直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B ≤M＜6． 故答为： ≤M＜6． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 解：作P⊥B 于P， 由垂线段最短可知，此时P 最小， 由勾股定理得，B＝ ＝ ＝5， S△B＝ ××B＝ ×B×P，即 ×3×4＝ ×5×P， 解得，P＝ ， 故答为： ． 【变式2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D （1）求抛物线的解析式． （2）如图1 若R 为y 轴上的一个动点，连接R，则 RB+R 的最小值为 2 （3）在x 轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P 作x 轴的垂线，分别交抛物 线、D、B 于点Q、F、E，如图2 所示，求证：EF＝EP． （4）设此抛物线的对称轴为直线M，在直线M 上取一点T，使∠BT＝∠T．直接写出点 T 的坐标． 解：（1）根据题意得：

直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B ≤M＜6． 故答为： ≤M＜6． 变式训练 【变式1】．如图，三角形B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，P 为直线B 上一动点，连接P， 则线段P 的最小值是 ． 解：作P⊥B 于P， 由垂线段最短可知，此时P 最小， 由勾股定理得，B＝ ＝ ＝5， S△B＝ ××B＝ ×B×P，即 ×3×4＝ ×5×P， 解得，P＝ ， 故答为： ． 【变式2】如图，正方形BD 的边长为4，∠D （1）求抛物线的解析式． （2）如图1 若R 为y 轴上的一个动点，连接R，则 RB+R 的最小值为 2 （3）在x 轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P 作x 轴的垂线，分别交抛物 线、D、B 于点Q、F、E，如图2 所示，求证：EF＝EP． （4）设此抛物线的对称轴为直线M，在直线M 上取一点T，使∠BT＝∠T．直接写出点 T 的坐标． 解：（1）根据题意得：

直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 R【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 R 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 R2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B （1）求抛物线的解析式． （2）如图1 若R 为y 轴上的一个动点，连接R，则 RB+R 的最小值为 2 （3）在x 轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P 作x 轴的垂线，分别交抛物 线、D、B 于点Q、F、E，如图2 所示，求证：EF＝EP． （4）设此抛物线的对称轴为直线M，在直线M 上取一点T，使∠BT＝∠T．直接写出点 T 的坐标．

直线外一点到直线上所有点的距离中，垂线段M 最小 R【结论二】 如图，在三角形B 中，M、分别是DE、B 上的动点，连接M，M，求M+M 的最小值。则 有以下结论成立： 过作B 的垂线，垂足为Q，于DE 相交于P，当M、分别与P、Q 重合时，M+M 有最小值， 即为Q 的长度 R 方法点拨 1 题型特征： ①一定点 ②动点的运动轨迹为直线 R2 模型本质：过定点作定直线的垂线，垂线段最短 【例1】如图，在Rt△B （1）求抛物线的解析式． （2）如图1 若R 为y 轴上的一个动点，连接R，则 RB+R 的最小值为 2 （3）在x 轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P 作x 轴的垂线，分别交抛物 线、D、B 于点Q、F、E，如图2 所示，求证：EF＝EP． （4）设此抛物线的对称轴为直线M，在直线M 上取一点T，使∠BT＝∠T．直接写出点 T 的坐标．

一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. △ 在ABC ∠ 中， B=90°，AB=BC。若需证明AC ∠ 是 BAC 的角平 分线，最合理的辅助线是（）。 A. 过点B 作AC 的垂线 B. 连接B 与AC 中点 C. ∠ 作 BAC 的角平分线交BC 于D D. 延长BA 至点E 使AE=AB 2. 已知梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=CD。为证明对角线 3. 如图，圆O 中弦AB∥CD，需证明弧AC=弧BD ，应添加（）。 A. 连接AD 与BC 交于点E B. 作弦AB、CD 的垂线 C. 连接圆心O 与点A、B、C、D D. 过点O 作AB 的垂线交CD 于F 4. △ 在ABC 中，D 为BC 中点，E 为AD △ 中点。为求BEC 面积是 △ABC 的几分之几，需添加（）。 A 并延长交AD 于F D. △ 作ABE 的高线 6. ∠ 如图， AOB=90°，OC ∠ 平分 AOB。为证明点C 到OA、OB 距 离相等，应作（）。 A. 过C 作OA 的垂线 B. 连接OC 并延长 C. ∠ 作 AOC 的角平分线 D. 过C 作OB 的平行线 7. △ 在ABC 中，AB=AC，D 为BC 延长线上一点。若需证明 ∠ADB=∠ADC

中点Q，当点P 在B 上运动时，Q 点轨迹是？ P Q A B C N C B A Q P M 解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线． 理由：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中，因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 2）如图，在△PQ 中P=Q，∠PQ 为定值，当点P 在直线B 上运动时，求Q 理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始 位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。 【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线； ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； ≌GF（SS），∴∠B＝∠GF＝60°， ∴点F 在平行于B 的射线G 上运动， ∠ ∵ G＝∠GF＝60°，∴△G 是等边三角形， ∴B＝G＝＝6，∴D＝D﹣＝4， ∠ ∵ DM＝∠G＝60°，∴DM＝D•s60° ， 根据垂线段最短可知，当点F 与M 重合时，DF 的值最小，最小值为 ，故答为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直 角三角形等知识，解题的关

考点1 一点一垂线模型 【模型讲解】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、另一坐标轴上一点（含原点）围 成的三角形面积等于 |k|． 【示例】 拓展： 【例1】．如图，已知动点，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上，动点P 在反比例函数y＝ （x ＞0）图象上，P⊥x 轴，△PB 是以P 为底边的等腰三角形．当点的横坐标逐渐增大时， 模型介绍 △PB 的面积将会（ ） ．越来越小 在反比例函数 的图象上，过点、B 作x 轴的垂线，垂足分别 是M、，射线B 交x 轴于点，若M＝M＝，四边形MB 的面积是4，则k 的值为 ． 【变1-2】．如图，在第一象限内，点P（2，3），M（，2）是双曲线y＝ （k≠0）上的 两点，P⊥x 轴于点，MB⊥x 轴于点B，P 与M 交于点，则△的面积为（ ） ． B． ．2 D． 考点2 一点两垂线模型 【模型讲解】 反比例函数 反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于|k|． 【示例】 【例2】．双曲线 与 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y 轴的直线 分别交双曲线于、B 两点，连接、B，则△B 的面积为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 变式训练 【变2-1】．如图，函数y＝ （x＞0）和 （x＞0）的图象分别是l1和l2．设点P 在l2 上，P∥y 轴交l1于点，PB∥x

上一动点，是直线B 外一定点，连接P，取P 中点Q，当点P 在直线上运动时， 则Q 点轨迹也是一条直线。 P Q A B C N C B A Q P M 证明：分别过、Q 向B 作垂线，垂足分别为M、，在运动过程中， 因为P=2Q，所以Q 始终为M 的一半，即Q 点到B 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△PQ 中P=Q，∠PQ= 为定值，当点P 在直线B ∠ ∵ MP=∠MQ，∴∠MQ=∠PQ= ，即Q 点所在直线与B 的夹角为定值，故Q 点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线 ，根据三角形的三边关系可得： 是一个定点， 的轨迹为 中垂线上 的一部分，所以垂线段最短，可知 的长是 的最小值，最后由等边三角形三线合一的性质可得结论． 【详解】解： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是一个定点， 的轨迹为 中垂线上的一部分，如下图所示，过点 作 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，所以垂线段最短，则 的最小值为 的值， ， ， ， 中，

图3 图4 常见证明的方法： 1）补短法：如图2，如图，延长DB 至F，使BF=B； 2）截长法：如图3，在D 上截取DG=DB； 3）垂线法：如图4，作M⊥射线B，垂足为。 例1．（2023·广东·统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折 弦定理：如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B ) ． B． ． D． 例3．（2023 上·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图， 和 是 的两 条弦（即折线 是弦 的一条折弦）， ， 是弧 的中点，则从 向 所作垂线的垂 足 是折弦 的中点，即 ，下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程 证明：如图2，在 上截取 ，连接 ， ， 和 是弧 的中点， ∴ ， …… (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； 上一点，连接 ， ， ， ，求 的周长 例4．（2023·江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦 （即折线 是圆的一条折弦）， ，M 是 的中点，则从M 向 所作垂线的垂足D 是折弦 的中点，即 ．下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程． （1）证明：如图2，在 上截取 ，连接 和 ． ∵M 是 的中点，∴ …… 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

分，共10 题） 1. 关于重力的方向，下列说法正确的是： A. 总是竖直向下 B. 总是垂直于地面 C. 随物体运动方向改变 D. 向地心方向 2. 建筑工人常用铅垂线检查墙壁是否竖直，利用的原理是： A. 重力大小与质量成正比 B. 重力方向竖直向下 C. 物体间力的作用是相互的 D. 重力的作用点 3. 若宇航员在月球表面松开手中的石块，石块将： 抛出的球做直线运动 D. 书桌浮在空中 8. 设计倾斜屋顶的主要目的是： A. 减少风阻 B. 加速雨水流下 C. 增加美观性 D. 节省建筑材料 9. 重垂线在以下场景中无法使用的是： A. 测量山体坡度 B. 检查画框是否挂正 C. 确定地下管道走向 D. 校准竖直墙面 10. 关于重心位置的说法，错误的是： 全球各地方向均指向地心 B. 同一地点不同高度方向相同 C. 与物体运动状态无关 D. 可用水平仪校准 3. 下列工具利用重力方向原理的有（） A. 铅垂线 B. 不倒翁 C. 天平 D. 坡度尺 4. 若重力方向变为水平，可能出现的现象有（） A. 树木横向生长 B. 河流垂直流动 C. 书本自动滑落书架