外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． R5 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心 考点一：三角形重心问题 【例1】．如图，△B 的中线BD、E 相交于点F，若四边形EFD 的面积为6，则△BF 的面积 为 ． 解：∵BD、E 是△B 的中线， B2+D2＝B2＝100…①； 设△BD 内切圆的半径为R，则有： R＝ ＝2， 即B+D＝14…②； 联立①②得： ，解得 ． 故B 的长为6，D 的长为8． 考点四：三角形垂心问题 【例4】．如图，是锐角△B 的垂心（3 条高的交点），若＝B，则∠B 的度数是 ． 解：∵BE 和D 为△B 的高， ∴∠E＝∠BD＝∠BE＝90°， ∵∠E＝∠BD， ∴∠E＝∠BE， 在△E

外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． R5 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心 考点一：三角形重心问题 【例1】．如图，△B 的中线BD、E 相交于点F，若四边形EFD 的面积为6，则△BF 的面积 为 ． 解：∵BD、E 是△B 的中线， B2+D2＝B2＝100…①； 设△BD 内切圆的半径为R，则有： R＝ ＝2， 即B+D＝14…②； 联立①②得： ，解得 ． 故B 的长为6，D 的长为8． 考点四：三角形垂心问题 【例4】．如图，是锐角△B 的垂心（3 条高的交点），若＝B，则∠B 的度数是 ． 解：∵BE 和D 为△B 的高， ∴∠E＝∠BD＝∠BE＝90°， ∵∠E＝∠BD， ∴∠E＝∠BE， 在△E

外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． R5 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心 考点一：三角形重心问题 【例1】．如图，△B 的中线BD、E 相交于点F，若四边形EFD 的面积为6，则△BF 的面积 为 ． 例题精讲 例题精讲 变式训练 的内切圆半径为2，切三边于E、 F、G，则 矩形两边B＝ ，D＝ ． 考点四：三角形垂心问题 【例4】．如图，是锐角△B 的垂心（3 条高的交点），若＝B，则∠B 的度数是 ． 变式训练 【变式4-1】．如图，在△B 中，已知B＝5，＝7，B＝6，为垂心，则＝ ． 【变式4-2】．如图，在△B 中M 为垂心，为外心，∠B＝60°，且△B 外接圆直径为10，则 M＝ ．

外心到三个顶点的距离相等； 内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等； 重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点； 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心； 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆 心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心． R2．三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． R5 垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心 考点一：三角形重心问题 【例1】．如图，△B 的中线BD、E 相交于点F，若四边形EFD 的面积为6，则△BF 的面积 为 ． 例题精讲 例题精讲 变式训练 的内切圆半径为2，切三边于E、 F、G，则 矩形两边B＝ ，D＝ ． 考点四：三角形垂心问题 【例4】．如图，是锐角△B 的垂心（3 条高的交点），若＝B，则∠B 的度数是 ． 变式训练 【变式4-1】．如图，在△B 中，已知B＝5，＝7，B＝6，为垂心，则＝ ． 【变式4-2】．如图，在△B 中M 为垂心，为外心，∠B＝60°，且△B 外接圆直径为10，则 M＝ ．

且 ,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的 距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的 内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4） 的外心，则 ；或 ③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则 也对. ④若 为 的垂心，则 ，或 例4-1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P 在 所在平面内，且 ，且 ，则点O，N，P 依次是 的 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心 因为 ，所以 到定点 的距离相等，所以 为 的外心，由 ， 则 的中点 ，则 ，所以 ，所以 是 的重心； 由 ，得 ，即 ，所以 ，同理 ，所以 点 为 的垂心，故选C. 例4-2．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ， ，则P 的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【详解】 ， 令 ， 则 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即

且 ,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的 距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的 内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4） 的外心，则 ；或 ③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则 也对. ④若 为 的垂心，则 ，或 例4-1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P 在 所在平面内，且 ，且 ，则点O，N，P 依次是 的 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心 因为 ，所以 到定点 的距离相等，所以 为 的外心，由 ， 则 的中点 ，则 ，所以 ，所以 是 的重心； 由 ，得 ，即 ，所以 ，同理 ，所以 点 为 的垂心，故选C. 例4-2．（江苏·高考真题）O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ， ，则P 的轨迹一定通过 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【详解】 ， 令 ， 则 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量， 即

三角形的重要线段 题型01 画三角形的高、中线、角平分线 题型02 已知三角形的高、中线、角平分线，判断式子正误 题型03 等面积法求三角形的高 题型04 利用格求三角形的面积 题型05 与垂心性质有关的计算 题型06 根据三角形的中线求长度 题型07 根据三角形的中线求面积 题型08 判断重心位置 题型09 与重心性质有关的计算 考点三 三角形的性质 题型01 应用三角形的三边关系求第三边长或取值范围 3) 重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。 垂心 三角形三 条高交点 1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点 上；钝角三角形的垂心在三角形外； 2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆 半径之和的2 倍。 3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到6 组四点 共圆 4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三 角形( 题型05 与垂心性质有关的计算 【例5】（2022·安徽·校联考三模）如图，已知Δ ABC中，∠ACB=45 °，F是高BD和CE的交点， AD=3，CD=5，则线段BF的长度为（ ） ．1 B．2 ．2❑ √2−3 D．4 ❑ √2−3 【变式5-1】（2021·山东威海·统考模拟预测）【信息阅读】垂心的定义：三角形的三条高（或高所在的直 线）交于一点，该点叫三角形的垂心． 【问

（2）已知点O 是 的________，且 ，求 ． 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解 答，则按第一个解答计分） ①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）． 【22 题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【小问1 详解】 解：（i）设 ，由重心的坐标公式得 ， 且 ， 可得 ， . （ii）因为 ，其中 ，所以 ， 因为， 可得 ， ， 由O 是 的外心， 可得 ，可得 ，即 ， ，可得 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 ， 则 ，即 . 若选②：如图所示，即O 是 的垂心 因为 ， 可得 ， ， 由O 是 的垂心， 则 ，可得 ，即 ， ，可得 ，即 ， 联立方程组，可得 ，即 ，所以 ， 所以 ，即 .

（ ） （北京）股份有限公司 A． B． C． D． 7．数学家欧拉在1765 年提出定理，三角形的外心、重心、垂心（外心是三角形三条边的垂直平分线的交点， 重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离 是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点 ， ， ，则△ABC 的欧拉线方程为（ ）

C．若 ，且 ，则 为正三角形 D．若 ， ， 的面积 ，则 11．数学家欧拉在 年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉 线定理.设点 ､ ､ 分别是 的外心､重心､垂心，且 为 的中点，则（ ） A． B． C． D． 12.锐角 中，内角 所对边分别为 ，且 ，下列结论正确的是（