铁人中学2021级高一下学期月考考试数学试题

铁人中学2021 级高一学年下学期月考考试 数学试题 命题人：魏玉雷 审题人：李德胜 试题说明： 1.本试题满分150 分，答题时间120 分钟. 2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷(选择题60 分) 一、单项选择题（本大题包括8 小题，每小题5 分，共40 分，每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1．若复数满足 ( 是虚数单位)，则的共轭复数 ＝( )． A． B． C． D． 2.已知正三角形 的边长为，那么 的直观图 的面积为（ ） A． B． C． D． 3．在 中，内角 所对的边分别为 .则“ ”是“ ”的（ ）． A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．平面向量与的夹角为 π 3 ， ， ，则 等于( ) A．2 3 B．2 2 C．4 D．10 5.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为，，，已知 ， ， ， 则 （ ） A．. B． C． D． 2 6．已知正方形 的边长为 ， 为边 中点，则向量 在向量 上的投影向量 为（ ） A． B． C． D． 7．已知向量 与 的夹角为 ， ，与 同向，则 的最小值是（ ） A．1 B． C． D． 8.设锐角三角形 的内角 的对边分别为 .若 ， ， 则 面积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分) 9．下列说法中错误的是（ ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何 体叫棱柱 C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 D．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形 10．在 中，内角 的对边分别为 ．下列四个结论正确的是( )． A．若 ，则 B．若 ，则满足条件的三角形共有两个 C．若 ，且 ，则 为正三角形 D．若 ， ， 的面积 ，则 11．数学家欧拉在 年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到 外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉 线定理.设点 ､ ､ 分别是 的外心､重心､垂心，且 为 的中点，则（ ） A． B． C． D． 12.锐角 中，内角 所对边分别为 ，且 ，下列结论正确的是（ ） A． B． 的取值范围为 C． 的取值范围为 D． 的取值范围为 第Ⅱ卷(非选择题90 分) 二、填空题(本大题包括4 小题，每小题5 分，共20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上) 13．已知 ， ，若，夹角为钝角，则的取值范围为________． 14.已知等边三角形 的边长为， ， ， ，那么 =___ _____． 15.如图，在直三棱柱 中， ， ， ， ， F 为棱AA1上的一动点，则当 最小时， 的面积为________． 16．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春 佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的， 并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪 纸窗花，已知图二中正六边形 的边长为 ，圆 的圆心为正六边形的中心， 半径为 ，若点 在正六边形的边上运动， 为圆 的直径，则 的取值范 围是__________． 三、解答题(本大题包括6 小题，共70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10 分）已知复数 ，其中 ． （Ⅰ）若z 为纯虚数，求m 的值； （Ⅱ）若在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求 的取值范围． 18.（12 分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中 ． （Ⅰ）若，，两两的夹角相等；且 ， ，求 ； （Ⅱ）若 ，且 与 垂直，求与的夹角． 19. （12 分）如图，在 中，已知 ， ， （19 题图） （15 题图） （16 题图） ， 边上的两条中线 ， 相交于点 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求 的正弦值. 20.（12 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为，，， ． （Ⅰ）设 ， ，判断 最大时 的形状． （Ⅱ）若 ，求 周长的取值范围． 21.(12 分)如图，我国的一艘海监船在D (21 题图) 岛海域例行维权巡航，某时刻航 行至A 处，此时测得其东北方向与它相距 （海里）的B 处有一艘外国船只，且D 岛 位于海监船正东14 2 处． （Ⅰ）求此时该外国船只与D 岛的距离； （Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时 的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离 D 岛 12 处，不让其进入 D 岛 12 内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度 的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8) 22.（12 分）如图，边长为2 的等边三角形 中， 是 的中点， ， 分别是边 ， 上的动点（不含端点），记 . （Ⅰ）在图①中， ，试将 ， 分别用含 的关系式表示出来，并证明 为定值； （Ⅱ）在图②中， ，问此时 是否为定值？若是，请给出证明；若不是，求 的取值范围. 图① 图② （22 题图）