圆 模型（三十七）——定弦定角模型 定弦定角：线段定，角度大小定 知识点一: ◎结论1：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝，则点P 在B 所对的圆弧上运 动。 ◎结论2：90°，如图B 定长，P 动点，保持∠PB ＝90º，则点P 在以B 为直 径的圆弧上运动（不包含、B 两点） 解题步骤： 1. 寻找张角 中， ， ， ，过点 作 的平行线， 为直线上一动点， 为 的外接圆，直线 交 于 点，则 的最小值为__________． 【答】2 【分析】如图，连接E．首先证明∠BE=120°，根据定弦定角，可得点E 在以M 为圆心，MB 为半径的 上运动，连接M 交 于E′，此时E′的值最小． 【详解】解：如图，连接E． ∵P∥B， ∴∠P=∠B=60°， ∴∠EP=∠P=60°， ∴∠BE=120°，

圆 模型（三十七）——定弦定角模型 定弦定角：线段定，角度大小定 知识点一: ◎结论1：如图，B 定长，P 动点，保持∠PB ＝，则点P 在B 所对的圆弧上运 动。 ◎结论2：90°，如图B 定长，P 动点，保持∠PB ＝90º，则点P 在以B 为直 径的圆弧上运动（不包含、B 两点） 解题步骤： 1. 寻找张角

重难点12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理） 目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 故答 ：8 π 3 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、解直角三角形，求弧长，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前 后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 题型04 定弦定角 【模型介绍】因为同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等，所以当弦的长度保持不变和弦所对应的角度大小 固定时，动点的轨迹就是圆或者圆弧 【模型解析】两定(，B)一动(P)，B 长固定，∠PB 固定 对称的优弧上运动 ②∠PB>90°，在线段B 对称的劣弧上运动），但不包括、B 两点 定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线 段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆 【解题技巧】 1）找到不变的张角( PB) ∠ 所对的-定弦(B); 2）定角定弦定圆心和半径; 3）作出外接圆; 4）计算半径并分析 5）当△BP 是以B

重难点突破12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 √2 B．2 ．2❑ √2 D．3 36．（2022·河南南阳·统考一模）如图，⊙O的半径为4．将⊙O的一部分沿着弦B 翻折，劣弧恰好经过 圆心．则这条劣弧的弧长为 ． 题型04 定弦定角 【模型介绍】因为同圆或等圆中等弦所对的圆周角相等，所以当弦的长度保持不变和弦所对应的角度大小 固定时，动点的轨迹就是圆或者圆弧 【模型解析】两定(，B)一动(P)，B 长固定，∠PB 固定 对称的优弧上运动 ②∠PB>90°，在线段B 对称的劣弧上运动），但不包括、B 两点 定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线 段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆 【解题技巧】 1）找到不变的张角( PB) ∠ 所对的-定弦(B); 2）定角定弦定圆心和半径; 3）作出外接圆; 4）计算半径并分析 5）当△BP 是以B

隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 中，＝B＝4，∠B＝90°，点P 为上的动点，连BP，过点作 M⊥BP 于M．当点P 从点运动到点时，线段BM 的中点运动的路径长为（ ） ． π B． π ． π D．2π 模型3、定边对定角模型（定弦定角模型） 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相． 寻找隐圆技巧：B 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆．

所对动角∠恒为90° 原理：圆中，圆周角为90°所对弦是直径 则、B、三点共圆，B 为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段B 所对动角∠P 为定值 原理：弦B 所对同侧圆周角恒相等 则点P 运动轨迹为过、B、三点的圆 备注：点P ） ． B． ． D． 【变式1-2】．如图，点，B 的坐标分别为（4，0），B（0，4），为坐标平面内一点，B ＝2，点M 为线段的中点，连接M，M 的最大值为 ． 考点二：定弦定角构造隐圆 【例2】．如图，在△B 中，B＝2，点为动点，在点运动的过程中始终有∠B＝45°，则△B 面 积的最大值为 ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．如图，P 是矩形BD

所对动角∠恒为90° 原理：圆中，圆周角为90°所对弦是直径 则、B、三点共圆，B 为直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 （3）定弦定角模型 固定线段B 所对动角∠P 为定值 原理：弦B 所对同侧圆周角恒相等 则点P 运动轨迹为过、B、三点的圆 备注：点P ） ． B． ． D． 【变式1-2】．如图，点，B 的坐标分别为（4，0），B（0，4），为坐标平面内一点，B ＝2，点M 为线段的中点，连接M，M 的最大值为 ． 考点二：定弦定角构造隐圆 【例2】．如图，在△B 中，B＝2，点为动点，在点运动的过程中始终有∠B＝45°，则△B 面 积的最大值为 ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．如图，P 是矩形BD

3. 钢琴通常有多少个键？ A. 76 B. 88 C. 92 D. 100 4. 下列哪个符号表示强音？ A. p B. f C. mf D. pp 5. 小提琴的标准定弦从低到高是哪些音？ A. G、D、A、E B. C、G、D、A C. A、D、G、C D. E、A、D、G 6. “ ” 音乐中的四分音符时值相当于几个八分音符？ A. 1 B.

隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动， 或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定 长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、 旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模型 的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 周长，∴线段BM 的中点运动的路径长为： π，故选：． 在 中， 点 、 为 、 的中点， ， ， ，即 ， 点 在以 为直径的半圆上， ， 点 的运动路径长为 ，故答为： ． 模型3、定边对定角模型（定弦定角模型） 固定线段B 所对同侧动角∠P=∠，则、B、、P 四点共圆 根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相． 寻找隐圆技巧：B 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆． 的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 14．（2021·广东·统考中考真题）在 中， ．点D 为平面上一个动点， ，则线段 长度的最小值为 ． 【答】 【分析】由已知 ， ，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角 的一半可知，点 在以 为圆心 为半径的圆上，线段 长度的最小值为 ． 【详解】如图： 以 为半径作圆，过圆心 作 ， 以 为圆心 为半径作圆，则点

√S=❑ √S1+❑ √S2 ，试判断， △ABE，△CDE的形状，并说明理由． ②当´ DC= ´ CB，AB=m，AD=n，CD=p时，试用含m，，p 的式子表示AE⋅CE． 【几何模型】定弦定角模型 24．已知∠MON=α，点，B 分别在射线OM ,ON上运动，AB=6． (1)如图①，若α=90°，取B 中点D，点，B 运动时，点D 也随之运动，点，B，D 的对应点分别为 A '