动点，B 为定值，∠PB 为定值，则动点P

，则 的值为 ． 模型2、定边对双直角共圆模型 A B C D E E D C B A 同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型） 条件：若平面上、B、、D 四个点满足 ， 结论：、B、、D 四点共圆，其中D 为直径。 2）定边对双直角模型（异侧型） 条件：若平面上、B、、D 例4．（2022 秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ， 是 的中点， 是 的中点，若 ， ， ，则 的长为（ ） ． B． ． D． 模型3、定边对定角共圆模型 条件：如图1，平面上、B、、D 四个点满足 ，结论：、B、、D 四点共圆． 条件：如图2，、BD 交于， ，结论： 四点共圆 例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在Rt

点，根据角平分线定理， ，故M 点为定点， 即∠PB 的角平分线交B 于定点； 作∠PB 外角平分线交直线B 于点，根据外角平分线定理， ，故点为定点，即∠PB 外角平分线 交直线B 于定点； 又∠MP=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以M 为直径的圆． O P B A M N 【精典例题】 1、如图，抛物线 与 轴交于 ， ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，且 ， 的平分线 交 轴于点

3.T 4.T 5.T 6.T 7.T 8.F 9.T 10.F 四、1.面积 =长×宽；例如长10m 宽5m，面积50m² 。2.计算花坛面积、路径 长度和形状布局，优化空间利用。3.确定边界长度以估算材料，如围 墙周长计算砖块用量。4.表面积=2×(长×宽+长×高+宽× 高)=2×(30×20+30×10+20×10)=2×(600+300+200)=2×11 00=2200cm²。